行列とは何か (47ﾚｽ)
上下前次1-新
39: 10/18(土)10:06 ID:F4I9L+TI(3/7) AAS
任意の二点間の距離を変えない変換を合同変換T
T₀は直線を直線にうつす
T₀(𝙤)=𝙤、T₀(𝙭)=𝙖、T₀(c𝙭)=c𝙖=cT₀(𝙭)
三角形は合同な三角形にうつるから
𝙭→𝙖、𝙮→𝙗⇒𝙭+𝙮→𝙖+𝙗となる
T₀(𝙭+𝙮)=𝙖+𝙗=T₀(𝙭)+T₀(𝙮)
従ってT₀は線型変換である
|A𝙭|=|𝙭|なのでAは直交変換
平行移動T₁はT₁(𝙭)=𝙭+𝙖と書ける
一般の合同変換TはT𝙭=A𝙭+𝙖
Ã𝙭˜=A 𝙖 𝙭
ᵗ𝙤 1 1
→A𝙭+𝙖
1
合同変換群
分けると
E 𝙖
ᵗ𝙤 1 は平行移動
合同変換Tが裏返しをしない時、運動と言う。右手系を右手系にうつし、正の角を正の角にうつす。平行移動は運動である
直交変換はdetA>0の時に運動となる
運動Tが線型変換の時、Tは回転
detA=±1、運動群、回転群
Aを直交行列から正則行列に変えると
アフィン変換
A 𝙤
ᵗ𝙤 1 は直交変換
未知数n個、方程式の本数m本の連立一次方程式。
解が求まる、解が無い不能、解が定まらない不定。
ここでは解が一意に定まる場合と不定になる場合を考える
A、Ã=(A 𝙘)を係数行列、拡大係数行列
𝙭˜=(𝙭 -1)、A𝙭=𝙘 ⇔ Ã𝙭˜=𝙤
これに左基本変形を何度施しても解は変わらない
∀P∈GL(n, ℂ): PÃ𝙭˜=𝙤
ここで新たな変形を付け加える、
未知数の交換である
定数項ベクトルには触れずにAの列交換を施すことに相当する
3x+y=5 ∧ 2x-y=2を
x+3y=5 ∧ -x+2y=2 に変換すること。
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