Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
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493: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 08:27:30.26 ID:jE3Cs7nW

>>491
>そもそも極限を考えるには距離が定義されてないとダメなんだが、集合間の距離をどう定義するの？

"ひろゆき名言「それってあなたの感想ですよね」"(下記)
なお、君は勉強不足
下記 フィルター (filter) とネット（有向点族）を、百回音読してね
距離が定義されていない空間での 極限・収束を扱える■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアル（英語版）である。
類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。
例
超積
超積は超準解析の最も簡単なモデルを与えている
位相幾何学におけるフィルター
位相幾何学や解析学において、距離空間での点列の収束の類似として、一般的な収束の概念を定式化するためにフィルターが用いられる。
位相空間論の諸結果は次のように全てフィルターを用いた議論に言い換えられる：
１．X 上の任意のフィルターの極限が高々一つ（つまり、多くても一つの点にしか収束していない）のとき、およびそのときに限って X はハウスドルフ空間になる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%90%91%E7%82%B9%E6%97%8F
有向点族(ネット (net))
有向点族とその極限
有向点族とその収束の定義は点列とその収束性の定義を自然に有向集合の場合に拡張する事で得られる。
例
・(実数値関数の極限) 同様に実変数関数の極限limx→∞ f(x)も、有向点族
　(f(x))x∈Rの極限ととらえる事ができる。
・(リーマン和) リーマン積分の定義におけるリーマン和も有向点列の極限とみなせる。この例において考える有向集合は、積分区間の全ての分割が成す集合に包含関係が定める順序で向きを入れたものである。リーマン＝スティルチェス積分においても同様のことを考えることができる。

>>453再録
ひろゆき氏、名言「それってあなたの感想ですよね」
https://www.sanspo.com/article/20240513-MVSJEG4GAJGYNALSNLHLBTSMBA/
サンスポ
ひろゆき氏、名言「それってあなたの感想ですよね」を発した理由
2024/05/13

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/493

500: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 09:56:01.82 ID:jE3Cs7nW

>>119 戻る
(引用開始)
１）
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
２）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
(引用終り)

この ペアノの公理らにおいて 自然数で 集合積∩を使う点を >>485 位相入門 川崎徹郎2016 の立場から批判する
まず 下記無限公理の”無限集合Iから自然数を抽出する”において
『おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである』
とあって、”無限公理と分出公理を使って証明”している
この場合は、無限集合Iの具体的な性質として ”Iは 帰納的な(無限集合N(自然数))集合を含む”
という無限公理から N(自然数)を 分出公理を取り出している

で、上記 集合積∩を使う問題点を >>485 位相入門 川崎徹郎2016 の立場からは
集合積∩を使うには、集合の無限列が必要なのだ
いま、下記無限公理に規定された無限集合として 非可算の集合I（つまり上記ペアノの公理ではA）
を取ると、この集合積∩を使う集合の無限列は、非可算の長さの列になるだろう

つまり、ZFC公理系のごく最初の部分で さあ いまから最初の可算集合N(自然数)を定義しようとするにあたって
非可算の集合積∩を使うのは、いかにも大袈裟でまずいってことだ
分出公理で簡単に済む話に わざわざ 集合積∩ね
繰り返すが 『おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたい』
なのだが それに とらわれて集合積∩を使うのは まずい■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/500

518: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 16:13:03.47 ID:jE3Cs7nW

>>515
(引用開始)
p10
M1, M2, . . . を集合の列とする。
すなわち，各 i ∈ N に対して，集合 Mi が定まっているものとする。
そのときすべての Mi の共通集合が
∩(i=1〜∞)Mi = {m | ∀i∈N.m ∈ Mi（すべての i に対して m ∈ Mi）}
によって定義される。
同様に，すべての Mi の合併集合は
∪(i=1〜∞)Mi = {m | ∃i∈N.m ∈ Mi（ある i に対して m ∈ Mi）}
により定義される。　
∩(i=1〜∞)Mi の代わりに∩(n∈N)Mn または，単に ∩(n)Mnもよく用いられる。
これに似た記号は有限個の集合の列の共通集合，合併集合に対しても使われる。
(引用終り)

ご高説は賜った
では、上記 その川崎徹郎氏の ”∩(i=1〜∞)Mi = {m | ∀i∈N.m ∈ Mi（すべての i に対して m ∈ Mi）}”
を適用して、下記

>>500 より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である
(引用終り)

ここで、「Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである」として
１）Aが 可算無限集合の場合（そのような集合を一つ選べ）
２）Aが アレフ・ワン 非可算無限集合の場合（そのような集合を一つ選べ）
この二つの場合について
「N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}」
の証明を書け！！ｗｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数
アレフ数（アレフすう、英: aleph number）は無限集合の濃度（あるいは大きさ）を表現するために使われる順序数のクラスである。
アレフ・ワン
→「最小の非可算順序数」も参照
ℵ1 はすべての可算順序数からなる集合の濃度で、ω1 あるいは（ときに）Ω と呼ばれる。この ω1 はそれ自身順序数でありすべての可算順序数より大きく、したがって不可算集合である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/518

