Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (882ﾚｽ)
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840: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/07(日) 15:56:05.42 ID:hvfvmXnW

>>807
>>”V_0 ∈ V_1 ∈ V_2 ∈ V_3 ∈・・・ってやって”は、ノイマン宇宙でも同じでは？
>V_nって宇宙だろ？　だったら違うな

まあ、学部の数学では 宇宙は まず出てこないし
数学屋の中でも ”宇宙”の定番定義は ないだろうよ
下記の 薄葉 季路 (早大理工)氏 などが、これからの学会標準を作っていくのだろう

さて、ゲーデルの Constructible universe L（下記）がある
ノイマン宇宙V グロタンディーク宇宙Uで 集合の記号⊂を流用すると
L ⊂ V ⊂ U となる

あとは、各論文毎に用語”宇宙”の定義について
眉に唾しながら 見てゆくしかないだろうｗ　（＾＾
用語”宇宙”に目くじら立てるのは、基礎論ド素人だけだよｗ　；ｐ）

(参考)
https://www.mathsoc.jp/activity/video/2017spring/0324usuba.html
企画特別講演　2017年度年会 日本数学会
講演者
薄葉 季路 (早大理工)
講演題目
集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
動画 https://youtu.be/WQzlEj1g71M?t=1
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
講演資料
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%9B%86%E5%90%88
ゲーデルの構成可能集合（ constructible universe または Gödel's constructible universe）
構成可能集合全体のクラス L を構成可能宇宙と呼ぶ。
性質
L は全ての順序数を含む最小の ZFC のモデルである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe
Constructible universe
In mathematics, in set theory, the constructible universe (or Gödel's constructible universe), denoted by
L, is a particular class of sets that can be described entirely in terms of simpler sets.
L is the union of the constructible hierarchy Lα.
It was introduced by Kurt Gödel in his 1938 paper "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis".[1] In this paper, he proved that the constructible universe is an inner model of ZF set theory (that is, of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded), and also that the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis are true in the constructible universe.
(google訳)
LはZFCの標準的な内部モデルである
Lは絶対的かつ最小である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/840

858: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/07(日) 21:12:20.02 ID:hvfvmXnW

>>857
>グロタンディクの数学だから
>グロタンディク宇宙使ってるというのは
>典型的な高卒ド素人の妄想

これだから、無知なド素人には困るｗ
といっても、私も似たようなもので 圏論は 2冊かじっただけだが ；ｐ）
グロタンディクの数学＝圏論 で
グロタンディークが圏論好きで 圏論の名手であることは有名だが
彼は、ZFCでは満足出来なかったんだ
圏論のために 宇宙を創造したのだよ（神の如くにｗ）

但し、用語”宇宙”に ２種ある
グロタンディークの50年くらい前の定義と（下記 Streicher, Thomas (2006)ご参照）
最近のは 下記の 薄葉 季路 (早大理工)らの 21世紀 基礎論・集合論屋さんの定義と（池上大祐>>850もこれ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
圏論
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが真のクラスを用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
The concept of a Grothendieck universe can also be defined in a topos.[1]
Notes
1 https://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/NOTES/UniTop.pdf
Streicher, Thomas (2006). "Universes in Toposes" (PDF). From Sets and Types to Topology and Analysis: Towards Practicable Foundations for Constructive Mathematics. Clarendon Press. pp. 78–90. ISBN 9780198566519.
Ｐ3
Grothendieck who introduced this notion for the purpose of a convenient and exible set-theoretic foundation of category theory. More precisely, he suggested to use ZFC together with the requirement that every set A be contained in some Grothendieck universe guaranteeing at least^5 an infinite sequence
U0∈U1∈・・・Un-1∈Un∈Un+1∈・・・
of Grothendieck universes.

Note 5
Actually, postulating choice for classes gives rise to a class function Un that assigns to every set a a Grothendieck universe Un(a) with a Un(a). Then by trans nitely iterating the function Un one obtains incredibly big hierarchies of Grothendieck universes.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/858

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