Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
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566: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/31(日) 13:40:18.46 ID:lylF2dxQ

>>539 戻る
１）下記 未確認飛行 Cさんが、面白い
　1つ無限集合 a を選び、「x は無限集合である」という命題 M(x)
　a の「冪集合」P (a)で、無限集合の族 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}を作る
　a^ の全ての元の共通部分 ωa ＝ ∩a^
　ωa が 自然数の定義だと
２）これと対比して ペアノの公理
　自然数の集合論的構成
　N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
　ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの
　無限公理は (下記のIをAに書き換えて)
　∃A(∅∈A∧∀x(x∈A⇒(x∪{x})∈A)).となるが
　未確認飛行 Cさんとの対比で 1)「冪集合」P (a)使用が無いこと
　2)「x は無限集合である」という命題 M(x)が無いこと
　それと、3)”全ての元の共通部分”の宣言がないこと
　の3点が問題になる
３）いま、>>539 で示したように 無限順序数で
　0, 1, 2, 3, ............, ω, S1=S(ω), S2= S(S(ω)), S3=S(S(S(ω))), ....
　において  ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
　が、”順序数においても 同様にそれより小さい順序数の集合と（集合として）等しくなります”
　が成り立つから
　S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
　後続者 S(α) ≔ α ∪ { α }  なので ω⊂S(ω)⊂S(S(ω)) 成立
　未確認飛行 Cさん 同様に ”全ての無限集合の共通部分”なら
　∩(ω,S(ω),S(S(ω))=ω={0,1,2,・・・｝ とめでたく 自然数 N=ωが抽出できた
　ところが、もし”全ての”のしばりがないと ∩(S(ω),S(S(ω)) となって
　自然数 N=ωが うまく抽出できない
４）別例で
　S3'=：S(S(S(ω)))-ω＝{0,1,2,・・・,S(ω),S(S(ω))} を考えよう
　ここで S3'の元で 無限集合は S(ω),S(S(ω))のみ
　∩(S(ω),S(S(ω)) では 自然数 N=ωが うまく抽出できない

よって、結論として ペアノの公理の
　自然数の集合論的構成
　N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
（Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの）
　が ちょっとまずいってことだ■

(参考)
　>>119-120 より再録
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/566

612: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 07:22:14.77 ID:Llrj9wIL

>>571 補足
ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから
補足しておくよ

１）集合積∩は、例えば A∩Bと A∩B' と (ここにB≠B')では積の結果が一般には異なる
　同様に∩Aλ （λは添え字）を考えると
　最初をA0として 最後をAendとすると、最初から最後まで 全て確認しないと
　∩Aλの結果が定まらない。つまり、積を構成する要素が一つ変わっただけで 結果が異なる敏感なものだということ
２）さて、下記 無限公理は、平たく言えば 空集合∅から始めて 後者を作り それを可算無限回繰り返した集合N=ωを含む無限集合Iの存在を公理として認めるというものだ
　”無限集合Iから自然数を抽出する”にあるように、上記の集合N=ωを Iの部分集合として 分出公理で取り出す
　これが いまのスタンダード
３）>>566-567 では ”部分集合として 分出公理で取り出す”をせずに 集合積∩を使っている
　この問題点は、集合積∩が その積の各要素に敏感だってことだ
　つまり、その積の要素 全てを確定しないと 集合積∩Aλ が確定しない
　なので、集合積∩を使うのは 賢くないってことだね
４）戻ると、無限公理は 集合N=ωを含む集合Iの存在を公理として認めるというものだから
　素直に、Iの部分集合として 集合N=ωを 分出公理で取り出せるならば その方がよほど賢明だ■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E9%80%9A%E9%83%A8%E5%88%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
共通部分（英: intersection, meet）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。
共通集合、共通分[1]、交叉（こうさ）、交差（こうさ）、交わり、積集合、積（せき）[2]などとも呼ばれる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
無限集合Iから自然数を抽出する
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%87%BA%E5%85%AC%E7%90%86
分出公理
部分集合公理
主張
どの集合 A に対しても、以下を満たす集合 B が（A の部分集合として）存在する：
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/612

631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 11:10:53.43 ID:gg6LcAZV

>>571 補足の補足
(引用開始)
１）未確認飛行 Cさんで 1つ無限集合 a を選び
　a の「冪集合」P (a)で を作るところが面白い*)
　つまり 無限公理 ∃a(∅∈a∧∀x(x∈a⇒(x∪{x})∈a)).（下記無限公理の集合Iをaに書き換えた）
　だから、aは 帰納的な元の全てを含むので
　例えば a={0,1,2,・・・,ω,S1,S2・・} （ここにω,S1,S2・・は無限順序数を表す>>566 ご参照）
　などだが
　例えば a={0,1,2,・・・,S1,S2・・} と ω=N を欠いている場合でも
　P (a)で aの部分集合として ω={0,1,2,・・・} を必ず含むのです
(引用終り)

さて
　>>119-120 より再録
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
(引用終り)

ここで 未確認飛行 Cさんの大きな問題点は
”「x は無限集合である」という命題を M(x) とし”
の部分で
M(x)＝「x は無限集合である」を、ひらたく言えば、『帰納的に後者を繰り返し無限に取った集合以上の集合』ということだね
そして
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
で、a^ は a の「冪集合」に含まれる 無限集合で
a^ の全ての元の共通部分
ωa ＝ ∩a^
これが、自然数の定義だという

だったら、『帰納的に後者を繰り返し無限に取った集合』を きちんと論理式  M(x)’として立てて
aのべき集合P(a)なり
aから直接 M(x)’を 分出公理で 部分集合として取り出せば それで終わりでしょ！■
（この場合、P(a)を経由する意味が あまりないよね）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/631

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