Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

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923: １３２人目の素数さん [] 2025/09/11(木) 06:28:57.03 ID:KfYwoBCP

>>915
>だから、宇宙は ”集合ではない”！

まず、これが嘘
宇宙だから集合でない、のではない
「集合論における集合の全体」は集合にならない
そういうこと

>ゲーデルの Constructible universe L
>ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで
>L ⊂ V ⊂ U
>ここでも、明らかに ノイマン宇宙V は 集合ではない
>また、Lも集合ではない

Vが全体なら、V自身は集合ではないし、またその中のLも集合ではない

一方、Uとかいうものを考えるなら、VもLも集合だ
しかし、その場合も、Ｕ自身はクラス

この初歩が、高卒 ◆yH25M02vWFhP には分かってない

>この流れの中で、グロタンディーク宇宙U も その本質は 集合ではないが

本質もなにも、Uが集合の全体なら、Uは集合でない

>だが、グロタンディークがUを考えたそもそもは
>圏論をやるのには Vでは クラスだのなんだのと 不便だから
>Vを広げて Uの中に取り込んで なんでも集合にして
>圏論をやりやすく ということなわけだった

Uの中では、集合論での集合全体に相当する宇宙が集合として存在する
これを集合としての”グロタンディーク宇宙”と呼んでいる

だからUをグロタンディーク宇宙と呼ぶのは本当は誤りで
Uは「その中に”グロタンディーク宇宙”を持ち得るような集合論の宇宙」
そして、それは当然ながらグロタンディーク宇宙など持ちえない
最小のノイマン宇宙Vやゲーデル宇宙Lよりは大きい

>だから、そもそも 集合 vs クラス において
>狭い ノイマン宇宙V では クラスだが
>グロタンディーク宇宙U では 集合だとなる
>つまりは 公理の取り方で 集合 vs クラスの考えは変わるよ

公理の取り方、という言い方は誤り
Vの中ではVは固有クラスだが
Vを集合として持ち得る宇宙Uが存在すると認めれば
Uの中ではVは集合だということ
そうしたところで、Ｕの中でＵ自身が集合になるわけではない

Ｕというものが存在する、とするのは確かに追加公理によるが
いかなる公理を追加したところで、集合の全体が集合となるようにはできない
（つづく）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/923