Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (973ﾚｽ)
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539: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 20:48:08.86 ID:jE3Cs7nW

>>531 補足
　>>518 より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である
(引用終り)

補足するよ
下記の 順序数 での 無限集合部分を使う
名前を付ける
S0=ω,
S1=S(ω),
S2= S(S(ω)),
S3=S(S(S(ω))),
　・
　・
Sn=S(Sn-1),
ここで、Peano axioms en.wikipedia 訳で ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
に注目しよう。これは、無限順序数でも成り立つ
いま、S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
そこで、上記”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”において
A=S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} としよう
すると ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が Aにおける 無限集合の積と解釈できるとして（要証明事項）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}＝ω∩S(ω)∩S(S(ω)) と書ける
ここで、ω∩S(ω)∩S(S(ω))＝ω は簡単に分ること

同様のことが、任意nのSnで言えるだろう(数学的帰納法でも使えば)
さて、問題は順序数 での 無限集合という素性の知れた集合だから簡単に言えることだが

無限公理の主張に戻ると、無限公理は 有限の帰納的に生成される集合全てを含む なにか無限集合Iの存在を主張するものである
無限集合Iで分っていることは、”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”だけ
だから、素直に 無限集合Iから ”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”を取り出す式を書けば良いだけと 単純に考えることができる

集合積∩を使う問題点は、上記のように 無限集合Iの大きさと具体的な構成に依存して
式 ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が変わってしまうこと
（なお、無限集合Iは、順序数に限定されない）

結論として、”ωが最小の無限集合で、全ての無限集合の共通部分”は分っていることだから
いずれ 手間を掛ければ その結論には達するが
無限集合Iの大きさと その具体的な構成に依存する式を使うと
話が 大袈裟になるってことだ■

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/539

566: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/31(日) 13:40:18.46 ID:lylF2dxQ

>>539 戻る
１）下記 未確認飛行 Cさんが、面白い
　1つ無限集合 a を選び、「x は無限集合である」という命題 M(x)
　a の「冪集合」P (a)で、無限集合の族 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}を作る
　a^ の全ての元の共通部分 ωa ＝ ∩a^
　ωa が 自然数の定義だと
２）これと対比して ペアノの公理
　自然数の集合論的構成
　N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
　ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの
　無限公理は (下記のIをAに書き換えて)
　∃A(∅∈A∧∀x(x∈A⇒(x∪{x})∈A)).となるが
　未確認飛行 Cさんとの対比で 1)「冪集合」P (a)使用が無いこと
　2)「x は無限集合である」という命題 M(x)が無いこと
　それと、3)”全ての元の共通部分”の宣言がないこと
　の3点が問題になる
３）いま、>>539 で示したように 無限順序数で
　0, 1, 2, 3, ............, ω, S1=S(ω), S2= S(S(ω)), S3=S(S(S(ω))), ....
　において  ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
　が、”順序数においても 同様にそれより小さい順序数の集合と（集合として）等しくなります”
　が成り立つから
　S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
　後続者 S(α) ≔ α ∪ { α }  なので ω⊂S(ω)⊂S(S(ω)) 成立
　未確認飛行 Cさん 同様に ”全ての無限集合の共通部分”なら
　∩(ω,S(ω),S(S(ω))=ω={0,1,2,・・・｝ とめでたく 自然数 N=ωが抽出できた
　ところが、もし”全ての”のしばりがないと ∩(S(ω),S(S(ω)) となって
　自然数 N=ωが うまく抽出できない
４）別例で
　S3'=：S(S(S(ω)))-ω＝{0,1,2,・・・,S(ω),S(S(ω))} を考えよう
　ここで S3'の元で 無限集合は S(ω),S(S(ω))のみ
　∩(S(ω),S(S(ω)) では 自然数 N=ωが うまく抽出できない

よって、結論として ペアノの公理の
　自然数の集合論的構成
　N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
（Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの）
　が ちょっとまずいってことだ■

(参考)
　>>119-120 より再録
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/566

567: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/31(日) 13:41:04.66 ID:lylF2dxQ

つづき
２）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/185
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

>>539-540 より再録
３）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
４）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
3.α が順序数のとき、S(α) ≔ α ∪ { α } は α より大きな順序数のうちで最小のものである。S(α) を α の後続者 (successor of α)と呼ぶ
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Peano axioms
(google訳)
集合論的モデル
ペアノの公理は、自然数の集合論的構成やZFなどの集合論の公理から導くことができる。[ 15 ]ジョン・フォン・ノイマンによる自然数の標準的な構成は、0を空集合∅として定義し、次のように定義された集合上の 演算子sから始まる。
s（a）＝a∪{a}
自然数Nの集合は、空集合を含むsで閉じたすべての集合の共通部分として定義されます。
各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/567

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