Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (973ﾚｽ)
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483: １３２人目の素数さん [] 2025/08/29(金) 23:10:01.20 ID:QS2EkFr7

追加
川崎徹郎
”集合の議論では無限個のものの合併や共通部分が、
極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる。
無限個の集合の合併や共通部分を、
有限個の集合の合併や共通部分の極限として扱うことは無理があり、
正しくない結論を導くことがある。”

https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/
川崎研究室文庫
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/html-16isou-nyuumon-enshuu.html
位相入門テキスト(演習問題)
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/16isou-nyuumon-text.pdf
位相入門 川崎徹郎2016

P11
集合の議論では無限個のものの合併や共通部分が、
極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる。
無限個の集合の合併や共通部分を、
有限個の集合の合併や共通部分の極限として扱うことは無理があり、
正しくない結論を導くことがある。

1.5 集合族
集合族に対してもそれらの共通部分、合併集合が定義できる。

P26
3 距離空間の開集合、閉集合

P40
5 連続写像
写像または関数の連続性を厳密に定義し、それを用いて厳密な証明を組み立てることは、なかなか難しいことであった。
高校数学では、「限りなく近づくとき」という言葉を用いて表現された。
すなわち、yがxに限りなく近づくとき、f(y)がf(x)に限りなく近づくならば、関数f は連続である、と定義したのである。
この定義は十分に厳密なのであるが、大規模な一般論を展開するには不便である。
たとえば、連続関数の極限が連続関数になるための条件、一様収束性を、このような論法で述べるのは困難であろう。
そこで登場するのが、いわゆる、ε-δ論法である。
略

P42
定理5.13
2つの距離空間[X,dX],[Y,dY]の間の写像f : X →Y に関する条件(A)〜(D) はすべて同値である。
(A) f は連続である。
(B) U をY の開集合とすると、f^−1(U)はXの開集合である。
(C) F を Y の閉集合とすると、f^−1(F)はX の閉集合である。
(D) X の任意の部分集合Aに対して、f(A^-)⊂f(A)^-である。

https://researchmap.jp/read0049674
川崎 徹郎
カワサキ テツロウ  (Tetsuro Kawasaki)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/483

515: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 15:35:34.40 ID:fr4NlS//

>>483
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/16isou-nyuumon-text.pdf

>p11
>”集合の議論では無限個のものの合併や共通集合が、極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる。

いきなりここからはじまってるけど、
その前の”無限個のものの合併や共通集合”の定義が
見つけられなかったのかな？
それは、ここ↓だよ

p10
M1, M2, . . . を集合の列とする。
すなわち，各 i ∈ N に対して，集合 Mi が定まっているものとする。
そのときすべての Mi の共通集合が
∩(i=1〜∞)Mi = {m | ∀i∈N.m ∈ Mi（すべての i に対して m ∈ Mi）}
によって定義される。
同様に，すべての Mi の合併集合は
∪(i=1〜∞)Mi = {m | ∃i∈N.m ∈ Mi（ある i に対して m ∈ Mi）}
により定義される。　
∩(i=1〜∞)Mi の代わりに∩(n∈N)Mn または，単に ∩(n)Mnもよく用いられる。
これに似た記号は有限個の集合の列の共通集合，合併集合に対しても使われる。

>>484
>無限合併・交叉は、無限回の演算ではく一回の演算。

然り　無限個の共通集合∩と合併集合∪は
それぞれ述語論理の限量子∀と∃によって
一回で定義される

>>485
>話は真逆だよ　わざわざそこを引用した意図は真逆

君の意図が、ってことね

>AとBの合併集合はA∪B＝{x|x∈A ⋁ x∈B}
>AとBの共通集合はA∩B＝{x|x∈A ⋀ x∈B}
>このように、∪と∩とを 2項演算として定義しているよ

そう、２つの集合の∪と∩は
それぞれ⋁と⋀を使って定義されるね

>そのうえで、集合の無限列の共通部分と合併集合を・・・定義している

上でわざわざコピペしたように
集合の無限列の共通部分と合併集合も
それぞれ述語論理の限量子∀と∃によって
一回で定義される

で、述語論理が分かってない人は
∀を無限回の⋀の適用
∃を無限回の⋁の適用
と勝手に思い込んでるけど、そうではないよ

特に∀xP(x)を証明するのに
無限個存在し得る各対象aについて、それぞれP(a)が正しいと示す
なんてことは述語論理では一切してないよ

これ肝心ね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/515

524: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 16:36:09.71 ID:jE3Cs7nW

>>468 戻る
(引用開始)
形式的冪級数環R[[x]]を、どうメンタルピクチャー（>>8 加藤文元）として とらえるか？
それは各人自由だが
『形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和』（下記）
と考えるのも ”あり”だろう
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
（google訳）
形式冪級数
形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和であり、級数に対する通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算、部分和など）で操作することができます。
A formal power series with coefficients in a ring R is called a formal power series over R.
The formal power series over a ring R form a ring, commonly denoted by R[[x]].
(It can be seen as the (x)-adic completion of the polynomial ring
R[x], in the same way as the p-adic integers are the p-adic completion of the ring of the integers.)
環R上の係数を持つ形式的な冪級数Rは、R環上の形式的冪級数環を形成する。
環R上の形式的冪級数は、一般的にはR[[×]]と書かれる。
（これは多項式環R[×]の（x）進完備化として見ることができる、p進整数が整数環のp進完備化であるのと同じです）
(引用終り)

形式冪級数
Σ_n=0〜∞ an X^n=a0+a1X+a2X^2+・・・
ここで >>483 川崎徹郎流 で
可算無限列 a0, a1X, a2X^2, ・・・
を構成して 間に和の記号 + を挿入
”極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる”>>483
で
”Σ_n=0〜∞ an X^n=a0+a1X+a2X^2+・・・”
を考えれば良いだけのことよ■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/524

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