現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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903(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)00:12 ID:khSgay+Z(2/9) AAS
>>901 追加

確か、元吉文男さん、参考文献に、エム・ポストニコフをあげていたね（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
[PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男著 - ?1993 RIMS, Kyoto University

外部ﾘﾝｸ:peng225.hate（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
ペンギンは空を飛ぶ
2018-03-07
5次方程式の解を巡る旅 ?5次方程式の可解性判定編?
(抜粋)
Galois理論
省3

904(2): 2019/10/17(木)00:29 ID:rXxqe236(1/8) AAS
>この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
>　>>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない

x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。
一般3次方程式のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加してもS_3のまま。
しかし、べき根解法には1の3乗根は必要。
この話の類似が5次の場合にもあるんじゃないかな。
つまり、位数20のガロア群をもつ5次方程式は一般的には二項方程式ではないが
省1

905(1): 2019/10/17(木)00:31 ID:rXxqe236(2/8) AAS
失礼。
Mara Papiyas氏が言うように

906: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)05:27 ID:448PbhX4(1/12) AAS
>>900
>？？

貴様は肝心なところを読んでない
自己同型！　なぜ読まない？

貴様の引用したHPにもチャンと
同型写像について書かれてる
なぜ引用しない？　馬鹿かｗ

907: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)05:31 ID:448PbhX4(2/12) AAS
>>904
1の5乗根を追加した体を基礎体としても
ガロア群がF_20となる場合がいかなるものか
についてはハイレベル数学人に任せるｗ

私の目的はあくまで馬鹿のローレベルな間違いを指摘することにあるｗ

908: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)05:35 ID:448PbhX4(3/12) AAS
馬鹿はウマに食わせるほど数学書を買っても
ロクに読みもせず、読んだとしても
結果を覚えるだけで証明の論理を追わないから
いつまでたっても数学が理解できない

悪いことは云わない　数学は諦めろ
数学書はみな売っちまえ
貴様がやるべきことは断捨離だｗ

909(2): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)06:14 ID:448PbhX4(4/12) AAS
円分拡大の自己同型

原始５乗根をζで表す

同型写像として^2をとる

ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^2
ζ^2、ζ^4、ζ^6=ζ、ζ^8=ζ^3
↓^2
ζ^4、ζ^3、ζ^2、ζ
↓^2
ζ^3、ζ、ζ^4、ζ^2
省19

910: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)06:21 ID:448PbhX4(5/12) AAS
些細なことですが

>>905
氏はつけなくてもいいよ

例えば数学者について述べるとき、いちいち氏はつけないが
それを無礼だと咎める人はまあいない

私は別に数学者ではないが、名前に関しては
数学の慣習に沿って語っていただいて全然かまわない

911(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)07:09 ID:khSgay+Z(3/9) AAS
>>904
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾

(引用開始)
>この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
>　>>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない

x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。
一般3次方程式のガロア群はS_3だが
省25

912(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)07:37 ID:khSgay+Z(4/9) AAS
>>909
ぱちぱちぱち、拍手！
ご苦労さんｗ（＾＾；

さて、じゃおれも
(>>858より下記”１のｎ乗根（Joh著）”から）
「Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．」
の話において

「1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．」
は、ベクトル空間の基底で”1は不要”の話は、”1”みならず、任意のζ^m (1<=m<=n-1)の1つを基底から外すことが可能
省20

913(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)07:47 ID:khSgay+Z(5/9) AAS
>>912
＞ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0

これは、二項方程式 x^n - 1=0
で、
下記の根と係数の関係を適用すると
上記の方程式のn-1次の項が0であることから
導かれるね

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
根と係数の関係
(抜粋)
省10

914(3): 2019/10/17(木)08:05 ID:rXxqe236(3/8) AAS
>>912
ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。
定理として書いてある
「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」
は明確に誤り。最小多項式の次数はφ(n)次なので、φ(n)個しか根を持ちえません。
(最小多項式)≠x^n-1 です。
あと、ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}が基底をなすように書いてありますが、これも素数でないnに対しては誤り。
Q上のベクトル空間としての次元もφ(n)なので、基底の個数もφ(n)個です。

915(3): 2019/10/17(木)08:11 ID:rXxqe236(4/8) AAS
Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、スレ主さんとは違って
自分の頭を通して書いているなというのが分かります。
「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。

916(2): 2019/10/17(木)08:25 ID:rXxqe236(5/8) AAS
何年間もガロア理論を勉強されてきて、ネット上のどこにどんな文書があったか
どの本にどんな項目があったかとかの知識はありますが
まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。失礼ながら。
HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して
徹底的に考えなければ、正誤の判断は付かないし、身にも付かないものだと思います。

917(1): 2019/10/17(木)08:41 ID:rXxqe236(6/8) AAS
>>913
1+ζ + ...+ζ ^n-1=0　の証明
S=1+ζ + ...+ζ ^n-1にζを掛けると巡回的に項がずれるが和としては不変であることが観察できる。
すなわち、S=ζS.
　(1-ζ)S=0 で、1-ζ≠0 より S=0.

