Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

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231: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 11:04:05.22 ID:nzEtO0b1

>>225-230
(引用開始)
ごもっとも
１つずつ付け加える、というからには最後の操作がある、と考える
最後の操作がなくて完了した、とする場合、
１つずつ付け加えたのではない、ということになる

無限公理は当然独断だから飛躍である
別の公理から証明される定理ではない
そのような公理を設定することが
無限回の操作の完了を認めるに等しい
というのだろうがそれはただの妄想である
(引用終り)

やれやれ、「加藤文元氏 メンタルピクチャーや  Terence Taoの“big picture”」>>201
が幼いな。君たちは勉強不足
それじゃ、21世紀の現代数学は無理ｗ　；ｐ）

ここは、中高一貫生も来る可能性があるので、赤ペン先生をしておく
１）まず、カントールが 無限を測る尺度を二つ導入したことを思い出そう（下記）
　一つは濃度で、もう一つが順序数だ
　そして、フォンノイマン基数割り当てで、無限基数は極限順序数であり
　極限順序数は、「後続順序数でない順序数」である。１つずつ付け加えるという順序数の操作では 到達できないのは当然（集合論の常識）
　だが、無限公理を認めれば、極限順序数は存在し 即ち無限基数（アレフ ℵ0、ω など）も存在するのだ
２）さて、これを踏まえて 無限操作をどう考えるか？
　無限操作で ”最後の操作”とか考えるのは、おろかだよ。アレフ ℵ0、ω は、「後続順序数でない順序数」なのだから

この二人は、1980年代でオチコボレさんになった
勉強不足だよねｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
集合論において、濃度（英: cardinality カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである[1]。
集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された[2][3]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
集合論において、順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数（英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/231

233: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 11:17:28.16 ID:nzEtO0b1

>>232 追加引用

”ω1 は多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである”
百回音読してねｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数（英: aleph number）
アレフ・ワン
→「最小の非可算順序数」も参照
ℵ1 はすべての可算順序数からなる集合の濃度で、ω1 あるいは（ときに）Ω と呼ばれる。この ω1 はそれ自身順序数でありすべての可算順序数より大きく、したがって不可算集合である。それゆえ、ℵ1 は ℵ0 とは異なる。ℵ1 の定義は、（選択公理のない ZF、ツェルメロ・フレンケル集合論において） ℵ0 と ℵ1 の間に基数は存在しないことを意味している。選択公理 (AC) を使えば、さらに次のことが証明できる。基数のクラスは全順序でありしたがって ℵ1 は 2 番目に小さい無限基数である。AC を使って集合 ω1 の最も有用な性質の 1 つを証明できる。ω1 の任意の可算部分集合は ω1 において上界をもつ。（このことは AC の最もよくある応用の 1 つである可算集合の可算和は可算であるという事実から従う。この事実は ℵ0 における状況に類似である。すなわち、自然数からなるすべての有限集合は再び自然数である最大元を持ち、有限集合の有限和は有限である。

ω1 は多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである。例えば、部分集合の任意の集まりによって生成されるσ-代数を明示的に記述しようとすること（例えばボレル階層を見よ）。これは代数（ベクトル空間や群など）における「生成」のたいていの明示的な記述よりも難しい。なぜならばこれらのケースにおいて有限の操作 - 和、積、などに関して閉じているだけでよいからだ。各可算順序数に対して、超限帰納法を経由して、ありとあらゆる可算和と補集合を「投げ込んで」集合を定義し、ω1 のすべてに渡ってすべてのそれの和集合をとる、ということをその操作（σ-代数の生成）は含む。

（同じ個所のen.wikipedia）
https://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number
Aleph number
Aleph-one
"Aleph One" redirects here. For other uses, see Aleph One (disambiguation).
An example application of the ordinal
ω1 is "closing" with respect to countable operations; e.g., trying to explicitly describe the σ-algebra generated by an arbitrary collection of subsets (see e.g. Borel hierarchy). This is harder than most explicit descriptions of "generation" in algebra (vector spaces, groups, etc.) because in those cases we only have to close with respect to finite operations – sums, products, etc. The process involves defining, for each countable ordinal, via transfinite induction, a set by "throwing in" all possible countable unions and complements, and taking the union of all that over all of
ω1.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/233

