Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (978ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/08/21(木) 22:58:23.37 ID:/FwGOxIP

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop  MFO-RIMS   Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/1

8: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/21(木) 23:03:36.75 ID:/FwGOxIP

つづき
＜厳密だけが、数学ではない＞
＜数学と厳密＞
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである

加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
IUTに欠落しているのは、メンタルピクチャー＆形式化図式か
(参考)
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ。

形式化された理論
メンタルピクチャーの対極にあるのは、形式化（formalize）されコード化された理論（FT）だ。
数学の研究論文における形式的●●●議論は、例えばLean4やCoqなどのコンピューター言語による形式化からすれば、まだまだ「非形式的（informal）」なものだろう。人間のやる数学はまだまだインフォーマルであり、行間が広く、とてもとても形式的議論とは言えない。
とはいえ、ここで「メンタルピクチャー（MP）」の対極にある概念としての「形式化された理論（FT）」は、人間の書いた論文の議論のようなものも含む、広い概念である。そして、数学の厳密化とか精密化とは、このような緩い意味での形式化
(*)　　MP ーーーー形式化ー＞ FT
のことである。

形式化図式と数学の「理解」
形式化図式は数学を「理解する」という行為の内実とも、深く関係している。人間による数学の理論とは、単なるコードの連なりとして理解することではない。それは理論のメンタルピクチャー（MP）と、それと形式的理論との関連付け、すなわち形式化図式を構築することである。メンタルピクチャーだけによる理解は危険であるが、メンタルピクチャーによる裏付け・接地のない理解は不健康である。それは健康でないだけでなく、理解の深さがないという意味でも、完全な理解とは言えない。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/8

9: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/21(木) 23:05:35.28 ID:/FwGOxIP

つづき
＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
3. The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao

謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん(後述)ｗ これでしょうね ；ｐ）
(参考)＜いまリンク切れだが＞
https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=11https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=1
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。

https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9
Henri Poincaré
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Value_of_Science
The Value of Science (French: La Valeur de la Science) is a book by the French mathematician, physicist, and philosopher Henri Poincaré. It was published in 1904. The book deals with questions in the philosophy of science and adds detail to the topics addressed by Poincaré's previous book, Science and Hypothesis (1902).
(google訳)
直感と論理
最後に、ポアンカレは幾何学と解析学 の科学の間に根本的な関係があるという考えを提唱しました。彼によれば、直感には二つの主要な役割があります。科学的真理を探求する上でどの道を進むべきかを選択すること、そして論理的展開を理解することです。
論理は確実性しか与えず、証明の手段である。直感は発明の手段である。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/9

10: １３２人目の素数さん [] 2025/08/21(木) 23:06:20.88 ID:/FwGOxIP

つづき
なお、
おサル＝サイコパス＊）のピエロ、不遇な「一石」、“鳥なき里のコウモリ”そのままで、“シッタカ”ぶり男で、アナーキストのアホ男です。
なお、IUTスレでは、「維新さん」と呼ばれることもあります。（突然“維新〜！”と絶叫したりするからです（＾＾；　）
( ://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png
おサル、あいつは 双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）

＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
://kotowaza-allguide.com/to/torinakisatonokoumori.html#:~:text=%E9%B3%A5%E3%81%AA%E3%81%8D%E9%87%8C%E3%81%AE%E8%9D%99%E8%9D%A0%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%80%81%E3%81%99%E3%81%90%E3%82%8C%E3%81%9F%E8%80%85,%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%81%A8%E3%81%88%E3%80%82
鳥なき里の蝙蝠 故事ことわざ辞典
【読み】 とりなきさとのこうもり
【意味】 鳥なき里の蝙蝠とは、すぐれた者がいないところでは、つまらぬ者が威張っていることのたとえ。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/10

