Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (975ﾚｽ)

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/

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909: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/09/10(水) 21:11:30.30 ID:u0x0EfOw >>906 >グロタンディーク宇宙は集合だし他の（同値でない）定義などない >wikipediaもマクレーンもSGA4も望月もそう言ってる 基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ） まず、雪江 代数の教科書の用語から 『永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした.』 https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/ 雪江明彦代数の教科書 ・教科書の 用語について (2012/7/7更新) https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf 私の教科書の用語について 用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう. 2. 「可除環」か「斜体」か さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう? 桂では「斜体」と呼んでいるが， この用語を使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき， 「ヴェーダーバーンの定理」の状況ではdivision ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にしたら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて語るときskew field という用語を使うことはないだろう. これが英語でdivision ringなら「可除環」がよいだろうと思った. 永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした. (引用終り) 同じ用語の議論が、基礎論の用語 宇宙・クラス・集合にもあるだろう カントールの集合論では、クラスは 全く意識されていなかった ところが、ラッセルのパラドックスで、集合とクラスを分けて パラドックスを回避するよう 集合公理が定められた すべて集合の集合は、許されない！　それは、クラスだとなった 時代が進んで、21世紀 >>859 薄葉 季路 (早大理工) 集合論の宇宙 —Universe と Multiverse— https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf P3 集合の宇宙 ・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す ・Vは集合ではない (引用終り) これに当てはまるのが、>>840 ゲーデルの Constructible universe L ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで 集合の記号⊂を流用すると L ⊂ V ⊂ U となる さて、クラスの話に戻ると グロタンディークは圏論を展開するため ノイマン宇宙Vは狭いと考えて Vを拡張して 強引に宇宙の公理を使って 全てを集合として 圏論を展開することにした つまり、ノイマン宇宙Vではクラスでも グロタンディーク宇宙Uならば 集合となるのです つまり、何がクラスかは 設定する公理で変わる つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/909

910: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/09/10(水) 21:12:55.33 ID:u0x0EfOw つづき では、グロタンディーク宇宙Uは 何者か？ 宇宙であることは間違いない それは、薄葉 季路氏もPDF中でも そう書いてある クラスか？ ノイマン宇宙Vのクラスを集合として含むから クラスとも呼べないだろう では 集合か？ L ⊂ V ⊂ U の Uに限れば、ノイマン宇宙Vを含むから 普通の集合ではない 実際、下記 強到達不能基数 κと関連して u(κ)などとも される つまり、数学者が普通に日常に論じる集合とは 全く別ものだ が 定義上は集合で しかい ノイマン宇宙Vより大 結論として、グロタンディーク宇宙Uを”集合”と定義づけても それは、日常の普通の数学の集合とは 同列に論じられるものではないってことだよ あとは、薄葉 季路先生にきいておくれ 専門的に論じてくれるだろうさｗ　；ｐ） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 宇宙 (数学) 圏論 圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である 真のクラスを用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる 誤って真のクラスに対して言及する心配もなくなる 宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する” この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99 グロタンディーク宇宙 グロタンディーク宇宙と到達不能基数 強到達不能基数 κ U の濃度は κ より大きな強到達不能基数となる 任意のグロタンディーク宇宙はある κ に対し u(κ) の形となる (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/910

911: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/09/10(水) 21:14:58.77 ID:u0x0EfOw >>906 >グロタンディーク宇宙は集合だし他の（同値でない）定義などない >wikipediaもマクレーンもSGA4も望月もそう言ってる 基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ） まず、雪江 代数の教科書の用語から 『永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした.』 https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/ 雪江明彦代数の教科書 ・教科書の 用語について (2012/7/7更新) https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf 私の教科書の用語について 用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう. 2. 「可除環」か「斜体」か さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう? 桂では「斜体」と呼んでいるが， この用語を使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき， 「ヴェーダーバーンの定理」の状況ではdivision ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にしたら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて語るときskew field という用語を使うことはないだろう. これが英語でdivision ringなら「可除環」がよいだろうと思った. 永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした. (引用終り) 同じ用語の議論が、基礎論の用語 宇宙・クラス・集合にもあるだろう カントールの集合論では、クラスは 全く意識されていなかった ところが、ラッセルのパラドックスで、集合とクラスを分けて パラドックスを回避するよう 集合公理が定められた すべて集合の集合は、許されない！　それは、クラスだとなった 時代が進んで、21世紀 >>859 薄葉 季路 (早大理工) 集合論の宇宙 —Universe と Multiverse— https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf P3 集合の宇宙 ・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す ・Vは集合ではない (引用終り) これに当てはまるのが、>>840 ゲーデルの Constructible universe L ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで 集合の記号⊂を流用すると L ⊂ V ⊂ U となる さて、クラスの話に戻ると グロタンディークは圏論を展開するため ノイマン宇宙Vは狭いと考えて Vを拡張して 強引に宇宙の公理を使って 全てを集合として 圏論を展開することにした つまり、ノイマン宇宙Vではクラスでも グロタンディーク宇宙Uならば 集合となるのです つまり、何がクラスかは 設定する公理で変わる つづく >>910 タイポ訂正 が 定義上は集合で しかい ノイマン宇宙Vより大 　↓ が 定義上は集合で しかし ノイマン宇宙Vより大 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/911

912: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/09/10(水) 21:16:37.70 ID:u0x0EfOw >>911 もとい 再投稿 >>910 タイポ訂正 が 定義上は集合で しかい ノイマン宇宙Vより大 　↓ が 定義上は集合で しかし ノイマン宇宙Vより大 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/912

915: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/09/10(水) 23:06:19.72 ID:u0x0EfOw >>913-914 基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ） 　>>909 再録 薄葉 季路 (早大理工) 集合論の宇宙 —Universe と Multiverse— https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf P3 集合の宇宙 ・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す ・Vは集合ではない (引用終り) だから、宇宙は ”集合ではない”！ｗ　；ｐ） で 　>>840 ゲーデルの Constructible universe L ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで L ⊂ V ⊂ U ここでも、明らかに ノイマン宇宙V は 集合ではない また、Lも集合ではない この流れの中で、グロタンディーク宇宙U も その本質は 集合ではないが だが、グロタンディークがUを考えたそもそもは 圏論をやるのには Vでは クラスだのなんだのと 不便だから Vを広げて Uの中に取り込んで なんでも集合にして 圏論をやりやすく ということなわけだった だから、そもそも 集合 vs クラス において 狭い ノイマン宇宙V では クラスだが グロタンディーク宇宙U では 集合だとなる つまりは 公理の取り方で 集合 vs クラスの考えは変わるよ と 同様に グロタンディーク宇宙Uは 何者よ と考えたとき 薄葉 季路氏は「集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙で Vは（普通の）集合ではない」ってことだが ここらは、要するに 用語： 集合 vs クラス vs 宇宙 において あきらかに 文脈によって 意味が変わっているってことだね （というか、公理的集合論が考えられたのが 1900年代のはじめで その後 ノイマン宇宙Vや 構成可能宇宙L 圏論のグロタンディーク宇宙U その上に 薄葉 季路氏の 強制法 ”集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—” この間100年。雪江明彦 用語について>>909 と同じで 時代によって 変遷があるってこと） そういう用語の混乱と整理は 薄葉 季路氏の仕事だから そっちに丸投げだ　；ｐ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/915

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