Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
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422: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 20:44:49.99 ID:6Zc3kOJS

>>420
>そして線形空間の基底とは、線形空間のいかなる元も、それに属する元の有限個の線形結合で表せるもの
>素人は「有限個」を見落として無限和を考えるが、代数的には無限和は定義されないので不可
>形式的べき級数は無限和なので、各次数の項だけでは基底にならない

傍観者さん、ありがとうござんす
スレ主です
補足で下記をば
”ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）”
では、『基底ベクトルの無限線型結合までを許す』場合があるってことですね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
基底（英: basis）は線型空間の線型独立な生成系である[1]。
基底の取り方に依らない、基底ベクトルの個数（濃度）は次元と呼ばれる。基底が常に存在することは基底の存在定理で証明される。

定義
体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う[1]
略
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
略
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述

（後述から下記へ飛ぶ）
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメル（英語版）に由来[6]）や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）およびマルクシェヴィチ基底（英語版）が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/422

429: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 23:12:21.49 ID:6Zc3kOJS

>>425-428
>収束の定義があるから、「無限和」が許される
>も・ち・ろ・ん、無限回足し算するわけではない
>そりゃプロの数学者が形式的冪級数環の次元がわからないなんてことはないわな

１）「無限和」から、わざと形式的冪級数 ないし 形式的冪級数環を外したの？
　下記”形式級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和”とあるけどｗ
　（分っていると思うが、形式的冪級数のXには 値は代入しない前提だ）
２）形式的冪級数環の次元は、多項式環を含むから 有限ではない
　つまり無限次元だ。あとは 可算か非可算かだ
　そのとき問題になるのは、>>422 の有限和のハメル基底か
　あるいは、”基底ベクトルの無限線型結合までを許す”かだ
　ハメル基底の有限和のしばりだと、非可算
　”基底ベクトルの無限線型結合までを許す”なら、可算

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
In mathematics, a formal series is an infinite sum that is considered independently from any notion of convergence, and can be manipulated with the usual algebraic operations on series (addition, subtraction, multiplication, division, partial sums, etc.).
（google訳）
数学において、形式級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和であり、級数に対する通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算、部分和など）で操作することができます。

<仏語>
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_formelle
Série formelle
（google訳）
代数学において、形式級数は多項式の無限和を許容する一般化であり、解析学において冪級数が多項式関数を一般化するのと同様である。ただし、代数的枠組みにおいては、収束問題はアドホック定義によって回避される

https://www.idcf.jp/words/adhoc-processing.html
アドホック処理とは | クラウド・データセンター用語集 株IDCフロンティア
アドホック（ad hoc）とは、ラテン語で「特定の、特別の」「限定目的のための」を意味する語句です

<独語>
https://de.wikipedia.org/wiki/Formale_Potenzreihe
Formale Potenzreihe
（google訳）
数学における形式的冪級数は、多項式環の多項式の一般化である。後者と同様に、形式的冪級数は環論的性質に焦点を当てているのに対し、解析冪級数は解析的（極限的）性質に焦点を当てている
これらに共通するのは、係数が環で構成されていることだ
Rこれはここでは非常に任意であるが、解析学においてはそれは完全に完備な 環、通常は体である R実数かC複素数の変数です。もう一つの違いは、「変数」が不定値であり、大文字で表記されることが多いことです
X（または Tであり、形式的冪級数において「値」が割り当てられていない
多くの共通の性質と概念を持つため、本稿では形式ローラン級数についても解説します

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/429

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