Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

323: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/27(水) 08:02:58.44 ID:LnNUaNsl

>>301
＞数列と収束の現代的定義を述べておく．
存分に勉強してね

＞「数列{an} n=1〜∞ は自然数の集合Nから実数の集合Rへの写像である」
その通り　「自然数から実数への写像」だよ
「数を無限回並べ切ったもの」なんて定義してない

＞「lim n→∞ an = a であるとは，
＞任意の正数ϵに対して，ある自然数Nが存在して，
＞任意の自然数nについてn≥Nならば| an−a |＜ ϵが成り立つことである」．
その通り　よくできました（パチパチパチ）

＞ここで注目すべきは，
＞実無限と可能無限の双方を取り入れた形で
＞収束を定義していることである．

どこを実無限、どこを可能無限、といってる？
自然数の集合Nを使ってるから実無限といってる？
そういう言葉の定義ならそうなるけど
Nを定義するのに自然数を無限回並べるとかしてないよ

数列の各項anとの比較しかしてないから可能無限と言ってる？
そういう言葉の定義ならそうなるけど
ただ、極限aをもろに出してるよね
これって君のいう「無限回の操作の結果」であって
実無限なんじゃない？

実は収束の定義って使えない定義ではあるね
なぜって収束先ａが必要になるだろ？
でも、実際は収束先が分からなくても
収束するかどうか知りたいだろ？

どうすればいい？そのためにコーシー列という概念がある

＞「数列anがコーシー列であるとは
＞任意の正数ϵに対して，ある自然数Nが存在して，
＞任意の自然数n,mについてn,m≥Nならば| an−am |＜ ϵが成り立つことである」．

収束列はコーシー列であるが、実は逆も成り立つ
というか、実は逆も成り立つように実数を定義したんだけどね
実数を有理コーシー列の同値類にしちゃったから

つまり実数列の収束って
「自然数から有理コーシー列への写像が、実数の意味でのコーシー列であり
　したがって、その写像から、収束先となる有理コーシー列が構成できる」
ってことなんだけどね

で、「」内のどこにも無限回の操作の完了なんか使ってないだろ？

これが、◆yH25M02vWFhPが大学時代理解できなかった大学数学の思考だよ！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/323