Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

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281: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 15:14:24.73 ID:nzEtO0b1

>>233 補足
>ω1 は多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである。例えば、部分集合の任意の集まりによって生成されるσ-代数を明示的に記述しようとすること（例えばボレル階層を見よ）。これは代数（ベクトル空間や群など）における「生成」のたいていの明示的な記述よりも難しい。なぜならばこれらのケースにおいて有限の操作 - 和、積、などに関して閉じているだけでよいからだ

”σ-代数”下記だね（演算を可算無限回まで含めて順序完備（英語版）化したもの）
そういえば、箱入り無数目で 測度論オチコボレさんで、大学の確率論テキストが読めない人たちが居たね　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9A%8E%E5%B1%A4
ボレル階層
ボレル集合
→詳細は「ボレル集合」を参照
任意の位相空間においてのボレル代数とは、全ての開集合を含んでいて可算和と補集合を取る操作について閉じている最小の集合族である。ボレル代数は可算交叉についても閉じている

https://wiis.info/math/measure/measure-space/sigma-algebra/
測度空間
σ-代数（完全加法族）の定義と具体例

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
完全加法族
完全加法族（英: completely additive class [of sets], completely additive family [of sets]）とは、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集合である。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。

可算加法族（英: countably additive class [of sets], countably additive family [of sets]）、(σ-)加法族（英: σ-additive family [of sets]）、σ-集合代数（英: σ-algebra [of subsets over a set], σ-set algebra）、σ-集合体（英: σ-field [of sets]）[注 1]ともいうこの概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である

この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である[1]。

演算を可算無限回まで含めて順序完備（英語版）化したものになっている

動機付け
望むべくは、互いに素な集合の和の測度が、個々の集合の測度の和になること、特にそれが互いに素な集合の無限列に関してさえも成り立つことである。
σ-集合代数 Σ は、可算無限回の演算まで含めて完備である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/281

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