Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (1002ﾚｽ)
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840: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/07(日) 15:56:05.42 ID:hvfvmXnW

>>807
>>”V_0 ∈ V_1 ∈ V_2 ∈ V_3 ∈・・・ってやって”は、ノイマン宇宙でも同じでは？
>V_nって宇宙だろ？　だったら違うな

まあ、学部の数学では 宇宙は まず出てこないし
数学屋の中でも ”宇宙”の定番定義は ないだろうよ
下記の 薄葉 季路 (早大理工)氏 などが、これからの学会標準を作っていくのだろう

さて、ゲーデルの Constructible universe L（下記）がある
ノイマン宇宙V グロタンディーク宇宙Uで 集合の記号⊂を流用すると
L ⊂ V ⊂ U となる

あとは、各論文毎に用語”宇宙”の定義について
眉に唾しながら 見てゆくしかないだろうｗ　（＾＾
用語”宇宙”に目くじら立てるのは、基礎論ド素人だけだよｗ　；ｐ）

(参考)
https://www.mathsoc.jp/activity/video/2017spring/0324usuba.html
企画特別講演　2017年度年会 日本数学会
講演者
薄葉 季路 (早大理工)
講演題目
集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
動画 https://youtu.be/WQzlEj1g71M?t=1
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
講演資料
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%9B%86%E5%90%88
ゲーデルの構成可能集合（ constructible universe または Gödel's constructible universe）
構成可能集合全体のクラス L を構成可能宇宙と呼ぶ。
性質
L は全ての順序数を含む最小の ZFC のモデルである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe
Constructible universe
In mathematics, in set theory, the constructible universe (or Gödel's constructible universe), denoted by
L, is a particular class of sets that can be described entirely in terms of simpler sets.
L is the union of the constructible hierarchy Lα.
It was introduced by Kurt Gödel in his 1938 paper "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis".[1] In this paper, he proved that the constructible universe is an inner model of ZF set theory (that is, of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded), and also that the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis are true in the constructible universe.
(google訳)
LはZFCの標準的な内部モデルである
Lは絶対的かつ最小である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/840

909: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/10(水) 21:11:30.30 ID:u0x0EfOw

>>906
>グロタンディーク宇宙は集合だし他の（同値でない）定義などない
>wikipediaもマクレーンもSGA4も望月もそう言ってる

基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ）

まず、雪江 代数の教科書の用語から
『永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした.』
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦代数の教科書
・教科書の 用語について (2012/7/7更新) https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
私の教科書の用語について
用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう.
2. 「可除環」か「斜体」か
さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう? 桂では「斜体」と呼んでいるが，
この用語を使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，
「ヴェーダーバーンの定理」の状況ではdivision ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にしたら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて語るときskew field という用語を使うことはないだろう.
これが英語でdivision ringなら「可除環」がよいだろうと思った.
永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした.
(引用終り)

同じ用語の議論が、基礎論の用語 宇宙・クラス・集合にもあるだろう
カントールの集合論では、クラスは 全く意識されていなかった
ところが、ラッセルのパラドックスで、集合とクラスを分けて パラドックスを回避するよう 集合公理が定められた
すべて集合の集合は、許されない！　それは、クラスだとなった
時代が進んで、21世紀 >>859 薄葉 季路 (早大理工) 集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
P3
集合の宇宙
・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す
・Vは集合ではない
(引用終り)

これに当てはまるのが、>>840 ゲーデルの Constructible universe L
ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで
集合の記号⊂を流用すると
L ⊂ V ⊂ U となる
さて、クラスの話に戻ると グロタンディークは圏論を展開するため
ノイマン宇宙Vは狭いと考えて Vを拡張して 強引に宇宙の公理を使って
全てを集合として 圏論を展開することにした

つまり、ノイマン宇宙Vではクラスでも グロタンディーク宇宙Uならば 集合となるのです
つまり、何がクラスかは 設定する公理で変わる

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/909

911: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/10(水) 21:14:58.77 ID:u0x0EfOw

>>906
>グロタンディーク宇宙は集合だし他の（同値でない）定義などない
>wikipediaもマクレーンもSGA4も望月もそう言ってる

基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ）

つまり、ノイマン宇宙Vではクラスでも グロタンディーク宇宙Uならば 集合となるのです
つまり、何がクラスかは 設定する公理で変わる

つづく

>>910 タイポ訂正

が 定義上は集合で しかい ノイマン宇宙Vより大
　↓
が 定義上は集合で しかし ノイマン宇宙Vより大

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/911

915: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/10(水) 23:06:19.72 ID:u0x0EfOw

>>913-914
基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ）

>>909 再録
薄葉 季路 (早大理工) 集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
P3
集合の宇宙
・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す
・Vは集合ではない
(引用終り)

だから、宇宙は ”集合ではない”！ｗ　；ｐ）
で
　>>840 ゲーデルの Constructible universe L
ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで
L ⊂ V ⊂ U
ここでも、明らかに ノイマン宇宙V は 集合ではない
また、Lも集合ではない

この流れの中で、グロタンディーク宇宙U も その本質は 集合ではないが
だが、グロタンディークがUを考えたそもそもは
圏論をやるのには Vでは クラスだのなんだのと 不便だから
Vを広げて Uの中に取り込んで なんでも集合にして
圏論をやりやすく ということなわけだった

だから、そもそも 集合 vs クラス において
狭い ノイマン宇宙V では クラスだが
グロタンディーク宇宙U では 集合だとなる
つまりは 公理の取り方で 集合 vs クラスの考えは変わるよ

と 同様に グロタンディーク宇宙Uは 何者よ と考えたとき
薄葉 季路氏は「集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙で
Vは（普通の）集合ではない」ってことだが

ここらは、要するに 用語： 集合 vs クラス vs 宇宙 において
あきらかに 文脈によって 意味が変わっているってことだね
（というか、公理的集合論が考えられたのが 1900年代のはじめで
その後 ノイマン宇宙Vや 構成可能宇宙L 圏論のグロタンディーク宇宙U
その上に 薄葉 季路氏の 強制法 ”集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—”
この間100年。雪江明彦 用語について>>909 と同じで 時代によって 変遷があるってこと）

そういう用語の混乱と整理は
薄葉 季路氏の仕事だから
そっちに丸投げだ　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/915

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