37: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 13:24:22.07 ID:KYsCHIBD

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%9C%B4%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
素朴集合論
形式論理を用いて定義される公理的集合論とは異なり、素朴集合論は非形式的に自然言語で定義される。離散数学で馴染み深い数学的集合の側面（たとえば、 ベン図やブール代数に関する記号の取り扱い）を説明するものであり、現代の数学における集合論の概念を日常的に扱うのに十分なものである[4]。
集合は数学において非常に重要である。現代の形式的な扱いでは、ほとんどの数学的対象（数、関係、関数など）は集合の観点から定義される。素朴集合論は多くの目的に十分であると同時に、より形式的な取り扱いへの足がかりとしても有効である。
方法
「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である。かつ (and)、または (or)、もし〜ならば (if ... then)、〜でない (not)、 ある〜に対して(for some)、すべての〜に対して (for every) は、通常の数学と同様に扱われる。便利であるため、素朴集合論とその形式主義は、集合論自体のより形式的な設定を含め、より高度な数学でも用いられている。
19世紀の終わりに、無限集合の研究の一環としてゲオルク・カントールによって構築され[5]、ゴットロープ・フレーゲが自身の著書 Grundgesetze der Arithmetik で発展させた。
公理的理論
公理的集合論は、どの操作がいつ許可されるかを正確に定めることを目的として、集合を理解するこれらの初期の試みに応えて開発された。
公理的集合論は必ずしも無矛盾というわけではなく、必ずしもパラドックスがないわけではない。ゲーデルの不完全性定理から、十分に複雑な一階述語論理システム（最も一般的な公理的集合論を含む）は、実際には無矛盾だとしても、理論自体の中から無矛盾性を証明できない。ただし、一般的な公理系は一般的に無矛盾と考えられている。これらの公理によって、ラッセルのパラドックスのようないくつかのパラドックスは排除されるためである。ゲーデルの定理に基づくと、これらの理論や一階述語論理の集合論にパラドックスが一切なくても、無矛盾性はわかっていないどころか、わかるものでもない
利用
公理的アプローチと他のアプローチのどちらを選ぶかは、主に利便性の問題である。日常の数学では、公理的集合論を非形式的に使うが最善の選択かもしれない
普遍集合と絶対補集合
特定の状況では、考えているすべての集合を、特定の普遍集合の部分集合と見なすことができる。たとえば、実数 R （および R の部分集合）の性質を調べる場合、 R は普遍集合と見なせる。真の普遍集合は標準集合論には含まれていないが（以下のパラドックスを参照）、一部の非標準集合論には含まれている。

初期の集合論におけるパラドックス
略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/37

38: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 13:24:46.86 ID:KYsCHIBD

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
具体的な自然数は
1:=S(0)={0}={∅}
2:=S(1)={0,1}={∅,{∅}}
3:=S(2)={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}
4:=S(3)={0,1,2,3}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}
のようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[7]。
注釈
3 ^ 任意の部分集合に関する量化を行っているので、これは一階述語論理では形式化できない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6
数理論理学
一階述語論理
形式論理の初期の結果は一階論理の限界を明らかにした。レーヴェンハイム＝スコーレムの定理（1919）は、可算な一階の言語における文の集合が無限モデルを持つならば、それは任意の濃度のモデルを少なくともひとつ持つことを示した。これは一階論理の公理系によって、自然数、実数ほか、いかなる無限構造も同型を除いて特徴づけることができないことを示している。初期の基礎論的研究の目標が数学の全部分の公理的理論を生み出すことであったから、この限界はとりわけ冷徹なものであった。
ゲーデルの完全性定理　(Gödel 1929)　は一階論理の論理的帰結に対する構文論的定義と意味論的定義の同値性を確立した。これは、もしある特定の文が、ある特定の公理の集合を満たすあらゆるモデルで真であるならば、それらの公理からその文への有限な演繹が存在することを示している。

https://www.math.tsukuba.ac.jp/~kota/Ikegami.pdf
Boolean valued higher order logics
池上大祐 東京電機大学 平成27年11月28日

ちょっと寄り道ctd.：順序数・基数無限にもいろいろありまして…。

だいぶ寄り道？ctd..：コンパクト性と巨大基数

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/38

60: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 15:58:28.13 ID:KYsCHIBD

>>39 補足
>フレーゲの論理学は現今の言葉で言えば，2階述語論理である(しかし当時は１階も２階もなかった)

