Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
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727: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 11:20:57.05 ID:YqcoVM+6

１）下記”玉川安騎男(京大数理研) 遠アーベル幾何学の過去.現在.未来”
　多分、ここにIUTも入るだろう
２）さて、IUT INTER-UNIVERSAL TEICHM¨ ULLER THEORY I （下記）で
　Fig. I1.4〜Fig. I4.1 を見る限り、今日の基礎論でいうところの UNIVERSAL（宇宙）とは ちょっと違う用語の使い方だと思う
３）宇宙 (数学)：特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである
　グロタンディーク宇宙にも 何通りかの定義があるようだが、フォン・ノイマン宇宙と対比されるとき
　ZFC フォン・ノイマン宇宙Vでは、圏論にはちょっと狭いよと グロタンディークは考えて もう少し広いグロタンディーク宇宙Uを考えた
４）そういうフォン・ノイマン宇宙Vより広い 圏論が自由できる
　”すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）”とすると
　広いグロタンディーク宇宙Uの外に出るのは難しい
　だから、INTER-UNIVERSALは 大宇宙Uの中の小さい宇宙を”つなぐ”ということでしょう

ここらの用語の混乱も 重箱の隅の話だが
一言触れてほしい

(参考)
https://x.com/math_jin/status/1962727408324456869
math_jin 2025年9月2日
日本数学会　秋季分科会 総合講演　9月17日
玉川安騎男(京大数理研) 遠アーベル幾何学の過去.現在.未来(16:30〜17:30)

https://www.mathsoc.jp/activity/meeting/nagoya25sept/index.html
日本数学会
2025年度秋季総合分科会
https://www.mathsoc.jp/assets/file/activity/meeting/nagoya25sept/prog25sept_ja_20250801.pdf
2025日本数学会秋季総合分科会プログラム
総 合 講 演9月17日　（　水　）豊田講堂 ホール
玉川安騎男 (京大数理研) 遠アーベル幾何学の過去・現在・未来···· (16:30〜17:30)

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHM¨ ULLER THEORY I:
CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS
Shinichi Mochizuki May 2020
P10
Fig. I1.4:ComparisonofF ± l-,Fl-symmetries withthegeometryoftheupperhalf-plane
P17
Fig. I2.1: Depiction of Frobenius- and ´etale-pictures of Θ±ellNF-Hodge theaters via glued topological surfaces
P26
Fig. I4.1: Correspondence between inter-universal Teichm¨ uller theory and p-adic Teichm¨uller theory

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/727

728: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 11:21:23.03 ID:YqcoVM+6

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
数理論理学において、構造 (もしくはモデル) の宇宙（うちゅう、英: Universe）とは議論領域のことである。
数学、とりわけ集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙（英: Grothendieck universe、仏: Univers de Grothendieck）は次の性質をもった集合 U である[1]：
略
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集合
・すべての遺伝的有限集合 の集合　Vω。
他の例は構成がより困難である。大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
(U) すべての集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。
(C) すべての基数 κ に対して、κ よりも巨大な強到達不能基数 λ が存在する。
略
巨大基数の公理 (C) から宇宙の公理 (U) が導かれることを示すため集合 x を選ぶ。
略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙
フォン・ノイマン宇宙 V とは、遺伝的（英語版）整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され
Vと集合論
κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。
V は二つの理由によって、“全ての集合による集合” とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。各階層Vα がそれぞれ集合でも、その和である V は真のクラスであるからだ。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/728

735: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/04(木) 13:30:44.60 ID:YqcoVM+6

>>733
(引用開始)
グロタンディクは上記３点すべて
・無限”回”の積
・無限”回”の直和
・無限”回”の共通集合
で実現してるかい？
全部 ◆yH25M02vWFhP 君の妄想だろ？
(引用終り)

