Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

109: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 10:59:36.13 ID:+A9mxT/6

>>108
そのAIはGrokだね

さて、マイクロソフトのCopilot くんの回答
Q.５ｃｈ数学板でこんな書き込みを見つけた 「21世紀では自然言語を援用する論理が復権している気がする その中で、集合論より 圏論が使われる場合が増えている気がする ”圏は対象とその間の射からなる構造”であり、 自然言語を使わずに 形式論理などを避ける圏論は ”意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性がある”」 この発言の主に何かいう言葉はありますか？

A.これはなかなか鋭い観察ですね。発言者の視点に対して、以下のような応答が考えられます：

🧠 「興味深い指摘ですね」
21世紀に入ってから、形式主義一辺倒ではなく、意味論や自然言語との接続を重視する傾向が強まっているのは確かです。とくに圏論は、対象と射という抽象的な枠組みで構造を捉えるため、言語的な曖昧さを排しつつも、柔軟な意味論を許容する点が魅力です。
📚 「集合論 vs 圏論という対比について」
集合論が“要素”に焦点を当てるのに対し、圏論は“関係性”に焦点を当てます。この違いが、自然言語的な論理や高階論理との親和性に繋がっているという指摘は、まさに現代的な視点です。とくに圏論的意味論（categorical semantics）は、型理論や論理のモデル化において重要な役割を果たしています。
🧩 「形式論理を避ける圏論という表現について」
ここは少し補足したくなります。圏論は形式論理を“避ける”というより、“再構成する”枠組みとも言えます。例えば、圏論的論理（categorical logic）は、命題論理や述語論理を圏の言葉で表現する試みであり、むしろ形式論理を圏論の枠内で再定義しているとも言えるでしょう。
🔍 「自然言語との接続について」
最近では、圏論が計算言語学や意味論、さらにはAIの文脈でも応用されており、自然言語の構造を圏論的に捉える試みも進んでいます。例えば、Lambek圏やモノイド圏を使った文法のモデル化などが挙げられます。

この発言者には、「あなたの視点は現代数学と論理の潮流をよく捉えている」と伝えたくなりますね。もしこの話題をさらに掘り下げるなら、「圏論的意味論と高階論理の関係」や「集合論的基礎と圏論的基礎の哲学的違い」なども面白い切り口になりそうです。
どちらの方向に話を広げてみましょうか？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/109

119: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 16:57:37.03 ID:+A9mxT/6

>>95
>N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
>が読めずに発狂してたじゃん

あたま固そう
それ下記 ja.wikipedia ペアノの公理 ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
だね(未確認飛行 C さんもついでに引用しておく)

さて、ZFC公理として 自然数の集合Nを公理的に構築する立場から批判する
１）素朴集合論では、下記「集合の代数学」ja.wikipedia にあるように
　集合積∩は、基本的な集合演算だが
　下記 ツェルメロ＝フレンケル集合論では、和集合の公理はあるが、集合積∩の公理なし！
　つまり、集合積∩については、他の公理から導く必要がある
２）無限公理 ja.wikipedia にあるように
　「無限集合Iから自然数を抽出する」では、集合積∩を使っていない！
　他の言語 wikipedia 英仏独とも 集合積∩を使っていない
　それで済むならば、わざわざ 集合積∩を使う必要ない
３）もし わざわざ 集合積∩を使いたいならば、ZFC公理系で 集合積∩をZFC上で定義したうえで
　あなたの”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が、下記の 無限公理 ja.wikipedia の
　”無限集合Iから自然数を抽出する”と同様に やれればいいが・・ｗｗｗ
　そのうえで、集合積∩を使う利点を述べよ。利点がないならば、シンプルな方が良いぞ■

<再録> https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/64 より
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
２）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/185
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6
集合の代数学
和集合と共通部分に関する二項関係は、さまざまな恒等式を満足する
結合法則:
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
分配法則:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
5. 和集合の公理

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/119

120: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 16:58:04.27 ID:+A9mxT/6

