Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
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306: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 21:00:55.16 ID:dSyweoWi

>>304
>君、頭大丈夫？
>添え字集合が有限だろうと可算無限だろうと非可算無限だろうと、無限操作なるものが存在するなんの証拠にもなってないことが分からないの？

ふっふ、ほっほ
１）まず、下記の公理的集合論 集合の公理系 において
　その集合に対する操作は、無限有限の区別なし！
　無限集合を扱うのだから、その公理も 無限を扱えるように設定されているのだよｗ　；ｐ）
２）君は、『加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
　Terence Tao “big picture”』が欠落している
３）つまり、日常の数学の下に素朴集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階が素朴集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階の素朴集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば
　その日常の数学の無限操作は許されるのだよ■　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
集合の公理系
ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）
・対の公理　任意の要素 x, y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する：
∀x∀y∃A∀t(t∈A↔(t=x∨t=y)) 。
外延性の公理から、x と y に対して対の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを {x,y}で表す。
{x,x} を {x}で表す。これにより順序対の存在が言え、それにより直積集合の存在も言える。
・和集合の公理　任意の集合 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する：
∀X∃A∀t(t∈A↔∃x∈X(t∈x)) 。
外延性の公理から、X に対して和集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の和集合と呼び、∪Xで表す。
∪{x,y} を x∪y で表す。
・冪集合公理　任意の集合 X に対して X の部分集合全体の集合が存在する：
∀X∃A∀t(t∈A↔t⊆X) 。
外延性の公理から、X に対して冪集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の冪集合と呼び、
P(X)または2^xで表す。
・置換公理　"関数クラス"による集合の像は集合である：
∀x∀y∀z((ψ(x,y)∧ψ(x,z))→y=z)→∀X∃A∀y(y∈A↔∃x∈Xψ(x,y)) 。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。

>>8-9より 再録
加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
Terence Tao “big picture”
(参考)
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/306

307: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 21:01:27.94 ID:dSyweoWi

つづき

形式化された理論
メンタルピクチャーの対極にあるのは、形式化（formalize）されコード化された理論（FT）だ。
数学の研究論文における形式的●●●議論は、例えばLean4やCoqなどのコンピューター言語による形式化からすれば、まだまだ「非形式的（informal）」なものだろう。人間のやる数学はまだまだインフォーマルであり、行間が広く、とてもとても形式的議論とは言えない。
とはいえ、ここで「メンタルピクチャー（MP）」の対極にある概念としての「形式化された理論（FT）」は、人間の書いた論文の議論のようなものも含む、広い概念である。そして、数学の厳密化とか精密化とは、このような緩い意味での形式化
(*)　　MP ーーーー形式化ー＞ FT
のことである。
形式化図式と数学の「理解」
形式化図式は数学を「理解する」という行為の内実とも、深く関係している。人間による数学の理論とは、単なるコードの連なりとして理解することではない。それは理論のメンタルピクチャー（MP）と、それと形式的理論との関連付け、すなわち形式化図式を構築することである。メンタルピクチャーだけによる理解は危険であるが、メンタルピクチャーによる裏付け・接地のない理解は不健康である。それは健康でないだけでなく、理解の深さがないという意味でも、完全な理解とは言えない。
＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
3. The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/307

313: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 23:37:37.09 ID:dSyweoWi

