Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (977ﾚｽ)
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515: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 15:35:34.40 ID:fr4NlS//

>>483
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/16isou-nyuumon-text.pdf

>p11
>”集合の議論では無限個のものの合併や共通集合が、極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる。

いきなりここからはじまってるけど、
その前の”無限個のものの合併や共通集合”の定義が
見つけられなかったのかな？
それは、ここ↓だよ

p10
M1, M2, . . . を集合の列とする。
すなわち，各 i ∈ N に対して，集合 Mi が定まっているものとする。
そのときすべての Mi の共通集合が
∩(i=1〜∞)Mi = {m | ∀i∈N.m ∈ Mi（すべての i に対して m ∈ Mi）}
によって定義される。
同様に，すべての Mi の合併集合は
∪(i=1〜∞)Mi = {m | ∃i∈N.m ∈ Mi（ある i に対して m ∈ Mi）}
により定義される。　
∩(i=1〜∞)Mi の代わりに∩(n∈N)Mn または，単に ∩(n)Mnもよく用いられる。
これに似た記号は有限個の集合の列の共通集合，合併集合に対しても使われる。

>>484
>無限合併・交叉は、無限回の演算ではく一回の演算。

然り　無限個の共通集合∩と合併集合∪は
それぞれ述語論理の限量子∀と∃によって
一回で定義される

>>485
>話は真逆だよ　わざわざそこを引用した意図は真逆

君の意図が、ってことね

>AとBの合併集合はA∪B＝{x|x∈A ⋁ x∈B}
>AとBの共通集合はA∩B＝{x|x∈A ⋀ x∈B}
>このように、∪と∩とを 2項演算として定義しているよ

そう、２つの集合の∪と∩は
それぞれ⋁と⋀を使って定義されるね

>そのうえで、集合の無限列の共通部分と合併集合を・・・定義している

上でわざわざコピペしたように
集合の無限列の共通部分と合併集合も
それぞれ述語論理の限量子∀と∃によって
一回で定義される

で、述語論理が分かってない人は
∀を無限回の⋀の適用
∃を無限回の⋁の適用
と勝手に思い込んでるけど、そうではないよ

特に∀xP(x)を証明するのに
無限個存在し得る各対象aについて、それぞれP(a)が正しいと示す
なんてことは述語論理では一切してないよ

これ肝心ね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/515

518: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 16:13:03.47 ID:jE3Cs7nW

>>515
(引用開始)
p10
M1, M2, . . . を集合の列とする。
すなわち，各 i ∈ N に対して，集合 Mi が定まっているものとする。
そのときすべての Mi の共通集合が
∩(i=1〜∞)Mi = {m | ∀i∈N.m ∈ Mi（すべての i に対して m ∈ Mi）}
によって定義される。
同様に，すべての Mi の合併集合は
∪(i=1〜∞)Mi = {m | ∃i∈N.m ∈ Mi（ある i に対して m ∈ Mi）}
により定義される。　
∩(i=1〜∞)Mi の代わりに∩(n∈N)Mn または，単に ∩(n)Mnもよく用いられる。
これに似た記号は有限個の集合の列の共通集合，合併集合に対しても使われる。
(引用終り)

ご高説は賜った
では、上記 その川崎徹郎氏の ”∩(i=1〜∞)Mi = {m | ∀i∈N.m ∈ Mi（すべての i に対して m ∈ Mi）}”
を適用して、下記

>>500 より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である
(引用終り)

ここで、「Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである」として
１）Aが 可算無限集合の場合（そのような集合を一つ選べ）
２）Aが アレフ・ワン 非可算無限集合の場合（そのような集合を一つ選べ）
この二つの場合について
「N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}」
の証明を書け！！ｗｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数
アレフ数（アレフすう、英: aleph number）は無限集合の濃度（あるいは大きさ）を表現するために使われる順序数のクラスである。
アレフ・ワン
→「最小の非可算順序数」も参照
ℵ1 はすべての可算順序数からなる集合の濃度で、ω1 あるいは（ときに）Ω と呼ばれる。この ω1 はそれ自身順序数でありすべての可算順序数より大きく、したがって不可算集合である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/518

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