918(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)10:15 ID:CX/otP+s(1/9) AAS
>>903 追加

下記元吉文男で、
既約な二項方程式x^5-a＝0のガロア群は、C_{5} 巡回群 (位数 5)です
B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)では、ありません
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
[PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男著 - 1993 RIMS, Kyoto University
(抜粋)
有理数係数の 5 次の既約多項式が可解であるかどうかを、 (大部分の場合に) 有理数演
算だけで高速に判定する方法を紹介する。
1. ガロア群の計算原理
省10

919(4): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)10:58 ID:CX/otP+s(2/9) AAS
>>914
ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。
レスありがとう

(引用開始)
ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。
定理として書いてある
「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」
は明確に誤り。最小多項式の次数はφ(n)次なので、φ(n)個しか根を持ちえません。
(最小多項式)≠x^n-1 です。
あと、ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}が基底をなすように書いてありますが、これも素数でないnに対しては誤り。
省26

920: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:01 ID:CX/otP+s(3/9) AAS
>>915
ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。
レスありがとう

>「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
>とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
>まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。

なるほど
ちょっと考えてみます（＾＾；

921: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:03 ID:CX/otP+s(4/9) AAS
>>916
＞HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して

　>>919をどうぞ

922: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:08 ID:CX/otP+s(5/9) AAS
>>917
ぱちぱちぱち、拍手（＾＾
その証明も、昔どこかで見た記憶が
どこだったか、思い出せませんが
なお、別証明ですね（>>919 高校数学の美しい物語ご参照）

923(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:31 ID:CX/otP+s(6/9) AAS
>>919 補足

ζ=exp(2πi/n)を根とする二項方程式 x^n-1＝0は、加約で因子（x-1）を持つので、次数は１つ下げられる
だから、最小多項式の次数はｎ−１までは下がります
なので、定理中で「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は」と書くと、次数が合わないですね
（ｎ−１次の方程式が、ｎ個の根を持つことになりますから）
だから、式を直すか、根の数を直す必要がありますね

924: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:32 ID:CX/otP+s(7/9) AAS
>>923 誤変換訂正

加約で因子（x-1）を持つので、
　↓
可約で因子（x-1）を持つので、

925(1): 2019/10/17(木)12:01 ID:4+tTJiqO(1) AAS
ζ=exp(2πi/5)、a=(ζ+2)^4(ζ^2+2)、K=Q(ζ)、Lはx^5-aの分解体、PはGal(L/Q)の2-Syllow群、MはPの作用で動かないLの元全体
にしたらどうだろ？
[M:Q]=5、LはMを含む最小のガロア拡大までは正しいけど、どんなm∈M＼Qをとっても最小多項式はx^5-cの形にならないのではなかろうか？
半分勘だけど。

926(1): 2019/10/17(木)13:10 ID:fQMp07ks(1/4) AAS
>>925
これ撤回。
反礼にならないな。
ガロア群がc5とaut(c5)の半直積のケースは全部最小多項式が２項のものがとれるのかな？

927(2): 2019/10/17(木)13:54 ID:fQMp07ks(2/4) AAS
>>926
成立するかも。
Q(exp2πi/5)の類体が1を認めると割とスッキリ示せるっぽい。
しかし類対論は真剣に勉強した経験ないので自信なし。

928(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)17:53 ID:CX/otP+s(8/9) AAS
>>927
どうもスレ主です。
ひょっとして、おっちゃんですか？
外していら、失礼（＾＾；

929(1): 2019/10/17(木)18:15 ID:fQMp07ks(3/4) AAS
>>928
私はオッさんではある。
やっぱりLをx^5-(-1+√5)/2の分解体にした時むりかな？
無理である可能性をx^5-k kはKの単数の場合まで絞り込めたけど難しいね。これ。

930: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)18:50 ID:CX/otP+s(9/9) AAS
>>929
＞私はオッさんではある。

ああ、そうでしたか
これは失礼しました
しかし、難しいことを考えられますね（＾＾

931: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)18:58 ID:448PbhX4(6/12) AAS
>>914
いちいちごもっとも

>>909みたいにアケスケに書けば

1→ζ→ζ^2→…→ζ^(n-1)→ζ^n=1

みたいなナイーブな認識が
円分体のガロア群に関しては
全然見当違いだと分かる
（クンマー拡大とは違うのだよｗ）

例えばφ12は4次式で
ζ=exp(2πi/12)cos(2π/12)+i*sin(2π/12)
省19

932(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:00 ID:448PbhX4(7/12) AAS
>>915
>Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、

