Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
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39: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 13:25:09.02 ID:KYsCHIBD

つづき

https://www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index15-2.html
数学通信第１５巻第２号目次 2010
高木貞治に見る数学思想の変遷 足立　恒雄 ６
https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/1502/1502adachi.pdf
高木貞治に見る数学思想の変遷
足立恒雄(早稲田大学理工学術院)
1 初めに
高木貞治（1875-1960）は若いころから数体系の基礎付けに関心が深かった．

5.3 19世紀末の自然数論
フレーゲの論理哲学を理解する能力は私にはないが，数学に対する貢献という観点に絞るなら，フレーゲは現代の数学を支える述語論理の創始者であると同時にその事実上の完成者であるということができる．フレーゲの論理学は現今の言葉で言えば，2階述語論理である．（しかし当時は１階も２階もなかった．）
5. フレーゲの著作『算術の基本法則』第II巻が完結したちょうどそのときラッセルからその名を冠した有名なパラドクスの知らせが届いたため，歴史的にはフレーゲは偉大な失敗者であるとみなされてきたが，1980年代に入ってフレーゲの算術上の仕事の研究が進み，大いにその名誉は回復された．
基数原理]P =]Q⇐⇒ P ≈Q
（ここにP ≈QはPなるxの全体とQなるyの全体が1対1に対応することを意味する．）によって導入し公理として置くと，2階述語論理によって，自然数論が展開できる．
6. 基数原理と2階述語論理の組み合わせは「フレーゲ算術FA」と呼ばれている．

8.1『数学雑談』の自然数論『数学雑談』ではランダウの『解析学の基礎』（1929）に基づき自然数論を展開している．すなわち次の通り：
略す

10.2 高木による連続体の特徴付け（最終形）高木は「技巧的なる可附番を払拭」するとして次を提唱する：IIIa.（最小性）連続かつ無限界なる線型順序集合はすべてLと同型なる部分集合を持つ．これが高木による連続体，実直線，実数体の特徴付け（＝公理系）の最終形であった．
（まとめ）
『数の概念』における数体系の基礎付けは，西洋の数学に50年遅れた状態から出発した高木の（ということは，つまり日本の）数学がその後50年かけてどのように発展したか，その到達点を示すものとして意義が深く，またその思想性，独創性という観点からも高く評価できる
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/39

60: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 15:58:28.13 ID:KYsCHIBD

>>39 補足
>フレーゲの論理学は現今の言葉で言えば，2階述語論理である(しかし当時は１階も２階もなかった)

１）下記『二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い』
　が ラッセルのパラドックスなどの問題から
　20世紀前半は、一階述語論理限定が主流だった
２）『近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある』（下記）
３）『ゲーデルの加速定理』（下記）があって
　”n階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在する”
４）圏論で、高階の論理が使えれば 数学的加速ができる
　そういうことですね（たぶん）　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い
二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる

歴史と論争
フレーゲは量化の種によって異なる変項を使っていたが、彼には2種類の異なる論理を扱っているという認識はなかった。ラッセルのパラドックスによって、その体系に問題があることが明らかとなった。論理学者らは問題を解決すべく、フレーゲの論理に制限を加える各種方法を検討し、それが一階述語論理となった。一階述語論理では、集合や属性は量化できないことになった。このような論理の階層化がこのころ初めてなされるようになった
一階述語論理を使うと、集合論を公理的体系として形式化できることがわかり（完全性の問題はあるが、ラッセルのパラドックスほど悪いことではない）、公理的集合論が生まれ、集合は数学の基盤となった。算術、メレオロジー、その他の様々な論理的理論が一階述語論理の範囲内で公理的に定式化でき、ゲーデルやスコーレムが一階述語論理に固執したこともあって、二階や高階の述語論理はほとんど省みられなかった
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した
計算複雑性理論への応用
有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理は、クルト・ゲーデルにより証明された、数理論理学における定理である
それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである

https://fuchino.ddo.jp/papers/speedup-th-ex.pdf
科学基礎論研究 2018
数学と集合論—ゲーデルの加速定理の視点からの考察 —渕野 昌

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/60

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