行列とは何か (47ﾚｽ)
上下前次1-新

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32: 10/15(水)09:48 ID:MphqDkI/(1/2) AAS
n次正方行列、加法、減法、乗法が常に可能
零行列О→0、単位行列E→1と考えてよい場合がある
除法はスカラーの場合、a≠0ならば
ab=1を満たすbがaにおうじて常に存在する。b=a⁻¹≠0
行列Aに対してAX=XA=Eとなる行列Xが存在する時、Aは正則である、Aは正則行列である。XをAの逆行列、X=A⁻¹
行列の場合、A=Оならば逆行列は存在しない。これはスカラーと同じだが
A≠Оであっても逆行列は存在しない場合がある
(A⁻¹)⁻¹=A、c≠0⇒(cA)⁻¹=A⁻¹c⁻¹=c⁻¹A⁻¹
(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹、
正則行列全体の集合は群をなす
Aが正則⇒A'、ᵗAも正則である
正方行列の対角部分に正方行列を置く区分けを対称な区分けと呼ぶことにする
対角行列、対角成分、
cE→cをスカラー行列
対角成分の和をtrA、固有和、跡、trace、spur
線型性、Tr(cA)=cTr(A)、Tr(A+B)=TrA+TrB
可換性、Tr(AB)=Tr(BA)
冪に関して指数法則が成り立つ
AB=BA(可換)ならば(AB)ᵏ=AᵏBᵏ、A⁰=E
更にAが正則行列ならばA⁻ᵏ=(A⁻¹)ᵏ、A⁰=Eとして任意の整数kに対して指数法則が成り立つ。

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