そうですね　ツッコむために勉強してます（ひでぇ）

>スレ主さんとは違って自分の頭を通して書いているな
>というのが分かります。

そうですね　そうでないとツッコめませんから（ひでぇ）

>「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
>とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
省9

933: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:02 ID:448PbhX4(8/12) AAS
>>916
>(スレ主は)まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。

全くおっしゃる通り

あのね、工学屋は別にガロア理論なんて知らなくたって困りませんよ
代数学の基本定理だって、結論だけ知っときゃいいｗ
「ｎ次方程式は、重解も含めて必ずｎ個の解がある」とかね
解は、数値解法でゴリゴリ求めればいい

馬鹿が粋がって「ガロア理論がー」とかいって初歩的な誤りを連発
しかも誤りを指摘されても決して認めずワケワカランな抗弁するから
イジりまくられる
省4

934(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:02 ID:448PbhX4(9/12) AAS
>>919
>なんか、混乱していませんか？

おまえがなｗ

ぶっちゃけ「最小多項式」が分かってないだろｗ

wikipedia
最小多項式 (体論)

「α の最小多項式は
　α を根として持つ F[x] の 0 でないすべての多項式のうち
　次数が最小のモニック多項式である。」
省2

935(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:04 ID:448PbhX4(10/12) AAS
>>923
wikipediaの円分多項式のところを読め

φnを円分多項式とする

　(x^12-1)
＝φ1φ2φ3φ4φ6φ12

ζ=cos(2π/12)+i*sin(2π/12)とする

φ1=(x-1)　根は１
φ2=(x+1)　根はζ^6=-1
φ3=(x^2+x+1)　根はζ^4、ζ^8
φ4=(x^2+1)　根はζ^3=i　ζ^9=-i
省2

936: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:10 ID:448PbhX4(11/12) AAS
>>901
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.hyogo-u.ac.jp
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学大迎規宏著 -修士論文 2003

馬鹿は上記の論文読んでないだろ
読めば、定理4.9(p72)で貴様の主張が否定されてると分かるぞ

937: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:21 ID:448PbhX4(12/12) AAS
x^5+b=0のとき、判別式Dfは3125*b^4で、
3125は5^5だから、Δf=√Dfは、有理数になりようがない
つまり、x^5+b=0のガロア群はF20

938(1): 2019/10/17(木)20:14 ID:rXxqe236(7/8) AAS
>>918
aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。
分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。
つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる
（分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが
最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。
わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。
なので、Mara Papiyas氏の挙げた2項方程式は
省1

939(1): 2019/10/17(木)20:16 ID:rXxqe236(8/8) AAS
>>927
最初の4次拡大がQ(ζ)/Q（ζは1の原始5乗根）と一致するかどうかなので、そんな難しい話じゃないと思いますよ。

940(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)20:51 ID:khSgay+Z(6/9) AAS
>>938
＞まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。

ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう

いや
ご指摘の通りです
Q上で、5次方程式の既約２項方程式 x^5-a＝0 のガロア群、位数20の可解群を持ちます
ご指摘の通りです m(＿＿)m

941(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:08 ID:khSgay+Z(7/9) AAS
>>914 >>934-935

ID:rXxqe236さん、ID:448PbhX4さん、あなたたちが正しいわ
大変失礼しました。円分多項式（円周等分多項式）ですよね

草場公邦「ガロワと方程式」P118　5.5　「円周等分多項式の既約性」
に、詳しい説明がありました

とすると、”１のｎ乗根（Joh著）物理のがきしっぽ”さん外部ﾘﾝｸ:hooktail.sub.jp
ｎ＝pのときのイメージのままで書いているのかも（＾＾；

（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
円分多項式
省26

942(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:13 ID:khSgay+Z(8/9) AAS
>>940 追加

巡回群については、下記が参考になるでしょう
外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp

巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)

元吉文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20

943(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:50 ID:khSgay+Z(9/9) AAS
>>941 追加情報

外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
講究録別冊数理解析研究所
外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
RIMS Kokyuroku Bessatsu B50:
Study of the History of Mathematics
ed. T. Ogawa
June, 2014 Contents 259pp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察 (数学史の研究)
省2

944(3): 2019/10/17(木)23:11 ID:fQMp07ks(4/4) AAS
>>939
誰かが書いてた

Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる

というのが正しいのかチェックしてるんですけどそんな難しくないんですか？
まぁほとんどのそうでない可能性は潰せてるので行けそうなんですけど。

945(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)05:27 ID:yJv1enDY(1/17) AAS
>>940-941
もういいだろ

次スレはタイトルから「古典ガロア理論も読む」は外せよ
貴様にガロア理論なんか語るのは到底無理だから

代わりにAIとかいれるのは随意
どうせリンク張るだけなんだからｗ

946(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)05:32 ID:yJv1enDY(2/17) AAS
>>942-943
ついでにHNからも「古典ガロア理論も読む」は外せよ
貴様にガロア理論なんか語るのは到底無理だから

