Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (963ﾚｽ)
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539: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 20:48:08.86 ID:jE3Cs7nW

>>531 補足
　>>518 より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である
(引用終り)

補足するよ
下記の 順序数 での 無限集合部分を使う
名前を付ける
S0=ω,
S1=S(ω),
S2= S(S(ω)),
S3=S(S(S(ω))),
　・
　・
Sn=S(Sn-1),
ここで、Peano axioms en.wikipedia 訳で ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
に注目しよう。これは、無限順序数でも成り立つ
いま、S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
そこで、上記”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”において
A=S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} としよう
すると ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が Aにおける 無限集合の積と解釈できるとして（要証明事項）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}＝ω∩S(ω)∩S(S(ω)) と書ける
ここで、ω∩S(ω)∩S(S(ω))＝ω は簡単に分ること

同様のことが、任意nのSnで言えるだろう(数学的帰納法でも使えば)
さて、問題は順序数 での 無限集合という素性の知れた集合だから簡単に言えることだが

無限公理の主張に戻ると、無限公理は 有限の帰納的に生成される集合全てを含む なにか無限集合Iの存在を主張するものである
無限集合Iで分っていることは、”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”だけ
だから、素直に 無限集合Iから ”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”を取り出す式を書けば良いだけと 単純に考えることができる

集合積∩を使う問題点は、上記のように 無限集合Iの大きさと具体的な構成に依存して
式 ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が変わってしまうこと
（なお、無限集合Iは、順序数に限定されない）

結論として、”ωが最小の無限集合で、全ての無限集合の共通部分”は分っていることだから
いずれ 手間を掛ければ その結論には達するが
無限集合Iの大きさと その具体的な構成に依存する式を使うと
話が 大袈裟になるってことだ■

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/539

543: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 22:38:22.70 ID:jE3Cs7nW

つづく

>>538
>https://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1756548285/

おや？
独教授「ABC予想の証明論文は論理に飛躍がある」　望月教授「それはお前がクソ無能だからだ」 [886559449]
か
それ ニュース速報板だね
情報ありがとう

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/543

651: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 17:46:38.38 ID:gg6LcAZV

>>645
>>aから直接 M(x)’を 分出公理で 部分集合として取り出せば それで終わりでしょ！
>それで終わりなら、なんでやらないの？

既出だが
中高一貫生も来る可能性があるので、下記を再録しておく ；ｐ）

>>531 再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
無限集合Iから自然数を抽出する
他の方法
以下のような他の方法もある。
Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。つまり、
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x)))
とする。おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである
これを形式的に書くと、次のような集合
Wが一意に存在することを示したい
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)) (*)
存在については、無限公理と分出公理を使って証明する
Iを無限公理によって保証された帰納的集合とする。分出公理を使って集合
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}を取り出す。つまり
WはIの要素のうち、あらゆる帰納的集合に含まれているものを集めてきた集合である
明らかに(*)を満たす
以下略

再録
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/271
(参考)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人 筑波大
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ 坪井明人(2014年)
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1 集合論の公理 5
1.1.9 無限公理 8
P8
1.1.9 無限公理
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である
S は，successor の頭文字で，次の元という意味を持たせている．
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している
そのような x が存在することを主張するのが無限公理である
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . をすべて元として含む集合である
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }
として定義したい．
しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1
（注1：ω = {Sn(∅) : n ∈ N} とすると，「. . . 」を回避できているように見えるが，
　N 自体がまだ定義されていないので，これでは定義できていない．）
そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
とする
ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である
このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/651

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