１）下記『二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い』
　が ラッセルのパラドックスなどの問題から
　20世紀前半は、一階述語論理限定が主流だった
２）『近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある』（下記）
３）『ゲーデルの加速定理』（下記）があって
　”n階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在する”
４）圏論で、高階の論理が使えれば 数学的加速ができる
　そういうことですね（たぶん）　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い
二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる

歴史と論争
フレーゲは量化の種によって異なる変項を使っていたが、彼には2種類の異なる論理を扱っているという認識はなかった。ラッセルのパラドックスによって、その体系に問題があることが明らかとなった。論理学者らは問題を解決すべく、フレーゲの論理に制限を加える各種方法を検討し、それが一階述語論理となった。一階述語論理では、集合や属性は量化できないことになった。このような論理の階層化がこのころ初めてなされるようになった
一階述語論理を使うと、集合論を公理的体系として形式化できることがわかり（完全性の問題はあるが、ラッセルのパラドックスほど悪いことではない）、公理的集合論が生まれ、集合は数学の基盤となった。算術、メレオロジー、その他の様々な論理的理論が一階述語論理の範囲内で公理的に定式化でき、ゲーデルやスコーレムが一階述語論理に固執したこともあって、二階や高階の述語論理はほとんど省みられなかった
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した
計算複雑性理論への応用
有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理は、クルト・ゲーデルにより証明された、数理論理学における定理である
それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである

https://fuchino.ddo.jp/papers/speedup-th-ex.pdf
科学基礎論研究 2018
数学と集合論—ゲーデルの加速定理の視点からの考察 —渕野 昌

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/60

80: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 22:15:12.23 ID:KYsCHIBD

>>70
これは これは ヒキコモリ数学者の 基礎論研究くんか？
お元気そうでなによりだ
まあ、がんばれよ

>>71-75
こっちは、数学科オチコボレさんのおサルさんかい？（>>10 ）

>>36-37 に書いたが
21世紀の集合論に２種あり。
自然言語主体の素朴集合論と、形式論理の公理的集合論
さらには、一般の数学は 普通の数学論文やテキストは、自然言語が主で
さらに うまく 圏論や素朴集合論や、公理的集合論のいいとこ取りを組み合わせて
書かれているのが ふつう

AI時代は、形式論理の公理的集合論の部分には コンピューター処理が入ってくるだろう
（現在でも、コンピューターによる自動証明が研究されているし、MathematicaもAI化されている）

人間の数学は、これらのコンピューター処理の援用を前提として
数学研究を考えた方がいいだろう

実際、IUTでも フェルマー最終定理の別証明は 理論的に定数nで ある数以上は
フェルマー最終定理の整数解が存在しないことを示して、nが小さいところを
コンピューター処理で潰している
周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化も同様

あたかも、円周率πの小数展開において
シャンクス 手計算で 小数点以下第527位まで正しい計算をしたが
いま、コンピュータの利用で 300兆桁に到達しているごとし

おサルさん、君でも数学研究ができるかもよｗ　；ｐ）

(参考)
https://www.wolfram.com/artificial-intelligence/index.php.ja?source=footer
Wolfram流
ハイブリッドAI：生成AIを超える
Wolframの配備でAIを強化する
すぐに使える計算AI製品
Wolfram|Alphaは2009年から信頼できるAIの開発をリードしてきました．事実データに支えられた緻密な計算を使って，多様なトピックについて専門家レベルの答を解析し可視化します．WebサイトまたはAPIから直接アクセスできます．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
数論の結果
2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した。[79][80] [81]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
円周率
1873年、ウィリアム・シャンクスは彼自身の手で小数点以下第707位までを計算した（ただしその結果は途中で生じた誤りにより小数点以下第527位までしか正しくなかった）
コンピュータの利用
2025年4月2日に、Linus Media Groupは円周率300兆桁を7ヶ月半掛けて計算した[35][36]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/80

91: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 23:44:05.04 ID:KYsCHIBD

>>37 補足
(引用開始)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%9C%B4%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
素朴集合論
形式論理を用いて定義される公理的集合論とは異なり、素朴集合論は非形式的に自然言語で定義される
方法
「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である
(引用終り)