947: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)06:07 ID:yJv1enDY(3/17) AAS
貴様が次スレのタイトルとHNから
「古典ガロア理論も読む」を外すんなら、
以下の爆笑コメントはテンプレに入れなくてもいいぞ
（ていうか過去スレリンク以外わざわざテンプレしなくていい
　貴様のみっともない恥晒すだけだろｗ）

>>839
＞Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする
＞　↓
＞１の5乗根の原始根をζ5と書く
＞あと、5√a(aの5乗根の実根)な
省6

948: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)06:15 ID:yJv1enDY(4/17) AAS
次スレ名　「現代数学の系譜よもやま雑談 78」
HN　「現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE」
テンプレ　１

「この伝統あるすれは、皆さまのご尽力で、
　過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

　このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。
　それで宜しければ、どうぞ。
　
　後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、
　まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
省10

949: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)06:21 ID:yJv1enDY(5/17) AAS
テンプレ　続き
>>2-4　の（このスレの常連カキコさん説明）は削除　全くの無駄ｗ
>>5-6　の　過去スレリンクは、リンク以外の説明は削除
リンクは極端にいえば、前スレだけでOK　(>>1で書けるだろ）

1に書く文章だが
「このスレは、現代数学に関するよもやま雑談スレとします。」
のほうがいいな

950(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)06:28 ID:Zm+yHrIo(1/9) AAS
>>945-946
ぼくちゃん、ご苦労さん
　>>915のID:rXxqe236さん、この人はレベルが高いというのは分かった
しかし、ぼくちゃん、ガロア理論が分かっていないのは、おれとそれほど変わらんよな

　例えば、>>836の大失敗など。
まあ、「Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが」（>>915）と書かれて
「そうですね　ツッコむために勉強してます」（>>932）と自分で書いていたけど
確かに、ぼくちゃんのレベルは、おれから見ても、そういう（再勉強しながらという）感じがするね

おれは、基本的には
”おっさんずゼミ＝「どこのだれとも知れぬ”名無しさん”のおっさんたちとの、ゼミ」やる気ないです”
省2

951(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)06:38 ID:Zm+yHrIo(2/9) AAS
>>941 補足
>ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察
>高瀬正仁
>円周等分方程式の領域ではラグランジュの省察は正鵠を射ていたが,具体的に表れたものはなお
>雛形に留まっていた.根の相互関係への着目という一点においてガウスに影響を及ぼしたのは間違
>いないが,ガウスが発見した根の巡回性はラグランジュの到達した地点からあまりにも遠いところ
>にあった.それでもラグランジュはガウスが遂行したことの意味合いを理解して,書簡を送ってガウスを称讃した.

”おっさんずゼミ"(>>950)
おれもガロアや、ガウスのような天才秀才じゃない

多分、ぼくちゃんもそうだろう
省5

952(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)06:43 ID:yJv1enDY(6/17) AAS
>>950
私は今まで一言も「ガロア理論が分かっている」とは言っていないｗ

私より分かっている、といわないのなら、
タイトルやHNにガロア理論の名前を出すのはやめとけ

それが人間ってもんだ

＞このガロアスレでの古典ガロア理論に関することだけは・・・

もういいだろ
省11

953: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)06:48 ID:yJv1enDY(7/17) AAS
>>951
＞良いじゃない（＾＾

おまえの態度が良くないなｗ　

おまえ、ガロアの名前でマウンティングしたいだけだろｗ
しかもそれにものの見事に失敗してるｗｗｗ

おまえ、ガロアだけじゃなく無限集合でもボケかましてるんだぞｗ

＞ぼくちゃんとの議論は、それ（ガロア理論の解説）を読むためのきっかけに過ぎない
省6

954: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)06:54 ID:yJv1enDY(8/17) AAS
＞例えば、>>836の大失敗など。

そう思うなら金輪際数学板には書き込まないほうがいいね
おまえの書き込み、大失敗の連続だから
成功した試しが一つもない

なぜか分かるか
貴様は文章を読みもしないし、読んでも文字列を暗記するだけで
中身を理解しようともしないし、計算なんか一つもしないからだ
そんな怠惰な根性で、数学が分かるわけがないだろう？

おまえ、いったい何がしたいの？
ただマウンティングしたいだけなの？
省6

955: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)07:03 ID:yJv1enDY(9/17) AAS
悪いことはいわない

次スレからは「古典ガロア理論も読む」の文字は外せ
「現代数学の系譜よもやま雑談 78」でいいだろ

HNからも「古典ガロア理論も読む」の文字は外せ
「現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE」でいいだろ

貴様は虚勢を張る悪癖がある
虚勢を張りたくなる理由は徹底的にそぎ落せ
貴様がどこの大学の卒業かはしらんが、過去の学歴は忘れろ
貴様の実力は、卒業したとされる大学名に見あってない

