リーマン・ルベーグの補題

リーマン・ルベーグの補題 (14ﾚｽ)
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1: 11/20(木)04:42 ID:/JLBeZKP(1) AAS
リーマン・ルベーグの補題について

2: 11/20(木)06:38 ID:NFYaC96R(1) AAS
知らんだろ？
絶対可積分でない世界を

3: 11/20(木)07:01 ID:eWRKBpxi(1) AAS
早く”こっち側”に来いよ

4: 11/20(木)07:46 ID:od+T+c9p(1) AAS
a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b と分割すると

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx
= Σ_{i=0}^{n-1} ∫_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)g(x) dx.

x_i ≤ λ_i ≤ x_{i+1}を、[x_i, x_{i+1}]で|f|が最大値を取る点とすると

|∫_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)g(x)dx| ≤ |f(μ_i) ∫_{x_i}^{x_{i+1}} g(x)dx|.

5: 11/20(木)07:48 ID:+ygSLA/k(1) AAS
上からおさえる団

6: 11/20(木)08:00 ID:laozyZE7(1) AAS
へぇ

7: 11/20(木)11:50 ID:cojKkvnz(1) AAS
||f - g_n|| < ε_n → 0 (n → ∞)

8: 11/20(木)12:33 ID:h69tY6L0(1) AAS
可積分関数のフーリエ変換が無限大で0になる

9: 11/22(土)14:16 ID:MRa8IhVs(1/6) AAS
I=[a, b]を有界閉区間、f(x)をI上可積分な関数、g(x)をsintxまたはcostxとし、A=∫[a, b]f(x)g(x)dxと置くと
t→+∞の時、A→0となる。

a=bの時は自明。a<bとする。
fはI上可積分なので∀ε>0 ∃δ>0: d(Δ)<δとなるような、有界閉区間Iの∀分割Δに対して0≤S(Δ)-s(Δ)<ε/2となる。
fはI上可積分なのでI上有界である

11: 11/22(土)14:18 ID:MRa8IhVs(3/6) AAS
≤|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ]|((f(x)-f(xₖ))g(x)dx|
+|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(xₖ))g(x)dx|
≤∑[k=1, n] | [Mₖ, mₖ] |xₖ-xₖ₋₁|
+|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(xₖ))g(x)dx|

12: 11/22(土)14:19 ID:MRa8IhVs(4/6) AAS
g(x)=sintxの時、
≤∑[k=1, n] | [Mₖ, mₖ] |xₖ-xₖ₋₁|
+|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(xₖ))sintxdx|
=∑[k=1, n] |Mₖ,-mₖ| |xₖ-xₖ₋₁|
+|∑[k=1, n]| (costxₖ₋₁-cosxₖ)(M/t)

13: 11/22(土)14:20 ID:MRa8IhVs(5/6) AAS
≤S(Δ)-s(Δ)+2Mn/t
分割Δを1つ固定したのでnは一定である
t₀=4Mn/εと置くと
∀t≥t₀: |A|<ε/2+ε/2=εとなる
g(x)=costxの時も同様である

14: 11/22(土)15:40 ID:MRa8IhVs(6/6) AAS
S(n)=∑[k=1, n] n/(n²+k²)とする
S(n)=∑[k=1, n] (1/n)/(1+(k/n)²)
区間[0, 1]=Iとする。
f(x)=1/(1+x²)とするとfはI上連続または単調減少なので可積分である。
S(n)はf(x)の、Iの1つの分割Δₙに対する1つのRiemann和である(n等分、代表点ξₖ=k/n)
n→+∞の時、S(n)=∑f(ξₖ)Δₙ
→∫[0, 1]dx/x²+1=Arctan1-Arctan0
省1

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