Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
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301: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 18:25:03.41 ID:nzEtO0b1

>>205 補足
　再録
https://www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index21-4.html
「数学通信」第２１巻（２０１６年度）第４号目次
数学の発展と展望 砂田　利一 ２３
https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf
Ｐ2
2　無限の概念
P3
高校で習う数列と極限の定義にも，日常的言語で説明した方が理解を容易にするせいか，「可能無限」的表現が使われている．2
注釈
2念のため，数列と収束の現代的定義を述べておく．「数列{an} n=1〜∞ は自然数の集合Nから実数の集合Rへの写像であり，lim n→∞ an = a であるとは，「任意の正数ϵに対して，ある自然数Nが存在して，
任意の自然数nについてn≥Nならば| an−a |＜ ϵが成り立つことである」．
ここで注目すべきは，実無限と可能無限の双方を取り入れた形で収束を定義していることである．

さて
＜関連＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
収束
本節の目標は、位相空間上での収束概念を定義し、収束概念によってこれまで述べてきた様々な概念を捉え直す事にある。 位相空間における収束概念は、距離空間における点列の収束概念を適切に修正する事により得られる：
定義 (距離空間における点列の収束) ―  (X,d)を距離空間とする。Xの点列
(xn)n∈NがXの点xに収束するとは以下が成立する事を言う：
∀ε>0 ∃n0∈N ∀n>n0 : xn∈Bε(x)
ここで、
Bε(x)={y∈X|d(y,x)<ε}
である。
位相空間における収束を定義するにあたり、上述の距離空間における収束の定義に２つの変更を行う：
1.ε-近傍Bε(x)の代わりに一般の近傍を用いる。
2.点列の概念を一般化した有向点族の概念を導入し、有向点族の収束を定義する。
1番目の変更を行うのは、位相空間には距離の概念がないので、そもそもε-近傍を定義できないからである。
一方2番目の変更を行うのは、点列の収束概念だけでは位相空間の諸概念を定式化するのに不十分だからである。
たとえば距離空間の場合には連続性の概念は
lim n→∞ f(xn)=f(lim n→∞ xn)
が収束する任意の点列に対して成り立つ事により定式化できるが、
一般の位相空間の場合は「任意の点列」ではなく「任意の有向点族」に対してこれと類似の性質が成り立つ事により連続性を定義する必要がある。
なぜなら点列の場合は添字集合が可算なので、点列の概念で連続性を捉え切るには位相空間の方にも何らかの可算性を要求する必要があり（列型空間を参照）、一般の位相空間の連続性の概念を適切に定義するには点列の概念では不足だからである。
なお、位相空間上ではフィルターの収束という、もう一つの収束概念を定式化できる事が知られているものの、収束する有向点族と収束するフィルターとにはある種の対応関係がある事が知られている。詳細は有向点族#フィルターとの関係を参照

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/301

323: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/27(水) 08:02:58.44 ID:LnNUaNsl

>>301
＞数列と収束の現代的定義を述べておく．
存分に勉強してね

＞「数列{an} n=1〜∞ は自然数の集合Nから実数の集合Rへの写像である」
その通り　「自然数から実数への写像」だよ
「数を無限回並べ切ったもの」なんて定義してない

＞「lim n→∞ an = a であるとは，
＞任意の正数ϵに対して，ある自然数Nが存在して，
＞任意の自然数nについてn≥Nならば| an−a |＜ ϵが成り立つことである」．
その通り　よくできました（パチパチパチ）

＞ここで注目すべきは，
＞実無限と可能無限の双方を取り入れた形で
＞収束を定義していることである．

どこを実無限、どこを可能無限、といってる？
自然数の集合Nを使ってるから実無限といってる？
そういう言葉の定義ならそうなるけど
Nを定義するのに自然数を無限回並べるとかしてないよ

数列の各項anとの比較しかしてないから可能無限と言ってる？
そういう言葉の定義ならそうなるけど
ただ、極限aをもろに出してるよね
これって君のいう「無限回の操作の結果」であって
実無限なんじゃない？

実は収束の定義って使えない定義ではあるね
なぜって収束先ａが必要になるだろ？
でも、実際は収束先が分からなくても
収束するかどうか知りたいだろ？

どうすればいい？そのためにコーシー列という概念がある

＞「数列anがコーシー列であるとは
＞任意の正数ϵに対して，ある自然数Nが存在して，
＞任意の自然数n,mについてn,m≥Nならば| an−am |＜ ϵが成り立つことである」．

収束列はコーシー列であるが、実は逆も成り立つ
というか、実は逆も成り立つように実数を定義したんだけどね
実数を有理コーシー列の同値類にしちゃったから

つまり実数列の収束って
「自然数から有理コーシー列への写像が、実数の意味でのコーシー列であり
　したがって、その写像から、収束先となる有理コーシー列が構成できる」
ってことなんだけどね

で、「」内のどこにも無限回の操作の完了なんか使ってないだろ？

これが、◆yH25M02vWFhPが大学時代理解できなかった大学数学の思考だよ！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/323

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