Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (978ﾚｽ)
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37: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 13:24:22.07 ID:KYsCHIBD

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%9C%B4%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
素朴集合論
形式論理を用いて定義される公理的集合論とは異なり、素朴集合論は非形式的に自然言語で定義される。離散数学で馴染み深い数学的集合の側面（たとえば、 ベン図やブール代数に関する記号の取り扱い）を説明するものであり、現代の数学における集合論の概念を日常的に扱うのに十分なものである[4]。
集合は数学において非常に重要である。現代の形式的な扱いでは、ほとんどの数学的対象（数、関係、関数など）は集合の観点から定義される。素朴集合論は多くの目的に十分であると同時に、より形式的な取り扱いへの足がかりとしても有効である。
方法
「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である。かつ (and)、または (or)、もし〜ならば (if ... then)、〜でない (not)、 ある〜に対して(for some)、すべての〜に対して (for every) は、通常の数学と同様に扱われる。便利であるため、素朴集合論とその形式主義は、集合論自体のより形式的な設定を含め、より高度な数学でも用いられている。
19世紀の終わりに、無限集合の研究の一環としてゲオルク・カントールによって構築され[5]、ゴットロープ・フレーゲが自身の著書 Grundgesetze der Arithmetik で発展させた。
公理的理論
公理的集合論は、どの操作がいつ許可されるかを正確に定めることを目的として、集合を理解するこれらの初期の試みに応えて開発された。
公理的集合論は必ずしも無矛盾というわけではなく、必ずしもパラドックスがないわけではない。ゲーデルの不完全性定理から、十分に複雑な一階述語論理システム（最も一般的な公理的集合論を含む）は、実際には無矛盾だとしても、理論自体の中から無矛盾性を証明できない。ただし、一般的な公理系は一般的に無矛盾と考えられている。これらの公理によって、ラッセルのパラドックスのようないくつかのパラドックスは排除されるためである。ゲーデルの定理に基づくと、これらの理論や一階述語論理の集合論にパラドックスが一切なくても、無矛盾性はわかっていないどころか、わかるものでもない
利用
公理的アプローチと他のアプローチのどちらを選ぶかは、主に利便性の問題である。日常の数学では、公理的集合論を非形式的に使うが最善の選択かもしれない
普遍集合と絶対補集合
特定の状況では、考えているすべての集合を、特定の普遍集合の部分集合と見なすことができる。たとえば、実数 R （および R の部分集合）の性質を調べる場合、 R は普遍集合と見なせる。真の普遍集合は標準集合論には含まれていないが（以下のパラドックスを参照）、一部の非標準集合論には含まれている。

初期の集合論におけるパラドックス
略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/37

80: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 22:15:12.23 ID:KYsCHIBD

>>70
これは これは ヒキコモリ数学者の 基礎論研究くんか？
お元気そうでなによりだ
まあ、がんばれよ

>>71-75
こっちは、数学科オチコボレさんのおサルさんかい？（>>10 ）

>>36-37 に書いたが
21世紀の集合論に２種あり。
自然言語主体の素朴集合論と、形式論理の公理的集合論
さらには、一般の数学は 普通の数学論文やテキストは、自然言語が主で
さらに うまく 圏論や素朴集合論や、公理的集合論のいいとこ取りを組み合わせて
書かれているのが ふつう

AI時代は、形式論理の公理的集合論の部分には コンピューター処理が入ってくるだろう
（現在でも、コンピューターによる自動証明が研究されているし、MathematicaもAI化されている）

人間の数学は、これらのコンピューター処理の援用を前提として
数学研究を考えた方がいいだろう

実際、IUTでも フェルマー最終定理の別証明は 理論的に定数nで ある数以上は
フェルマー最終定理の整数解が存在しないことを示して、nが小さいところを
コンピューター処理で潰している
周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化も同様

あたかも、円周率πの小数展開において
シャンクス 手計算で 小数点以下第527位まで正しい計算をしたが
いま、コンピュータの利用で 300兆桁に到達しているごとし

おサルさん、君でも数学研究ができるかもよｗ　；ｐ）

(参考)
https://www.wolfram.com/artificial-intelligence/index.php.ja?source=footer
Wolfram流
ハイブリッドAI：生成AIを超える
Wolframの配備でAIを強化する
すぐに使える計算AI製品
Wolfram|Alphaは2009年から信頼できるAIの開発をリードしてきました．事実データに支えられた緻密な計算を使って，多様なトピックについて専門家レベルの答を解析し可視化します．WebサイトまたはAPIから直接アクセスできます．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
数論の結果
2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した。[79][80] [81]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
円周率
1873年、ウィリアム・シャンクスは彼自身の手で小数点以下第707位までを計算した（ただしその結果は途中で生じた誤りにより小数点以下第527位までしか正しくなかった）
コンピュータの利用
2025年4月2日に、Linus Media Groupは円周率300兆桁を7ヶ月半掛けて計算した[35][36]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/80

91: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 23:44:05.04 ID:KYsCHIBD

>>37 補足
(引用開始)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%9C%B4%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
素朴集合論
形式論理を用いて定義される公理的集合論とは異なり、素朴集合論は非形式的に自然言語で定義される
方法
「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である
(引用終り)

さて
１）”「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である”
　日常の殆どの数学の場面が、自然言語を使用して 述べられる
２）”操作”という用語自身さえ、公理的集合論の正規の用語ではない
　なぜならば、”操作”を 公理的集合論内に取り入れるには、用語”操作”を定義する必要がある
　さらに その定義に使った用語を また 定義する必要が出てくる
　だから、不必要な用語は、公理の外が良い
３）さて、日常の数学では 無限集合を扱う場合に 自然言語で 無限操作を考えることはよくある
　例えば、下記の「箱入り無数目」”可算無限個ある箱に 実数を入れる”など
　無限集合を 自然言語で扱う以上、無限操作を考えることは当然ありだ （極限？ およびじゃない）
　下記 Sergiu Hart氏も Let X = R^N countable infinite sequences of real numbers としている
　また 区間[0,1]の有理数の”infinite decimal expansion 0.x1x2...xn...,”を考える
　無限小数だね （極限？ およびじゃない）

要するに、日常の数学では 無限集合を扱う場合に 自然言語で 無限操作を考えることはよくあるってことよｗ　；ｐ）

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/1-5
(参考)時枝記事
https://imgur.com/a/8bqlb08 (リンク切れてしまったが そのうちにｗ)
数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401-406 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
略.そして箱をみな閉じる.

(参考)
http://www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
http://www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/91

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