Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (963ﾚｽ)
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306: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 21:00:55.16 ID:dSyweoWi

>>304
>君、頭大丈夫？
>添え字集合が有限だろうと可算無限だろうと非可算無限だろうと、無限操作なるものが存在するなんの証拠にもなってないことが分からないの？

ふっふ、ほっほ
１）まず、下記の公理的集合論 集合の公理系 において
　その集合に対する操作は、無限有限の区別なし！
　無限集合を扱うのだから、その公理も 無限を扱えるように設定されているのだよｗ　；ｐ）
２）君は、『加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
　Terence Tao “big picture”』が欠落している
３）つまり、日常の数学の下に素朴集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階が素朴集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階の素朴集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば
　その日常の数学の無限操作は許されるのだよ■　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
集合の公理系
ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）
・対の公理　任意の要素 x, y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する：
∀x∀y∃A∀t(t∈A↔(t=x∨t=y)) 。
外延性の公理から、x と y に対して対の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを {x,y}で表す。
{x,x} を {x}で表す。これにより順序対の存在が言え、それにより直積集合の存在も言える。
・和集合の公理　任意の集合 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する：
∀X∃A∀t(t∈A↔∃x∈X(t∈x)) 。
外延性の公理から、X に対して和集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の和集合と呼び、∪Xで表す。
∪{x,y} を x∪y で表す。
・冪集合公理　任意の集合 X に対して X の部分集合全体の集合が存在する：
∀X∃A∀t(t∈A↔t⊆X) 。
外延性の公理から、X に対して冪集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の冪集合と呼び、
P(X)または2^xで表す。
・置換公理　"関数クラス"による集合の像は集合である：
∀x∀y∀z((ψ(x,y)∧ψ(x,z))→y=z)→∀X∃A∀y(y∈A↔∃x∈Xψ(x,y)) 。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。

>>8-9より 再録
加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
Terence Tao “big picture”
(参考)
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/306

315: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 23:53:10.75 ID:dSyweoWi

>>306
さて
１）昔学部の1〜2年で”リーマン球面と無限遠点”の話を聞いて、えらく感心したのを覚えている
　実関数y=1/x を考えると 原点x＝0 に負側から近づくと-∞で、正の方からなら+∞に発散するところ
　複素平面を球面にして、複素関数y=1/x で x→∞ だと y→∞（プラスやマイナス関係ないのでビツクリ）
２）いまリーマン球面にアキレスが居るとして 原点0 から出発して 実軸上をどんどん＋側に進むと北極点に到達する
　アキレスの足をもってすれば、これは簡単だ
３）ところが、複素平面のままなら そうはいかない。アキレスの足でも無限遠点に到達するのはタイヘンなのです

これは、たとえ話
無限だのへったくれだの言うが、リーマン球面か複素平面かで考え方が大きく変わるのだ
リーマン えらい！！（＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2663
高校数学の美しい物語
リーマン球面と無限遠点 2022/07/21
リーマン球面とは，複素平面 C に無限遠点 ∞ を追加したものである
リーマン球面を C^  などと書く
リーマン球面とは，複素数に一点を追加することでより便利に複素数を扱えるようにした集合です。
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto/shikakutimes/s3/bend-image/1657605343.png
位相空間論からの話題：一点コンパクト化
リーマン球面の考え方は一点コンパクト化というトピックに関連します
有界な閉集合はコンパクト集合です
複素平面全体は無限に広がっているため，コンパクトではありません
既に見た通り，リーマン球面は三次元単位球面と見なすことができます。三次元単位球面は，有界で閉なのでコンパクト集合となります。
コンパクトではない複素平面に無限遠点を追加することでコンパクト集合が得られるのです
このようにコンパクトではない集合に一点を追加してコンパクト集合を得ることを一点コンパクト化といいます。無限に広がるものに一点追加することで有限のものとして解釈できることは非常に興味深いことです
実積分を複素積分から見たほうが簡単に計算できるように，複素数も一段階広いリーマン球面から見つめることでシンプルに見えてくることが多いです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
一点コンパクト化の例
・自然数全体（離散位相）
N の一点コンパクト化は
N に最大元 ω を付け加えた順序集合
N∪{ω} の順序位相と同相になる
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Riemann_sphere1.jpg/500px-Riemann_sphere1.jpg
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/315