244: １３２人目の素数さん [] 2025/08/26(火) 12:53:32.65 ID:nzEtO0b1

>>146
>無限回の行為が行えるならゼノンのパラドックスはそもそもパラドックスたりえない

下記 『小亀淳，”「ゼノンの逆理」は逆理か？“ 2010年3月10日』 NAIS Journal
が面白い

(参考)
https://nais.or.jp/en/journal/
NAIS
Nippon Applied Informatics Society
Journal
NAIS Journal vol. 5 2010年3月10日
https://nais.or.jp/wp-content/uploads/2014/11/Vol5_016-030.pdf
小亀淳，”「ゼノンの逆理」は逆理か？“ 2010年3月10日
１．はじめに
結論を言えば，ゼノンの議論は，それ自身の中に自己矛盾を内蔵する，誤った命題の表明にすぎないことが判明する。ゼノンが批判の対象とする「通常説（事象の観測のままのわれわれの理解）」に立ち向かえるような論理ではない。つまり，正常な意味での「逆説・逆理」の主張ではあり得ない。　2000年以上の長きにわたって，「逆説」でないものを「逆説」としてしか捉えず，それを真っ向から解こうとしたところで，不毛に終わるのは，むしろ当然というか，自然な結果である。

ゼノンの逆説を，文字通り逆説・逆理として捉え，あれこれ考えられたこと・考えられ続けてきたことが無意味だというのではない。その逆である。それらの思索の中から，有益な多くの成果が生みだされた。何より，共通のテーマとして，各分野の立場から論じ合う場を提供すること自体，大変有益である。ただ，「逆説」として問題自体が正しく解決されることはないと言うだけのことである。事実，解決されないからこそ，さらに考察が深められ，あまたの考えが模索され続けている。先に，「逆説」の解明が「束ねた葦で西瓜をたたくようなもの」と評価したが，それは，ありもしない逆説を「逆説」として解こうとする道具にするからで，束ねられた一本一本の葦は，「逆説」を解こうとする努力によって，はじめて生み出された価値ある成果であることも，大いにあり得る。もしかすると，ゼノンは，一見逆理のように見えるかもしれない表現を考案し，運動や時間，無限や連続などの不確かな概念の，さらなる熟考と掘り下げの必要性に目覚めさせることを目論んだのではないか，とさえ思えるほどである。

２．概念のイメージ化

https://www.accumu.jp/author/ka_gyo/%E5%B0%8F%E4%BA%80%20%E6%B7%B3.html
小亀 淳
Jun Kokame
東京大学名誉教授
理学博士
1947年京都大学理学部物理学科卒業
京都大学科学研究所研究員，京都大学助手（化学研究所），東京大学助教授（原子核研究所），東京大学教授（同），国士舘大学教授（情報科学センター）を歴任
元・京都コンピュータ学院情報システム開発研究所所長
上記の肩書・経歴等はアキューム18号発刊当時のものです。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/244

250: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 13:32:38.46 ID:nzEtO0b1

>>246
(引用開始)
>結論を言えば，ゼノンの議論は，それ自身の中に自己矛盾を内蔵する，誤った命題の表明にすぎないことが判明する
何がどう判明したのか、もちろん君は分かって引用したんだよね？　じゃあ説明してみて
(引用終り)

いやね
複雑で難しい対象は、多面的な角度や切り口で眺めろというのが
私の 人生哲学というか 手法でね
会社上司の東北大出身の部長から 教わった
なるほどと思ったよ

小亀 淳さんの切り口が これね
次が、中村 亮一さんの切り口ね

(参考)
https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=71452?site=nli
ニッセイ基礎研究所
2022年06月17日
無限について−無限に関するパラドックス（１）−
中村 亮一
ゼノンのパラドックス−アキレスと亀

ゼノンのパラドックス−飛んでいる矢は止まっている

二分法のパラドックス

（参考）実無限と可能無限
数学の世界では、基本的には「実無限」の考え方に基づいて論理が展開されているので、今回を含めて、今後の無限に関する研究員の眼のシリーズでは、基本的には「実無限」の考え方をベースに記述していくことにする。