どんなにリコウぶっても馬鹿はすぐ露見するんだ
省4

956(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)07:06 ID:Zm+yHrIo(3/9) AAS
>>944
ID:fQMp07ksさん、どうも。スレ主です。

(引用開始)
Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる
というのが正しいのかチェックしてるんですけどそんな難しくないんですか？
まぁほとんどのそうでない可能性は潰せてるので行けそうなんですけど。
(引用終り)

それ、ガロアの逆問題みたいな気がするな

おーい、ぼくちゃん（Mara Papiyas）なんか、コメントしてやんなよｗ（＾＾

（参考）
省10

957(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)07:08 ID:Zm+yHrIo(4/9) AAS
>>952
＞私は今まで一言も「ガロア理論が分かっている」とは言っていないｗ

うむ、謙虚でよろしいｗ（＾＾

958(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)07:08 ID:Zm+yHrIo(5/9) AAS
おれも、雑談古典ガロア理論も読むなんだよね（＾＾

959(2): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)07:14 ID:yJv1enDY(10/17) AAS
>>956
自分がわからないことにもコメントする馬鹿　それが貴様ｗ
>>957
貴様には謙虚さの欠片もないな　会社でも部下にえばってるのか？ｗ
>>958
貴様がガロア理論にどんなロマン感じてるのか知らんが
貴様は勉強する意欲が皆無だから死んでもガロア理論は理解できない
無駄だからスレタイからもHNからも「ガロア理論」の文字外せ
ガロアが見たら貴様に黒板消し投げつけるぞ　ガロアは短気だからなｗ

960(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)07:18 ID:yJv1enDY(11/17) AAS
貴様を弄るネタはガロア理論だけじゃないからなｗ

また、カントルスレでいたぶってやるよ
向こうはこっちよりもさらに低レベルだからな
まったく集合の初歩も分からんくせに
何がガロア理論だ　笑わせるなｗ

961(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)07:18 ID:Zm+yHrIo(6/9) AAS
>>918
>・B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)

追加参考
（後の”Metacyclic Group Wolfram MathWorld”の方が、綺麗に纏まっているが、書きぶりがちょっと違う）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Metacyclic group
(抜粋)
In group theory, a metacyclic group is an extension of a cyclic group by a cyclic group. That is, it is a group G for which there is a short exact sequence
1 → K → G → H → 1
where H and K are cyclic. Equivalently, a metacyclic group is a group G having a cyclic normal subgroup N, such that the quotient G/N is also cyclic.
省10

962(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)07:22 ID:Zm+yHrIo(7/9) AAS
>>960
正則性公理のいう「無限降下列の禁止」を、即断＆誤解していたのはだれ？ｗｗ(゜ロ゜;

（参考）
現代数学の系譜　カントル　超限集合論
2chｽﾚ:math

963(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)07:25 ID:Zm+yHrIo(8/9) AAS
>>959
＞自分がわからないことにもコメントする馬鹿　それが貴様ｗ

うむ、>>944にコメントできないと、自白しているのか？　
　謙虚でよろしい（＾＾；

964: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)07:28 ID:yJv1enDY(12/17) AAS
>>961
あのさ、そういう
「ボクは必死にガロア理論を分かろうとしてるんデス！（涙目）」
みたいなアピールコメント、やめろよ　みっともないから

お前、全然努力してないし、努力する気もないじゃん
円分体の同型写像も確かめずに
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
とか言ってる時点で、
「ああ、こいつ全然勉強してないどころかそもそも勉強する気ゼロだな」
ってのが露見してるんだよ
省5

965(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)07:31 ID:Zm+yHrIo(9/9) AAS
>>959
＞貴様がガロア理論にどんなロマン感じてるのか知らんが

古典ガロア理論ていうのはさ、いろんなところに繋がっている
というか、昔抽象代数学なんていったけど

（最近の数学は全部抽象化されたから聞かないが）
ガロア理論が、原点みたいなものでね

それに、ガロア理論を学べば、いろいろ実益もある（群とか体とかの理解にもつながる）
まあ、書名に「ガロア」と入れると売れるらしいｗ(゜ロ゜;

ここのスレタイもその類いではあるｗ（＾＾；

966: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)07:31 ID:yJv1enDY(13/17) AAS
>>963
そもそも私はおまえみたいに
「どんな質問にも答えられなかったら負け　負けたら死ぬしかない」
みたいな●違いな強迫観念は持ち合わせてないｗ

わからないことには答えられないし
わからないことが山ほどあっても死にはしない
おまえ、何を恐れてるの？
精神科で診てもらったほうがいいぞ

967: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)07:35 ID:yJv1enDY(14/17) AAS
>>965
＞ガロア理論が、（現代数学の）原点みたいなものでね