319: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 07:28:23.07 ID:6Zc3kOJS

>>315 補足
>https://manabitimes.jp/math/2663
>高校数学の美しい物語
>リーマン球面と無限遠点 2022/07/21
>リーマン球面とは，複素平面 C に無限遠点 ∞ を追加したものである

さて>>306より
”日常の数学の下に素朴集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階が素朴集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階の素朴集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば
　その日常の数学の無限操作は許されるのだ”

話は飛ぶが、初期のパソコンでは（下記） ”当時ディスプレイは キャラクタディスプレイと呼ばれていた”
”画面全体を画像として出力するほどの性能がコンピュータ側になかったため、画面に表示する文字の情報だけをキャラクタディスプレイに渡して、ディスプレイ側が描写を受け持つ仕組み”
だった

『リーマン球面と無限遠点』は、あたかも 3階の日常の数学で グラフィックディスプレイ を使うようなもの
一方、1階の公理的集合論には、グラフィックな情報を扱う機能はありません！ｗ
これだけで、公理的集合論だけでは 日常の数学はできないと すぐわかるｗｗ
（いまの一般の日常は グラフィックディスプレイで 動画があたりまえ なのだ。数学解説動画もあるよ ；ｐ）

(参考)
https://www.rescue-center.jp/elementary/vol52.html
データレスキューセンター
ディスプレイについて
ディスプレイとは、コンピュータなどの機器から出力した情報を表示する装置で、モニターとも呼ばれています。かつては、パソコン用のディスプレイは、大きくて重いブラウン管のCRTディスプレイが主流でした。技術の進歩により液晶ディスプレイ、プラズマディスプレイ、有機ELディスプレイなどの薄型タイプのディスプレイへと移り変わっています。
現在では、省スペースで消費電力が少なく価格も抑えられた液晶ディスプレイが主流となっています。
当時のディスプレイは、キャラクタディスプレイと呼ばれていました。「キャラクタ」は文字という意味で、その名の通り、単色の文字を表示する機能しかありませんでした。
画面全体を画像として出力するほどの性能がコンピュータ側になかったため、画面に表示する文字の情報だけをキャラクタディスプレイに渡して、ディスプレイ側が描写を受け持つ仕組みとなっています。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/319

683: １３２人目の素数さん [] 2025/09/02(火) 17:26:29.28 ID:SkBP9bZ4

>>678 補足

>>306より
　日常の数学の下にカジュアル集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階がカジュアル集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階のカジュアル集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば いい
（元は、カジュアル集合論は 素朴集合論だったが 語感が悪いので変えた）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階論理とメタ論理学の成果
ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。
・（健全性）証明可能な二階述語論理の文は常に真である。すなわち standard semantics に従ったあらゆるドメインで真である。
・（完全性）standard semantics において常に妥当な二階述語論理の論理式は、全て証明可能である。
・（実効性）与えられた論理式の並びが妥当な証明かどうかを正しく決定できる証明検証アルゴリズムが存在する。
この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは二階述語論理は「論理」ではないと考える理由としてこれを挙げている[5]。
上述のように Henkin は Henkin semantics を使えば二階述語論理に一階述語論理の標準的な健全で完全で実効的な推論体系を適用できることを証明した。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理
弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。より正確にいえば、それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。
(引用終り)

要するに、いまどき 複雑化した 21世紀 現代数学を まともに全部を 1階の公理的集合論で数学を する人はいない
（一部にフォーマルな1階論理が向いている議論があるとしても）
カジュアル集合論や圏論をまじえて
日常の数学が遂行されている気がする

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/683

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