関連レポート
無限について−無限に関するパラドックス（２）−
巨大数について（その１）−数詞で表現される巨大数等−
巨大数について（その２）−ハイパー演算、各種の表記法等−
無理数について（その１）−無理数同士や有理数との四則演算結果はどうなっているのだろう（πとeの和・積は無理数なのか）−
無理数について（その２）−無理数の（有理数や無理数）べき乗や無理数度等−
無理数について（その３）−無理数はどのようなところに現れてくるのか−

https://www.biz-book.jp/%E4%B8%AD%E6%9D%91%20%E4%BA%AE%E4%B8%80/author/5167
中村 亮一（なかむら りょういち）
プロフィール
ニッセイ基礎研究所 研究理事 日本アクチュアリー会正会員、日本保険学会会員 東京大学大学院数理科学研究科非常勤講師（2012 〜 2019 年）、同志社大学大学院商学研究科非常勤講師（2007 〜 2010 年）、企業会計基準委員会（ASBJ）委員（2007 〜 2009 年）、国際アクチュアリー会（IAA）保険監督委員会委員（2000 〜 2003 年）、国際実務基準委員会委員（2012 〜 2014年） 　1982 年　東京大学理学部数学科卒業、日本生命保険相互会社入社 　2007 年　日本生命保険相互会社 保険計理人 　2015 年　ニッセイ基礎研究所 取締役研究理事 　2016 年　同 取締役研究理事兼年金総合リサーチセンター長 　2018 年　同 常務取締役研究理事兼ヘルスケアリサーチセンター長 　2021年〜　現職

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/250

254: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 14:11:42.72 ID:nzEtO0b1

>>243
>あれほど無限操作は可能と言い続けたんだから

無限操作の定義によるが・・ｗｗ
現代数学としては可能でしょ？！ｗｗｗ 　；ｐ）

前記「二分法のパラドックス」(>>250)  中村 亮一氏で思い出すのが
”哀れな素人”（下記）こと 安達 弘志氏
旧ガロア スレにも来てくれてね
面白い人だった。本を出したと 紹介してくれた（下記）

彼は、”ケーキを食べつくすことはできない”と論争をふっかけてきた
曰く、ケーキを1/2にして 半分食べる。これを繰り返すと 終わらないという
「二分法のパラドックス」と同じだね
だから、安達 弘志氏はきっと有限主義ではなかったんだよ

安達 弘志氏よりレベル低い 自称数学科修士の二人
安達 弘志氏より低レベルの バカ発言と自覚してほしいもんだｗ　；ｐ）

(参考)
://i
test.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1567930973
現代数学はインチキだらけ
0001 哀れな素人 2019/09/08(日)
現代数学はインチキだらけである。たとえば
0.99999……＝１
無限小数は実数である
実数は非可算である
実数は連続性がある
非可測な長さ・面積・体積が存在する
超限順序数ωが存在する
無限公理・無限集合が存在する
空集合は任意の集合の部分集合である
調和級数の発散
等々は全部インチキである
略す

＜アマゾン＞
相対性理論はペテンである/無限小数は数ではない 単行本（ソフトカバー） – 2019/6/1
安達 弘志 (著)
「無限小数は数ではない」無限小数というようなものは存在しないし、数として存在できない。現代数学のインチキの根源であるカントール実数論の大インチキを暴く!
「解析学の大錯誤」ワイエルシュトラスの定理その他、解析学の基本公理はすべて誤りである。カントールの対角線論法やゲーデルの不完全性定理のインチキにも言及
「すべてのパラドックスは詐欺である」ラッセルのパラドックスその他、すべてのパラドックスはくだらない詐欺である
「任意の四角形の二等分線で、その重心を通るものは、少なくとも3本はある」後世、「安達の定理」と呼ばれるであろうユニークな定理
「アルキメデスの螺旋」アルキメデスが、円周の長さに等しい直線の作図に螺旋を用いることを着想した秘密に迫る
「ギュルダンの定理」ギュルダンがこの定理を発見した秘密に迫る
「射影幾何学の落とし穴」平行線は無限遠点で交わるという思想は誤りである。非ユークリッド幾何学のインチキにも言及
「円に内接する最大三角形は正三角形である」数式を一切用いないシンプルな証明
「ガロア第一論文のシンプル解説」現代の抽象代数学の用語を一切用いない、シンプルで、深い、最良の解説書
「相対性理論はペテンである」相対性理論は、光の本性に無知な科学者がひねり出した珍説である。この小論文が世界を変える!
「質量という不可解な概念について」質量という概念の謎に迫る
著者
安達弘志 1953年5月5日生れ 京大文学部国文科卒
主な著作「卑彌呼は満鮮にいた」「馬韓も百済も満州にあった」
「相対性理論はペテンである/無限小数は数ではない」その他「ケルン・マニ教写本」等の翻訳及び短編小説等
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/254

281: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 15:14:24.73 ID:nzEtO0b1