それ、数学知らん奴の妄想

＞ガロア理論を学べば、いろいろ実益もある
＞（群とか体とかの理解にもつながる）

お前、何も学べてないじゃんｗ
群とか体とか、全然理解できてないじゃんｗ

正規部分群も誤解してたし
円分体の同型写像も分かってなかったじゃん
省8

968: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)07:40 ID:yJv1enDY(15/17) AAS
ま、本当は、次スレも経てず、HN名もやめて
一匿名としてやり直すのが一番いいんだがね

さすがにそこまでいったら貴様の面目丸つぶれだから、せめて
スレタイ＆HNから「古典ガロア理論も読む」の文字外せ
っていってやってるんだぞｗ

おまえ、いったい何様のつもりなの
大阪大ごときでエリート面すんなよ　馬鹿がｗ

969(1): 2019/10/18(金)08:09 ID:mJ2TyGNr(1/8) AAS
>>944
>誰かが書いてた
具体的にはどのレスですか？

>Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる

最小多項式が2項とのことですが、その次数は5ですか？それとも一般のn次ですか？
いずれにしても1のn乗根を添加するとその上のn次クンマー拡大で分解するってことですね。
そんなことは一般には成立しないと思います。

970(2): 2019/10/18(金)08:21 ID:mJ2TyGNr(2/8) AAS
>＞ガロア理論が、（現代数学の）原点みたいなものでね
>
>それ、数学知らん奴の妄想

まぁ、そのあたりは主観によりますね。
現代数学がかなりガロア理論的なものに偏っているのは間違いない。
でも、みんなが同じ方向を向く必要なんてない。
（研究のエネルギーとしてもムダ。）
主流がそっちに向かってるときこそ逆張りするという考えがあってもいいと思います。

971(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)10:39 ID:X/c9sPkS(1/5) AAS
>>970
＞まぁ、そのあたりは主観によりますね。
＞現代数学がかなりガロア理論的なものに偏っているのは間違いない。
＞主流がそっちに向かってるときこそ逆張りするという考えがあってもいいと思います。

ID:mJ2TyGNrさん、どうもスレ主です。
レスありがとう
確かに同意ですが

１）
昔々、数学は、「代数」と「解析」と「幾何」とに三分されていた

２）
省15

972(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)10:40 ID:X/c9sPkS(2/5) AAS
>>971
つづき

５）
「幾何」は、リーマンとかポアンカレの流れがあって、位相空間や多様体が研究され
後の「代数幾何」の基礎になった
（「代数幾何」って、「代数」なのか「幾何」なのか？ｗ）
「代数幾何」の流れ中で、グロタンディーク宇宙なんて考えたらしい

６）
それらが、どんどん発展して、グロタンディーク的手法も使って、
数論の「フェルマー予想」が解かれたそうだ
省10

973(3): 2019/10/18(金)11:21 ID:HOFZxgY0(1) AAS
>>969
定かではありませんが、
5 次拡大がガロア群が可解なら二項拡大
みたいな事書いてました。
でそれは少なくとも下の体がQ(exp(2πi/5))を含む場合でしょと突っ込み入れてました。

実際反礼があるのかと考えてみると中々ないのがわかります。
まずζ=exp(2πi/5), K=Q(ζ), f(x)をQ上の規約多項式で今はこれがK上でも規約まで仮定しておきます。
この上でLをK上の最小分解体, G=Gal(L/K)とし、これが可解とします。
最小性の仮定からGは唯一の極小正規部分群Nを持ち、それが５次巡回群までは自明なのでG/N=Qとおきます。
Qの位数は24の約数で可解なので、少し議論すると2群かまたは位数３の正規部分群を持ちます。
省13

974(1): 2019/10/18(金)13:15 ID:et14HmJl(1/7) AAS
おっちゃんです。
>>971
>( 2)の ) ガロア理論が広まって、どんどん代数が抽象化されていった
正則行列による群の表現や群の表現論などの(代数的)表現論の歴史を語ることはかなり難しくなっているが、少なくともここは
>( 2）の) ガロアの群の概念が広まって、どんどん代数が抽象化されていった
の方がいい。

>3）
>もう一つの流れが「解析」で、(熱伝導方程式に関するその方程式を解くことなどのフーリエの研究から生まれたフーリエ級数
>の収束の問題から生じた)ワイエルシュトラスなどの厳密化の流れの中で、カントールの無限集合論が出て来た
>デデキント先生などは、「代数」と「解析」に跨って、「集合論を数学の基礎にすればいい」なんて考えたみたいです
省4

975(2): 2019/10/18(金)13:36 ID:et14HmJl(2/7) AAS
>>972
>５）
>「幾何」は、リーマンとかポアンカレの流れがあって、位相空間や多様体が研究され
>後の「代数幾何」の基礎になった
>（「代数幾何」って、「代数」なのか「幾何」なのか？ｗ）
>「代数幾何」の流れ中で、グロタンディーク宇宙なんて考えたらしい
クラインはリーと研究をしたことがあって、リーは幾何を大域的に考える方向へ、クラインはより詳細な幾何的構造を考える
方向に考えるようになった。その段階で生まれたリーのリー変換群(今でいうリー群)や
クラインの変換群を用いた幾何の研究のエルランゲン・プログラムも生じた。
そこから生じたリー群(とその表現論)の研究の流れもある。
省2