さて
１）”「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である”
　日常の殆どの数学の場面が、自然言語を使用して 述べられる
２）”操作”という用語自身さえ、公理的集合論の正規の用語ではない
　なぜならば、”操作”を 公理的集合論内に取り入れるには、用語”操作”を定義する必要がある
　さらに その定義に使った用語を また 定義する必要が出てくる
　だから、不必要な用語は、公理の外が良い
３）さて、日常の数学では 無限集合を扱う場合に 自然言語で 無限操作を考えることはよくある
　例えば、下記の「箱入り無数目」”可算無限個ある箱に 実数を入れる”など
　無限集合を 自然言語で扱う以上、無限操作を考えることは当然ありだ （極限？ およびじゃない）
　下記 Sergiu Hart氏も Let X = R^N countable infinite sequences of real numbers としている
　また 区間[0,1]の有理数の”infinite decimal expansion 0.x1x2...xn...,”を考える
　無限小数だね （極限？ およびじゃない）

要するに、日常の数学では 無限集合を扱う場合に 自然言語で 無限操作を考えることはよくあるってことよｗ　；ｐ）

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/1-5
(参考)時枝記事
https://imgur.com/a/8bqlb08 (リンク切れてしまったが そのうちにｗ)
数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401-406 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
略.そして箱をみな閉じる.

(参考)
http://www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
http://www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/91

119: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 16:57:37.03 ID:+A9mxT/6

>>95
>N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
>が読めずに発狂してたじゃん

あたま固そう
それ下記 ja.wikipedia ペアノの公理 ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
だね(未確認飛行 C さんもついでに引用しておく)

さて、ZFC公理として 自然数の集合Nを公理的に構築する立場から批判する
１）素朴集合論では、下記「集合の代数学」ja.wikipedia にあるように
　集合積∩は、基本的な集合演算だが
　下記 ツェルメロ＝フレンケル集合論では、和集合の公理はあるが、集合積∩の公理なし！
　つまり、集合積∩については、他の公理から導く必要がある
２）無限公理 ja.wikipedia にあるように
　「無限集合Iから自然数を抽出する」では、集合積∩を使っていない！
　他の言語 wikipedia 英仏独とも 集合積∩を使っていない
　それで済むならば、わざわざ 集合積∩を使う必要ない
３）もし わざわざ 集合積∩を使いたいならば、ZFC公理系で 集合積∩をZFC上で定義したうえで
　あなたの”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が、下記の 無限公理 ja.wikipedia の
　”無限集合Iから自然数を抽出する”と同様に やれればいいが・・ｗｗｗ
　そのうえで、集合積∩を使う利点を述べよ。利点がないならば、シンプルな方が良いぞ■

<再録> https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/64 より
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
２）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/185
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6
集合の代数学
和集合と共通部分に関する二項関係は、さまざまな恒等式を満足する
結合法則:
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
分配法則:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
5. 和集合の公理

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/119

123: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 17:35:48.61 ID:+A9mxT/6

>>117
ご苦労様です

>一階述語論理

多分 ”一階述語論理”しばりなのが、だれも 実務の数学で
ZFCとか公理的集合論を使わなくなった理由だろう
いまどきの数学は、複雑化しているから ”一階述語論理”しばりでといわれてもね　；ｐ）
書く方も 読む方もたまらんでしょ
例えば、「線形代数」の教科書について
自然言語を封印して
ZFC公理系だけで完璧に書くことを考えてみると
∀と∃のお化けになるだろう

>圏論的論理（categorical logic）は、命題論理や述語論理を圏の言葉で表現する試みであり

一方、圏論は 現代数学で多用されているよね、グロタンディークの時代から
自然言語では 表現できない部分を、圏論がうまく補っている気がする
だから、21世紀の数学では 圏論は、ますます使われるようになるだろうね
参考に下記の資料をば ；ｐ）

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/category.pdf
圏と関手(2012〜)
千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限 (2012〜)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/module.pdf
加群について (2014〜)

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcss/28/1/28_2020.075/_article/-char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcss/28/1/28_2020.075/_pdf
認知科学 2021 Volume 28 Issue 1 Pages 57-69
特集：圏論は認知科学に貢献できるか
圏論的な〈ものの見方・考え方〉入門
西郷 甲矢人

