Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
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417: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 18:37:00.79 ID:lxYE416P

多項式環は、可算無限次元だが
”形式的べき級数の空間は実数体上で可算無限次元を持つと予想していました しかし、そうではないようです”by reddit.com

(参考)
https://researchmap.jp/read0140796
都築 暢夫 ツヅキ ノブオ  (Nobuo Tsuzuki)
所属東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 教授
博士(数理科学)(東京大学)
https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/tsuzuki-j.html
広島大都築暢夫
2006年度
代数学1:講義ノート
第1回(4/14), 第2回(4/21), 第3回(4/28), 第4回(5/12), 第5回(5/19), 第6回(6/2), 第7回(6/9), 第8回(6/16), 第9回(7/7),
https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I (第2回)都築暢夫4 月21 日（金） 広島大
1. 線形空間
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である。F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である。証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか。a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する。
略

https://www.reddit.com/r/math/comments/6ezomi/where_do_the_extra_dimensions_in_the_vector_space/?tl=ja
reddit.com
r/math
8 年前
（形式的な）べき級数のベクトル空間における「余分な」次元はどこから来るのでしょうか？
直感的には、形式的べき級数の空間は実数体上で可算無限次元を持つと予想していました。

しかし、そうではないようです。私の論理はこうです。空間の次元は、その空間上の任意の線形演算子の固有値の数よりも大きいため、任意の実数 [;a;] に対して[; e^{ax} ;] の（テイラー級数）を微分して、空間内に線形独立な非可算個の固有ベクトルを得ることができるため、空間は非可算無限次元を持たなければなりません。

一方、任意のべき級数には可算個の項しかなく、それらの各々に単一の実数を割り当てることができるため、可算個の次元に到達します。

上記のどちらかが明らかに間違っていますが、どちらなのかわかりません。答えは、xr（rは実数）を級数として表現することに関係があるかもしれませんが、これでは矛盾は解決しません。次元が非可算である場合、これがそうである直感的な理由はありますか？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/417

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