976(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)15:53 ID:X/c9sPkS(3/5) AAS
>>971 追加

ガロアと名の付く数学用語一覧
（これだけで全部じゃないと思うが）（＾＾
なお、ガロアと名はつかないが、ガロアの後、抽象的な群論が活発に研究された
なので、古典ガロア理論を学べば、必然群論も体論も、おそらくは環や、その他もろもろの代数系の学習の助けになるだろう（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Glossary of field theory
(抜粋)
Types of fields
Finite field
省22

977: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)15:54 ID:X/c9sPkS(4/5) AAS
>>974
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾

978: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)16:05 ID:X/c9sPkS(5/5) AAS
>>976
>A field with finitely many elements. Aka Galois field.

Aka：「aka」は、「also known as」の略語
　あるものに、何か他の呼び方や名前がある時に使うみたいです（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:www.eigowithluke.com
Eigo with Luke
2011.02.16
akaの意味　ネイティブの説明
(抜粋)
今日は「aka」について説明します。この「aka」は、「also known as」の略語になります。
省3

979: 2019/10/18(金)16:28 ID:et14HmJl(3/7) AAS
>>975の訂正：
リー変換群(今でいうリー群) → リー変換群芽(今でいうリー群)
あと、歴史的に一番最初に生じた多様体はリーマン面。

980(1): ID:1lEWVa2s 2019/10/18(金)16:34 ID:8pTIg9/G(1/4) AAS
>>975
リー248群はE8の技
Anthony Garrett Lisi - E8
あいつの素粒子の絵みたことある？
すごいよ。

981: 2019/10/18(金)16:40 ID:et14HmJl(4/7) AAS
複素平面はリーマン面。

>>976
>ガロアと名の付く数学用語一覧
その wiki を見たが、余りないようだな。

982(2): 2019/10/18(金)16:42 ID:et14HmJl(5/7) AAS
>>980
その素粒子の絵は見たことがない。

983(1): ID:1lEWVa2s 2019/10/18(金)16:46 ID:8pTIg9/G(2/4) AAS
>>982
自分で調べろ。

984(1): ID:1lEWVa2s 2019/10/18(金)16:47 ID:8pTIg9/G(3/4) AAS
>>982
"The Geometry of Particle Physics: Garrett Lisi at TEDxMaui 2013" を YouTube で見る

985: ID:1lEWVa2s 2019/10/18(金)16:51 ID:8pTIg9/G(4/4) AAS
"宇宙論「4d2Uとは？」" を YouTube で見る

986(1): 2019/10/18(金)17:14 ID:et14HmJl(6/7) AAS
>>983-984
英会話の説明はチンプンカンプンだったが、
画面にきれいな対称性を持つ円のような図形は出て来た。

987: ID:1lEWVa2s 2019/10/18(金)17:24 ID:KOXE4g88(1) AAS
>>986
それでいい

988: 2019/10/18(金)17:31 ID:et14HmJl(7/7) AAS
それじゃ、おっちゃんもう寝る。

989(1): 2019/10/18(金)17:49 ID:mJ2TyGNr(3/8) AAS
>>973
わたしが理解している話の流れ
位数20の可解群をガロア群として持つ5次方程式の例として
Mara Papiyas氏がx^5-a=0を出した。
しかしスレ主は前々から「基礎体には1のべき根はすべて含まれている」という条件に拘っていて、ガロア群はC_5だろうとこの例を認めなかった。
わたしは、x^3-2=0というQ上S_3をガロア群として持つ有名な例と比較して、氏の例は立派な例になっていることを説明した。
そんな感じですかね。
貴方は途中からよく分からない理由で参入してきた、何をしようとしているのかも不明という印象です。失礼ながら。

990: 2019/10/18(金)18:09 ID:mJ2TyGNr(4/8) AAS
>>973
まず文章が非常に読みにくいです。
反礼→反例、規約→既約　などの誤字が目立ちます。
既約というのは、ご存じでしょうが、これ以上約すことができないという意味だから、既約なんですよ。
規約だと違和感を感じませんか？
Qを有理数体の意味に使ったり、Quotientなる群？の意味に使ったりまぎらわしいです。それはまだしも。
前半の可解な既約5次方程式のガロア群になりうる群位数が制限されるというのは一般的な話ですね。ですが
>さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。
スレに出ていた話では5,10,20のケースがあるそうです。
>20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。
省9