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/123

191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 17:30:19.46 ID:NbOUr+U1

>>168
>＞無限集合は認めるが、操作は有限に限るとね
>カントールは、無限集合を「要素を空集合から１つずつ加える操作を無限回実行したもの」と定義していない

ふっふ、ほっほ
下記の 「＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義 出⼝, 康夫. 哲学論叢. 2002」
で、有限 or 無限操作に関する記述があったので、少し引用しよう
君たち二人の主張は、哲学的には 構成主義？ｗ
だが、21世紀数学は 実無限を認める人多数だろうさ  ；ｐ）

>>165より再録
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/server/api/core/bitstreams/dbd723b2-e40f-4649-bce6-e1467e10cd64/content
＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義
出⼝, 康夫. 哲学論叢. 2002, 29: 81-104.
P83
2.2 「構成」とは何か 古典主義と構成主義の違いを理解するための第二の準備作業として、次に構成主義の名の由来ともなっている「構成(construction)」とは何かを大まかに見ておこう。 現代数学おいて、構成とは、一般的に言って、アルゴリズムに従った一連の操作であると理解されている。(9) 「アルゴリズムに従った操作」については、それを帰納性(recursiveness)と同一視する「チャーチのテーゼ」による数学的な定義が今日広く受け入れられている。しかし、ここでは以下の非形式的な特徴づけで十分であろう。
即ち、それは、離散的なステップを一つ一つ踏み、予め決められていた規則に従って、つまり決定論的に遂行される、有限回の一連の操作である。(10)
例えば超越数 ? n = 1〜∞ 10^− n !は、
このような意味で、リューヴィルによって「構成」された対象であると言えるが、それには若干の解説を要する。
というのも、この超越数の代数的表現に無限和という無限回操作が含まれている以上、その数を有限回の操作で構成することが一見して不可能であるように思えるからである。
しかし、その超越数を求める操作は、n「各々のnに対して? n =1〜n 10^ − n !を求めよ」という有限個のステップからなる計算規則を、無限回適用したものである。
このことは、この有限回ステップとしての規則を定めるだけで、それを無限回繰り返したら得られる極限値として、上の超越数を一意的に特定することが可能であることを意味する。ここで、極限値としての超越数と、それを特定する有限回の操作規則を同一視するという概念操作が施される。このような概念操作によって始めて、超越数の有限回操作による構成可能性が確保されるのである。(11)
有限回操作の規則と、その無限回繰り返しによって得られる極限値とを同一視するという構成主義の方針を踏まえれば、それが実無限としての可算無限や、非可算無限の導入に反対する理由も明らかとなる。
構成主義が受け入れる「無限」とは、結局、「無限回繰り返し可能な有限回操作」に他ならない。
他方、実無限は「その無限回繰り返しが完了した」ことまでも意味する。
また非可算無限に対しては、無限回の繰り返しによってそれを生み出す有限回操作自体が設定できないのである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/191

201: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 18:31:40.61 ID:NbOUr+U1

>>192-198
ふっふ、ほっほ
　>>191の「＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義 出⼝, 康夫. 哲学論叢. 2002」
日本の1980年代の大学数学教育は 有限主義的な教え方が主だったろう
だが、その後 ”超準解析”が広まっていった
21世紀では、スコーレム流の有限主義は 古いと思うねｗ　；ｐ）
加藤文元氏 メンタルピクチャーや  Terence Taoの“big picture”としても イマイチだろう（時代おくれ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
微分積分学の歴史（英語版）は、流率法（英語版）あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析（英: nonstandard analysis）[1][2][3]は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった[4][5]。無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある。
教育的
ハワード・ジェローム・キースラー、デイビット・トールやその他の教育者らは、無限小の使用は学生達にとって"イプシロン-デルタ"アプローチよりもより直感的かつ容易に解析学的概念を把握することができるものである、と主張する[12]。

（>>8-9より再録）
加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
IUTに欠落しているのは、メンタルピクチャー＆形式化図式か
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/201