524: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 16:36:09.71 ID:jE3Cs7nW

>>468 戻る
(引用開始)
形式的冪級数環R[[x]]を、どうメンタルピクチャー（>>8 加藤文元）として とらえるか？
それは各人自由だが
『形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和』（下記）
と考えるのも ”あり”だろう
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
（google訳）
形式冪級数
形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和であり、級数に対する通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算、部分和など）で操作することができます。
A formal power series with coefficients in a ring R is called a formal power series over R.
The formal power series over a ring R form a ring, commonly denoted by R[[x]].
(It can be seen as the (x)-adic completion of the polynomial ring
R[x], in the same way as the p-adic integers are the p-adic completion of the ring of the integers.)
環R上の係数を持つ形式的な冪級数Rは、R環上の形式的冪級数環を形成する。
環R上の形式的冪級数は、一般的にはR[[×]]と書かれる。
（これは多項式環R[×]の（x）進完備化として見ることができる、p進整数が整数環のp進完備化であるのと同じです）
(引用終り)

形式冪級数
Σ_n=0〜∞ an X^n=a0+a1X+a2X^2+・・・
ここで >>483 川崎徹郎流 で
可算無限列 a0, a1X, a2X^2, ・・・
を構成して 間に和の記号 + を挿入
”極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる”>>483
で
”Σ_n=0〜∞ an X^n=a0+a1X+a2X^2+・・・”
を考えれば良いだけのことよ■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/524

539: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 20:48:08.86 ID:jE3Cs7nW

>>531 補足
　>>518 より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である
(引用終り)

補足するよ
下記の 順序数 での 無限集合部分を使う
名前を付ける
S0=ω,
S1=S(ω),
S2= S(S(ω)),
S3=S(S(S(ω))),
　・
　・
Sn=S(Sn-1),
ここで、Peano axioms en.wikipedia 訳で ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
に注目しよう。これは、無限順序数でも成り立つ
いま、S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
そこで、上記”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”において
A=S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} としよう
すると ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が Aにおける 無限集合の積と解釈できるとして（要証明事項）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}＝ω∩S(ω)∩S(S(ω)) と書ける
ここで、ω∩S(ω)∩S(S(ω))＝ω は簡単に分ること

同様のことが、任意nのSnで言えるだろう(数学的帰納法でも使えば)
さて、問題は順序数 での 無限集合という素性の知れた集合だから簡単に言えることだが

無限公理の主張に戻ると、無限公理は 有限の帰納的に生成される集合全てを含む なにか無限集合Iの存在を主張するものである
無限集合Iで分っていることは、”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”だけ
だから、素直に 無限集合Iから ”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”を取り出す式を書けば良いだけと 単純に考えることができる

集合積∩を使う問題点は、上記のように 無限集合Iの大きさと具体的な構成に依存して
式 ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が変わってしまうこと
（なお、無限集合Iは、順序数に限定されない）

結論として、”ωが最小の無限集合で、全ての無限集合の共通部分”は分っていることだから
いずれ 手間を掛ければ その結論には達するが
無限集合Iの大きさと その具体的な構成に依存する式を使うと
話が 大袈裟になるってことだ■

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/539

543: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 22:38:22.70 ID:jE3Cs7nW

つづく

>>538
>https://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1756548285/

おや？
独教授「ABC予想の証明論文は論理に飛躍がある」　望月教授「それはお前がクソ無能だからだ」 [886559449]
か
それ ニュース速報板だね
情報ありがとう

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/543

547: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 23:04:16.32 ID:jE3Cs7nW

>>542
(引用開始)
>”ωが最小の無限集合で、全ての無限集合の共通部分”は分っていることだから
だから大間違いって言ってるんだけど、言葉が通じないの？　言語障害？
偶数全体の集合と奇数全体の集合の共通部分は{}であってωではない。
(引用終り)

なるほど
それ面白いから カマッテクンしておくと
デデキント無限 の話だね
選択公理を仮定すると
自然数N=ω には、
下記「A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである」
だね。だから、”このような場合（等濃真部分集合）を除外して”という条件が入るだろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。

デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。

通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:

集合A が無限であるとは、どのような自然数 n に対しても、{0,1,2,..., n -1}（有限順序数）と A との間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。

19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。

選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。しかしながら、無限とデデキント無限の同値性はACよりもっと弱いものである。すなわちこの同値性を仮定してもACは導かれない。

可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
デデキント無限集合が無限であることはZFで容易に証明される。実際、任意の有限集合はある有限順序数と等濃であって、有限順序数がデデキント有限であることは帰納法により証明できる。

可算選択公理を用いることによって、その逆が証明できる。つまり、無限集合はデデキント無限であることを以下のように証明できる[2]。
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/547

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