リーマン・ルベーグの補題 (14ﾚｽ)
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9: 11/22(土)14:16 ID:MRa8IhVs(1/6) AAS
I=[a, b]を有界閉区間、f(x)をI上可積分な関数、g(x)をsintxまたはcostxとし、A=∫[a, b]f(x)g(x)dxと置くと
t→+∞の時、A→0となる。

a=bの時は自明。a<bとする。
fはI上可積分なので∀ε>0 ∃δ>0: d(Δ)<δとなるような、有界閉区間Iの∀分割Δに対して0≤S(Δ)-s(Δ)<ε/2となる。
fはI上可積分なのでI上有界である

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10: 11/22(土)14:18 ID:MRa8IhVs(2/6) AAS
すなわち
∀x∈I, ∃M>0: |f(x)|≤Mとなる
∀t>0 x∈I: |sintx|≤1かつ|costx|≤1

これらを満たす分割Δを1つ固定する。
|A|=|∑[k=1, n] ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(x)-f(xₖ)+f(xₖ))g(x)dx

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11: 11/22(土)14:18 ID:MRa8IhVs(3/6) AAS
≤|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ]|((f(x)-f(xₖ))g(x)dx|
+|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(xₖ))g(x)dx|
≤∑[k=1, n] | [Mₖ, mₖ] |xₖ-xₖ₋₁|
+|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(xₖ))g(x)dx|

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12: 11/22(土)14:19 ID:MRa8IhVs(4/6) AAS
g(x)=sintxの時、
≤∑[k=1, n] | [Mₖ, mₖ] |xₖ-xₖ₋₁|
+|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(xₖ))sintxdx|
=∑[k=1, n] |Mₖ,-mₖ| |xₖ-xₖ₋₁|
+|∑[k=1, n]| (costxₖ₋₁-cosxₖ)(M/t)

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13: 11/22(土)14:20 ID:MRa8IhVs(5/6) AAS
≤S(Δ)-s(Δ)+2Mn/t
分割Δを1つ固定したのでnは一定である
t₀=4Mn/εと置くと
∀t≥t₀: |A|<ε/2+ε/2=εとなる
g(x)=costxの時も同様である

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14: 11/22(土)15:40 ID:MRa8IhVs(6/6) AAS
S(n)=∑[k=1, n] n/(n²+k²)とする
S(n)=∑[k=1, n] (1/n)/(1+(k/n)²)
区間[0, 1]=Iとする。
f(x)=1/(1+x²)とするとfはI上連続または単調減少なので可積分である。
S(n)はf(x)の、Iの1つの分割Δₙに対する1つのRiemann和である(n等分、代表点ξₖ=k/n)
n→+∞の時、S(n)=∑f(ξₖ)Δₙ
→∫[0, 1]dx/x²+1=Arctan1-Arctan0
省1

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