Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (983ﾚｽ)
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764: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/05(金) 15:33:28.44 ID:yXqL6vjN

ＭＳの「もしもサンタクロースがいたら」的メンタルピクチャーによる議論

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(3jikanban).pdf

p2
一般には、E[l]に対してすべての bad multiplicative reduction の有限素点において
標準的な「乗法的部分空間」と「生成元」と一致する
大域的な「乗法的部分空間」と「生成元」は存在しない！

p3
が仮に存在する（！！）と仮定しよう

p4
Hodge-Arakelov理論の基本定理は（「大域的乗法的部分空間」を「持つ」という仮定の下で）
次のように定式化できる

p5
・・・のような不等式が帰結される！
ただし、肝心な大域的な乗法的部分空間と生成元は実際には存在しないため、
この議論はただちに適用することはできない。

しかし、今度は次のような突拍子もない（！）ことを考えたくなる。
もし例えば・・・という対応によって数体Fの自己同型を定義することができたらどうなるか？
「自己同型」は数論的線束の次数を必ず保つわけだから、
上記対応の右辺の次数の絶対値は左辺の（平均的！）次数の絶対値と比べて「小さい」ため
同じように・・・のような不等式が帰結される

もちろん、そのような数体の自己同型は実際には存在しない！！
しかし左辺の{q^(j^2)}と右辺のqを、
それぞれ別々の「（通常型の）環・スキーム論」＝「数論的正則構造」に所属するものと見做し、
所望の対応＝
「HA理論をディオファントス幾何に応用する上での障害」に対する一種の「同義反復的解決」
{q^(j^2)}→q
を、相異なる正則構造を持つリーマン面の間の擬等角写像のようなもの
と思うとどうなるか？

p6
つまり（先ほどの数体上の楕円曲線の話に戻ると）
通常の環・スキーム論を部分的に解体することによって
所望の対応を実現することができるということである。
ただし、通常の環・スキーム論を部分的に解体して（＝歪めて）しまったとき、
どのくらいの歪みが生じるかを計算する必要がある。
この壮大な計算がIUTeichの内容である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/764

777: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/06(土) 09:48:35.25 ID:JgP2aXhR

>>764-765
>https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(3jikanban).pdf
>「屁理屈による二重三重の言い逃れ」とみるか

それは、下記 2014年02月で
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
(出張・講演)
[15] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《3時間版》 （京都大学数理解析研究所 2014年02月）
だね

そして
2012年8月のIUTプレプリ発表後であり
2018年3月、ペーター・ショルツェとの討論の前だ

だから、「言い逃れ」は外れで 率直に 自らのアイデアを表明しているとかいすべき
実際 下記 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論 （北海道大学 2003年11月）
にあるように、ここのP1 §1 圏のIU幾何(The Inter^Universal Geometry of Categories)
§1.1 の二つ目の四角の ”Sheme論(/a!)だけでは不十分。F1上のキカが必要”
とある通りだ。つまり、望月氏は F1（1元体）を構想している
（なお、§1.2 IUキカによる「解消」(resolution)：一言でいうと、宇宙(universe)の拡大を使ってラベルを貼る。 a1∈{a1,b1} = a2∈{a2,b2} = a3∈{a3,b3} = a4∈・・・
そして aiたち→a, biたち→b と同一視する ＝ quotionを作る などと記す。ここが望月氏の”宇宙(universe)の拡大”の原点のようだ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
ABC予想を解く要件[1]の考察により、遠アーベル幾何などを拡大した圏の宇宙際 (IU) 幾何を構想した数学理論である[2]。
出典
1^ a b “数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論 （北海道大学 2003年11月）”https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93
一元体
一元体（英: field with one element）あるいは標数 1 の体 (field of characteristic one) とは、「ただひとつの元からなる有限体」と呼んでもおかしくない程に有限体と類似の性質を持つ数学的対象を示唆する仮想的な呼称である。しばしば、一元体を F1 あるいは Fun[note 1] で表す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/777

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