231: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 11:04:05.22 ID:nzEtO0b1

>>225-230
(引用開始)
ごもっとも
１つずつ付け加える、というからには最後の操作がある、と考える
最後の操作がなくて完了した、とする場合、
１つずつ付け加えたのではない、ということになる

無限公理は当然独断だから飛躍である
別の公理から証明される定理ではない
そのような公理を設定することが
無限回の操作の完了を認めるに等しい
というのだろうがそれはただの妄想である
(引用終り)

やれやれ、「加藤文元氏 メンタルピクチャーや  Terence Taoの“big picture”」>>201
が幼いな。君たちは勉強不足
それじゃ、21世紀の現代数学は無理ｗ　；ｐ）

ここは、中高一貫生も来る可能性があるので、赤ペン先生をしておく
１）まず、カントールが 無限を測る尺度を二つ導入したことを思い出そう（下記）
　一つは濃度で、もう一つが順序数だ
　そして、フォンノイマン基数割り当てで、無限基数は極限順序数であり
　極限順序数は、「後続順序数でない順序数」である。１つずつ付け加えるという順序数の操作では 到達できないのは当然（集合論の常識）
　だが、無限公理を認めれば、極限順序数は存在し 即ち無限基数（アレフ ℵ0、ω など）も存在するのだ
２）さて、これを踏まえて 無限操作をどう考えるか？
　無限操作で ”最後の操作”とか考えるのは、おろかだよ。アレフ ℵ0、ω は、「後続順序数でない順序数」なのだから

この二人は、1980年代でオチコボレさんになった
勉強不足だよねｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
集合論において、濃度（英: cardinality カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである[1]。
集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された[2][3]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
集合論において、順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数（英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/231

244: １３２人目の素数さん [] 2025/08/26(火) 12:53:32.65 ID:nzEtO0b1

>>146
>無限回の行為が行えるならゼノンのパラドックスはそもそもパラドックスたりえない

下記 『小亀淳，”「ゼノンの逆理」は逆理か？“ 2010年3月10日』 NAIS Journal
が面白い

(参考)
https://nais.or.jp/en/journal/
NAIS
Nippon Applied Informatics Society
Journal
NAIS Journal vol. 5 2010年3月10日
https://nais.or.jp/wp-content/uploads/2014/11/Vol5_016-030.pdf
小亀淳，”「ゼノンの逆理」は逆理か？“ 2010年3月10日
１．はじめに
結論を言えば，ゼノンの議論は，それ自身の中に自己矛盾を内蔵する，誤った命題の表明にすぎないことが判明する。ゼノンが批判の対象とする「通常説（事象の観測のままのわれわれの理解）」に立ち向かえるような論理ではない。つまり，正常な意味での「逆説・逆理」の主張ではあり得ない。　2000年以上の長きにわたって，「逆説」でないものを「逆説」としてしか捉えず，それを真っ向から解こうとしたところで，不毛に終わるのは，むしろ当然というか，自然な結果である。

ゼノンの逆説を，文字通り逆説・逆理として捉え，あれこれ考えられたこと・考えられ続けてきたことが無意味だというのではない。その逆である。それらの思索の中から，有益な多くの成果が生みだされた。何より，共通のテーマとして，各分野の立場から論じ合う場を提供すること自体，大変有益である。ただ，「逆説」として問題自体が正しく解決されることはないと言うだけのことである。事実，解決されないからこそ，さらに考察が深められ，あまたの考えが模索され続けている。先に，「逆説」の解明が「束ねた葦で西瓜をたたくようなもの」と評価したが，それは，ありもしない逆説を「逆説」として解こうとする道具にするからで，束ねられた一本一本の葦は，「逆説」を解こうとする努力によって，はじめて生み出された価値ある成果であることも，大いにあり得る。もしかすると，ゼノンは，一見逆理のように見えるかもしれない表現を考案し，運動や時間，無限や連続などの不確かな概念の，さらなる熟考と掘り下げの必要性に目覚めさせることを目論んだのではないか，とさえ思えるほどである。