いいツッコミだ
１）数とは何か 何であるべきか それはいろいろあるらしい
　（例えば下記の高木貞治（多分 これはZFCベースではないだろうね））
２）数学は、数やいろいろの概念の拡張の歴史でもあるだろう
　下記の”超実数”もその一つだ
３）現代数学においては、数としての無限大(小) あるいは 集合の無限を扱う必要がある
　無限を扱えないならば、数学の議論は進まない
４）つまりは、実数→”超実数”のごとく
　何か必要な数学の操作について 有限回→無限回 に拡張すればいいだけのこと■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数
無限大量や無限小量を扱う方法の一つである
1+1+・・・ +1
の形に書けるいかなる数よりも大きい元を含む。そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1677-15.pdf
数理解析研究所講究録第1677巻 2010年 141-154
高木貞治の数の基礎に関する三部作
早稲田大学 足立恒雄
概要
高木貞治は、現在から見れば不思議に思えるのだが、算術の基礎に若いころか
ら関心が深かった。最初に著した『新撰算術』は1898 年、高木が大学院在学中に
書かれたものである。その後、高木はドイツへ留学し、ヒルベルトに師事、帰
国後、教授就任と同時に『新式算術講義1 (1904 年: ちくま学芸文庫で復刊)
を著した。最後に算術について著したのは『数の概念』(1949 年)
である。最初の著書から数えて50 年、高木の算術の基礎に対する関心は生涯のわたるものであったこ
とは明らかである。
本稿では、高木のこれら三部作の内容を紹介する。(実際には『数学雑談』を含
めて四部作だが、紙数制限のためこれは省略する)
これによって、高木個人の時勢に応じた数観念の変遷を知ることができるが、同一人による違いは個人の能力
の問題とは言えないことから、世界における数に対する思想、それは同時に数学
思想、の変遷をも明確に示していて大変興味深い。

P１５０
3 『数の概念1 (1949)
高木は1936 年に大学を退職したが、1949 年(74 歳)
になって最後の著書で
ある『数の概念』を出版した。『新撰算術』の発刊から数えて50 年後に当たるこ
とに注目すべきであろう。
試作段階の『数学雑談』でもまだ量の理論から出発していたのだが、『数の概念』
では一転して、量の概念には触れず、「哲学的傾向を有する人々の関心をひくべき
問題」として、純然と数の体系の基礎が論じられている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/735

738: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/04(木) 13:45:54.29 ID:YqcoVM+6

>>734
>「圏を一階述語論理で公理化する」で検索してな

多分、それはそれでありと思うが
時代は、脱一階述語論理だと思うよ

下記 ゲーデルの加速定理
『n階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである』

脱一階述語論理を進めないと
人は 数学AIに勝てないだろう

一階述語論理しばり 程度の出力しかできないなら
数学AIの方がまし って言われるよ

実のところ 2010年代の東ロボくんを上回る ベンチャー企業AIがあるらしい（下記）
来年は、もっと高成績を出すだろう（そのうち 東大数学科学部卒レベルに到達するかもよｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理
弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。より正確にいえば、それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。
エーレンフォイヒト・ミッシェルスキーの加速定理
帰納的理論
T と文 φ
について
T+¬φ は決定不可能であると仮定する。したがってとくに
φ は T
で証明できない。この条件を満たす例としては、ロビンソン算術と加法や乗法の交換法則、ペアノ算術とグッドスタインの定理やパリス・ハーリントンの定理（英語版）、ZFと選択公理や決定性公理、ZFCと連続体仮説や巨大基数公理などがある。

https://note.com/joyous_echium468/n/n61b6080f2ea5
東ロボくんは何故東大に入れなかったのか？(日本発AIプロジェクトの夢と挫折)
たー
2025年4月13日

2025年4月、AIが東京大学の最難関入試である理科三類（医学部進学を中心とする枠）に“合格水準”に到達したというニュースが注目を集めました。

挑戦したのはAIベンチャー企業・ライフプロンプト社の最新「生成AI」で、550点満点中374点を獲得し、東大公表の合格ライン（368点）を上回ったのです。

最難関科目を人間でも攻略するのは至難の業ですが、このAIは一科目あたり数分から1時間ほどで記述式答案をまとめ上げました。

こうした成功は、2010年代に行われた「ロボットは東大に入れるか」プロジェクト（通称・東ロボプロジェクト）を想起させます。

当時、国立情報学研究所の新井紀子教授らが中心となり、高校〜大学入試レベルの問題をAIで解かせる試みに挑んだものの、結局は東大合格には届かず、2017年前後に一区切りを迎えました。

それから数年で何が変わり、どのようにして現代のAIは東ロボくんが越えられなかった壁を突破しつつあるのでしょうか。

東ロボプロジェクトの限界
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/738

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