991(1): 2019/10/18(金)18:17 ID:ospgeXvi(1/3) AAS
>>989
いや、ま、私が話の流れから考え出した問題がなんの関係もないどうでもいい問題と思われるなら別に構いませんよ。
私は単にQ上既約５次多項式でその分解体のガロア群が可解の場合なのはどんなものがあるのか、x^5-aの形の多項式の分解体になってないものがどのくらいあるのか興味を持っただけですから。
Q(exp2πi/5))上とQ上では話が違うので前者の上で言えたからと言って後者の上で言えるとは限らないのはおっしゃる通り。
なので確かめてみようと思ったまでです。
別に私も誰も興味ないなら判明しても詳しくかくつもりもありません。
ただ私がQ(exp2πi/5))で言えたからQ上でも言えるはずなどという根拠薄弱な事を言ってると思われたようなのでそんな事はなくキチンと数学的に精査して書いてる事を示しただけです。
まぁきりのいいとこまで考えはしますがウザいようなのでもうここには書きません。
お騒がせでした。

992(1): 2019/10/18(金)18:52 ID:mJ2TyGNr(5/8) AAS
>>991
Q(exp2πi/5))上ならなおさらおかしくないですか？
Q(exp2πi/5))上、方程式x^5-a=0 の分解体は5次クンマー拡大でガロア群は
必然的にC_5なので、ガロア群位数20はそもそも生じないことになります。
基礎体を大きくしてもいいなら、わたしも反例の存在を大まかに説明できるかもしれません。
具体例ではなく、概念的な反例になりますが。
具体例であれば、スレ中に可解な5次方程式についての論文のリンクが貼ってあったので、それが参考になるでしょう。
>まぁきりのいいとこまで考えはしますがウザいようなのでもうここには書きません。
>お騒がせでした。
別にうざくはないですよ。もともとクソみたいなスレなので
省2

993: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)19:27 ID:yJv1enDY(16/17) AAS
>>992
＞もともとクソみたいなスレなので

そもそも、ここってクソな1を凹るスレだろ？ｗ

＞仮に間違っていたとしてもスレでは日常茶飯事

1は口を開けば間違いしか言わんからな
それにしても>>973の書き込みはヤバい感じがプンプンしてましたな
5chってそういう人が多いからね　病気なら仕方ないけど

994: ◆QZaw55cn4c 2019/10/18(金)19:37 ID:g8NBUxtW(1) AAS
>>965
＞書名に「ガロア」と入れると売れるらしいｗ(゜ロ゜;
そのとおり！
石井俊全氏の「ガロア理論の頂を踏む」をよろしく、
です、私は第2章可解群で撃沈しているのですが…いつかもう一度第一章からチャレンジしたいと思っています

995(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)19:44 ID:yJv1enDY(17/17) AAS
>>970
正直言って、20世紀的な現代数学は、今となってはハンパに古臭い
群論も今の幾何学ではケイリーグラフとかオートマトン構造とか
使って研究してるじゃないですか
要するに大事なのは結果が出るかどうかであって何でもあり
「抽象的」とかいうスタイルとかいうか雰囲気に固執するのは
数学自体に興味はなくて、ただ粋がりたいだけのファッション馬鹿でしょｗ

996(1): 2019/10/18(金)19:57 ID:ospgeXvi(2/3) AAS
まぁ病気だと思われてまで書くのもなんなのでこれ以上は書きません。
お騒がせでした。

997: 2019/10/18(金)20:04 ID:mJ2TyGNr(6/8) AAS
>>996
病気とは思ってませんよ。
ここに書くことは相手に伝わる文章も書く訓練としてもいいと思います。
また気が向いたら書かれてみては。
正直何が言いたい・やりたいのか分からなかった。少し気になります。

998(1): 2019/10/18(金)20:16 ID:ospgeXvi(3/3) AAS
やりたい事は
Q上５次既約多項式の分解体のガロア群が可解であるものを分類せよ。
特にx^5-aの形の既約多項式の分解体でないものはどれくらいあるのか？
です。
意外に？ほとんどかの形してます。
少なくとも５次二面体群になるやつはないようで５次巡回拡大かc5⋊(aut(c5))しかないようで後者はあるaでのx^5-aの分解体になるようです。
前に書いたレスでaがQ(exp(2πi/5))の整数環の単数になる場合が検討しきれてない。

999: 2019/10/18(金)20:27 ID:mJ2TyGNr(7/8) AAS
>>998
aがQ(exp(2πi/5))の数ならQ上にならないじゃん
↑
悪意のないツッコミ（＾＾
数え方というのもよく分からない。
自分の構成法が偏ってれば、当然そういう形ばっかりになる
そうでないと言える構成法があるんでしょうか？

1000: 2019/10/18(金)20:31 ID:mJ2TyGNr(8/8) AAS
>>995
そういう話はよく分からない。
ガロア理論的数学といえばあからさまなのは数論幾何とか
モッチー理論もダメと言われながら、依然として話題。

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