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
一階述語論理の原始的な記号だけを用いて、この公理を表記すると
略
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
一部の数学者はこのような方法で構築された集合をinductive set（英語: inductive set）と呼ぶ。
自然言語でこの公理を記述すると、「集合𝐈で、𝐈は空集合を要素にもち、任意の𝐈の要素xに対して、x自身とxの各要素を要素とする𝐈の要素yが存在するような集合𝐈が存在する」となる
無限集合Iから自然数を抽出する
無限集合Iはすべての自然数を含んでいるが。自然数全体が集合となることを示すために、分出公理を使って不要な要素を取り除いて、残った集合Nが自然数全体からなる集合である。この集合は外延性の公理により一意である
自然数を抽出するために、どの集合が自然数であるかを定義する必要がある。外延性の公理とaxiom of induction（英語: epsilon-induction）以外の公理を使わずに自然数を定義することが可能である。nが自然数であるとは0であるか何かの後続であり、かつ、nの各要素も0であるかnの要素の後続であることと定める。形式的に書くと
略す
他の方法
以下のような他の方法もある。
Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。つまり
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x)))
とする
おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである。これを形式的に書くと、次のような集合
Wが一意に存在することを示したい。
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)) (*)
存在については、無限公理と分出公理を使って証明する
Iを無限公理によって保証された帰納的集合とする。分出公理を使って集合
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}を取り出す。つまり
WはIの要素のうち、あらゆる帰納的集合に含まれているものを集めてきた集合である。明らかに(*)を満たす
なぜなら、x∈Wと仮定すると、xはすべての帰納的集合に含まれているし、
xがすべての帰納的集合に含まれているとすると、もちろんIにも含まれているから
Wにも含まれている
一意性については、(*)を満たす集合はそれ自体帰納的集合であることに注意する

（なお 機械翻訳コマンドが使える）
英語版 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
仏語版 https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
独語版 https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/120

123: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 17:35:48.61 ID:+A9mxT/6

>>117
ご苦労様です

>一階述語論理

多分 ”一階述語論理”しばりなのが、だれも 実務の数学で
ZFCとか公理的集合論を使わなくなった理由だろう
いまどきの数学は、複雑化しているから ”一階述語論理”しばりでといわれてもね　；ｐ）
書く方も 読む方もたまらんでしょ
例えば、「線形代数」の教科書について
自然言語を封印して
ZFC公理系だけで完璧に書くことを考えてみると
∀と∃のお化けになるだろう

>圏論的論理（categorical logic）は、命題論理や述語論理を圏の言葉で表現する試みであり

一方、圏論は 現代数学で多用されているよね、グロタンディークの時代から
自然言語では 表現できない部分を、圏論がうまく補っている気がする
だから、21世紀の数学では 圏論は、ますます使われるようになるだろうね
参考に下記の資料をば ；ｐ）

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/category.pdf
圏と関手(2012〜)
千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限 (2012〜)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/module.pdf
加群について (2014〜)

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcss/28/1/28_2020.075/_article/-char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcss/28/1/28_2020.075/_pdf
認知科学 2021 Volume 28 Issue 1 Pages 57-69
特集：圏論は認知科学に貢献できるか
圏論的な〈ものの見方・考え方〉入門
西郷 甲矢人

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/123

133: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 22:45:35.37 ID:+A9mxT/6

>>130
>高校生に無限級数は無限回の足し算ですって言ってみな？　鼻で笑われるから

>>96より
(引用開始)
「可算無限個ある箱に任意に実数を入れる」のどこにもひと箱ずつとは書かれていない。書かれていないことが見えるのは病気。
上記「」内は ∀s∈R^N を意味しており、無限操作を考える必要はまったく無い。
(引用終り)

さて>>91-92 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
略.そして箱をみな閉じる.

Sergiu Hart
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates).
P2
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.2 Consider the following two-person game game2: • Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}. • Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi; then he writes down a digit ξ ∈ {0,1,...,9}. • If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi= ξ then Player 1 wins. By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0,1,...,9}, Player 2 can guarantee a win with probability 1/10. However, we have: Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 − ε.

Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.
(引用終り)

要するにだ、”「可算無限個ある箱に任意に実数を入れる」のどこにもひと箱ずつとは書かれていない”
と君は言ったね

で、この可算無限個ある箱の数において
Sergiu Hart 氏は、有理数の10進小数展開の各桁の数を箱に入れて
without using the Axiom of Choice.2 を考えたんだ
つまり、これは 有理数の無限小数展開だよね
で、”infinite decimal expansion 0.x1x2...xn...,”は
極限ではなく 真の無限小数展開を考えているんだよね
真の無限小数展開とは、無限級数であり それは『無限回の足し算です』よ
ひと箱ずつであろうが、全箱に一度であろうが 同じ
まあ、高校生以下の君にはこの理屈は難しいだろう■ｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/133

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.027s