>>233 補足
>ω1 は多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである。例えば、部分集合の任意の集まりによって生成されるσ-代数を明示的に記述しようとすること（例えばボレル階層を見よ）。これは代数（ベクトル空間や群など）における「生成」のたいていの明示的な記述よりも難しい。なぜならばこれらのケースにおいて有限の操作 - 和、積、などに関して閉じているだけでよいからだ

”σ-代数”下記だね（演算を可算無限回まで含めて順序完備（英語版）化したもの）
そういえば、箱入り無数目で 測度論オチコボレさんで、大学の確率論テキストが読めない人たちが居たね　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9A%8E%E5%B1%A4
ボレル階層
ボレル集合
→詳細は「ボレル集合」を参照
任意の位相空間においてのボレル代数とは、全ての開集合を含んでいて可算和と補集合を取る操作について閉じている最小の集合族である。ボレル代数は可算交叉についても閉じている

https://wiis.info/math/measure/measure-space/sigma-algebra/
測度空間
σ-代数（完全加法族）の定義と具体例

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
完全加法族
完全加法族（英: completely additive class [of sets], completely additive family [of sets]）とは、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集合である。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。

可算加法族（英: countably additive class [of sets], countably additive family [of sets]）、(σ-)加法族（英: σ-additive family [of sets]）、σ-集合代数（英: σ-algebra [of subsets over a set], σ-set algebra）、σ-集合体（英: σ-field [of sets]）[注 1]ともいうこの概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である

この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である[1]。

演算を可算無限回まで含めて順序完備（英語版）化したものになっている

動機付け
望むべくは、互いに素な集合の和の測度が、個々の集合の測度の和になること、特にそれが互いに素な集合の無限列に関してさえも成り立つことである。
σ-集合代数 Σ は、可算無限回の演算まで含めて完備である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/281

301: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 18:25:03.41 ID:nzEtO0b1

>>205 補足
　再録
https://www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index21-4.html
「数学通信」第２１巻（２０１６年度）第４号目次
数学の発展と展望 砂田　利一 ２３
https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf
Ｐ2
2　無限の概念
P3
高校で習う数列と極限の定義にも，日常的言語で説明した方が理解を容易にするせいか，「可能無限」的表現が使われている．2
注釈
2念のため，数列と収束の現代的定義を述べておく．「数列{an} n=1〜∞ は自然数の集合Nから実数の集合Rへの写像であり，lim n→∞ an = a であるとは，「任意の正数ϵに対して，ある自然数Nが存在して，
任意の自然数nについてn≥Nならば| an−a |＜ ϵが成り立つことである」．
ここで注目すべきは，実無限と可能無限の双方を取り入れた形で収束を定義していることである．

さて
＜関連＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
収束
本節の目標は、位相空間上での収束概念を定義し、収束概念によってこれまで述べてきた様々な概念を捉え直す事にある。 位相空間における収束概念は、距離空間における点列の収束概念を適切に修正する事により得られる：
定義 (距離空間における点列の収束) ―  (X,d)を距離空間とする。Xの点列
(xn)n∈NがXの点xに収束するとは以下が成立する事を言う：
∀ε>0 ∃n0∈N ∀n>n0 : xn∈Bε(x)
ここで、
Bε(x)={y∈X|d(y,x)<ε}
である。
位相空間における収束を定義するにあたり、上述の距離空間における収束の定義に２つの変更を行う：
1.ε-近傍Bε(x)の代わりに一般の近傍を用いる。
2.点列の概念を一般化した有向点族の概念を導入し、有向点族の収束を定義する。
1番目の変更を行うのは、位相空間には距離の概念がないので、そもそもε-近傍を定義できないからである。
一方2番目の変更を行うのは、点列の収束概念だけでは位相空間の諸概念を定式化するのに不十分だからである。
たとえば距離空間の場合には連続性の概念は
lim n→∞ f(xn)=f(lim n→∞ xn)
が収束する任意の点列に対して成り立つ事により定式化できるが、
一般の位相空間の場合は「任意の点列」ではなく「任意の有向点族」に対してこれと類似の性質が成り立つ事により連続性を定義する必要がある。
なぜなら点列の場合は添字集合が可算なので、点列の概念で連続性を捉え切るには位相空間の方にも何らかの可算性を要求する必要があり（列型空間を参照）、一般の位相空間の連続性の概念を適切に定義するには点列の概念では不足だからである。
なお、位相空間上ではフィルターの収束という、もう一つの収束概念を定式化できる事が知られているものの、収束する有向点族と収束するフィルターとにはある種の対応関係がある事が知られている。詳細は有向点族#フィルターとの関係を参照

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/301

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