>>308-312

村田 全先生
「ベールの有限主義は論理的には強固であっても，実際にはかえってやっかい厄介になり，しかも自然数の自然列は誰もが同じ心像をもつ（らしい）のでこれを認めるが・・・」
と記す
まあ、他人が”有限主義”であっても、どうしようもない
個人の自由ですからね
？ 数学科生だって？ そりゃ 君 ”有限主義”やってれば 数学科ではオチコボレは必定だよｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%91%E7%94%B0%E5%85%A8
村田 全（むらた たもつ、1924年3月11日 - 2008年7月6日）は、日本の数学史学者・数理哲学者、立教大学名誉教授
著書
『数学と哲学との間』 玉川大学出版部、1998
http://www.cam.hi-ho.ne.jp/munehiro/science/scilib.html
科学図書館
村田　全の部屋
http://www.cam.hi-ho.ne.jp/munehiro/science/Murata/France-keiken.pdf
『数学と哲学との間』所収。フランスの数学者、ボレル、ベール、ルベーグたちのヒルベルトの公理主義のアンチテーゼとしての経験主義を解明する。
フランス経験主義の数学思想 村田　全
付録1　
ゲーデルの決定不能定理
付録2　
帰納的関数と帰納的述語
この論文の原型「数学におけるフランス経験主義」は『科学基礎論研究』（第巻，）に書かれたものだが，
「ボレルのエフェクチブ概念の形成1)」の補足として収録した。
単独で読まれることを考慮した余り「ボレルのエフェクチブ概念の形成」との重複が残ったのは遺憾だが，
多少でも現代的意味があるように大幅な削除と加筆をした。
挿入部分【補注】と章末の【補説】がそれである。
今から見ると，私はボレルたちの数学の本当の内容を離れて「思想」ばかりにこだわり，かえってその数学の本質を失した面もあったかと思うが，【補説】で少しは補ったつもりである。

P4
ボレルは色々な試論のあげく揚句，自然数全体は認め，もう一つの全体は認めぬと言う結論に達するのであるが，その根拠は必ずしも論理的なものでなく，プラグマティックないし心理的なものである。ここにはボアンカレの影響もあったであろう。即ち「ベールの有限主義は論理的には強固であっても，実際にはかえってやっかい厄介になり，しかも自然数の自然列は誰もが同じ心像をもつ（らしい）のでこれを認めるが・・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/313

315: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 23:53:10.75 ID:dSyweoWi

>>306
さて
１）昔学部の1〜2年で”リーマン球面と無限遠点”の話を聞いて、えらく感心したのを覚えている
　実関数y=1/x を考えると 原点x＝0 に負側から近づくと-∞で、正の方からなら+∞に発散するところ
　複素平面を球面にして、複素関数y=1/x で x→∞ だと y→∞（プラスやマイナス関係ないのでビツクリ）
２）いまリーマン球面にアキレスが居るとして 原点0 から出発して 実軸上をどんどん＋側に進むと北極点に到達する
　アキレスの足をもってすれば、これは簡単だ
３）ところが、複素平面のままなら そうはいかない。アキレスの足でも無限遠点に到達するのはタイヘンなのです

これは、たとえ話
無限だのへったくれだの言うが、リーマン球面か複素平面かで考え方が大きく変わるのだ
リーマン えらい！！（＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2663
高校数学の美しい物語
リーマン球面と無限遠点 2022/07/21
リーマン球面とは，複素平面 C に無限遠点 ∞ を追加したものである
リーマン球面を C^  などと書く
リーマン球面とは，複素数に一点を追加することでより便利に複素数を扱えるようにした集合です。
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto/shikakutimes/s3/bend-image/1657605343.png
位相空間論からの話題：一点コンパクト化
リーマン球面の考え方は一点コンパクト化というトピックに関連します
有界な閉集合はコンパクト集合です
複素平面全体は無限に広がっているため，コンパクトではありません
既に見た通り，リーマン球面は三次元単位球面と見なすことができます。三次元単位球面は，有界で閉なのでコンパクト集合となります。
コンパクトではない複素平面に無限遠点を追加することでコンパクト集合が得られるのです
このようにコンパクトではない集合に一点を追加してコンパクト集合を得ることを一点コンパクト化といいます。無限に広がるものに一点追加することで有限のものとして解釈できることは非常に興味深いことです
実積分を複素積分から見たほうが簡単に計算できるように，複素数も一段階広いリーマン球面から見つめることでシンプルに見えてくることが多いです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
一点コンパクト化の例
・自然数全体（離散位相）
N の一点コンパクト化は
N に最大元 ω を付け加えた順序集合
N∪{ω} の順序位相と同相になる
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Riemann_sphere1.jpg/500px-Riemann_sphere1.jpg
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/315

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