２．概念のイメージ化

https://www.accumu.jp/author/ka_gyo/%E5%B0%8F%E4%BA%80%20%E6%B7%B3.html
小亀 淳
Jun Kokame
東京大学名誉教授
理学博士
1947年京都大学理学部物理学科卒業
京都大学科学研究所研究員，京都大学助手（化学研究所），東京大学助教授（原子核研究所），東京大学教授（同），国士舘大学教授（情報科学センター）を歴任
元・京都コンピュータ学院情報システム開発研究所所長
上記の肩書・経歴等はアキューム18号発刊当時のものです。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/244

250: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 13:32:38.46 ID:nzEtO0b1

>>246
(引用開始)
>結論を言えば，ゼノンの議論は，それ自身の中に自己矛盾を内蔵する，誤った命題の表明にすぎないことが判明する
何がどう判明したのか、もちろん君は分かって引用したんだよね？　じゃあ説明してみて
(引用終り)

いやね
複雑で難しい対象は、多面的な角度や切り口で眺めろというのが
私の 人生哲学というか 手法でね
会社上司の東北大出身の部長から 教わった
なるほどと思ったよ

小亀 淳さんの切り口が これね
次が、中村 亮一さんの切り口ね

(参考)
https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=71452?site=nli
ニッセイ基礎研究所
2022年06月17日
無限について−無限に関するパラドックス（１）−
中村 亮一
ゼノンのパラドックス−アキレスと亀

ゼノンのパラドックス−飛んでいる矢は止まっている

二分法のパラドックス

（参考）実無限と可能無限
数学の世界では、基本的には「実無限」の考え方に基づいて論理が展開されているので、今回を含めて、今後の無限に関する研究員の眼のシリーズでは、基本的には「実無限」の考え方をベースに記述していくことにする。

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巨大数について（その２）−ハイパー演算、各種の表記法等−
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無理数について（その２）−無理数の（有理数や無理数）べき乗や無理数度等−
無理数について（その３）−無理数はどのようなところに現れてくるのか−

https://www.biz-book.jp/%E4%B8%AD%E6%9D%91%20%E4%BA%AE%E4%B8%80/author/5167
中村 亮一（なかむら りょういち）
プロフィール
ニッセイ基礎研究所 研究理事 日本アクチュアリー会正会員、日本保険学会会員 東京大学大学院数理科学研究科非常勤講師（2012 〜 2019 年）、同志社大学大学院商学研究科非常勤講師（2007 〜 2010 年）、企業会計基準委員会（ASBJ）委員（2007 〜 2009 年）、国際アクチュアリー会（IAA）保険監督委員会委員（2000 〜 2003 年）、国際実務基準委員会委員（2012 〜 2014年） 　1982 年　東京大学理学部数学科卒業、日本生命保険相互会社入社 　2007 年　日本生命保険相互会社 保険計理人 　2015 年　ニッセイ基礎研究所 取締役研究理事 　2016 年　同 取締役研究理事兼年金総合リサーチセンター長 　2018 年　同 常務取締役研究理事兼ヘルスケアリサーチセンター長 　2021年〜　現職

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/250

306: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 21:00:55.16 ID:dSyweoWi

>>304
>君、頭大丈夫？
>添え字集合が有限だろうと可算無限だろうと非可算無限だろうと、無限操作なるものが存在するなんの証拠にもなってないことが分からないの？

ふっふ、ほっほ
１）まず、下記の公理的集合論 集合の公理系 において
　その集合に対する操作は、無限有限の区別なし！
　無限集合を扱うのだから、その公理も 無限を扱えるように設定されているのだよｗ　；ｐ）
２）君は、『加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
　Terence Tao “big picture”』が欠落している
３）つまり、日常の数学の下に素朴集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階が素朴集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階の素朴集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば
　その日常の数学の無限操作は許されるのだよ■　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
集合の公理系
ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）
・対の公理　任意の要素 x, y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する：
∀x∀y∃A∀t(t∈A↔(t=x∨t=y)) 。
外延性の公理から、x と y に対して対の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを {x,y}で表す。
{x,x} を {x}で表す。これにより順序対の存在が言え、それにより直積集合の存在も言える。
・和集合の公理　任意の集合 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する：
∀X∃A∀t(t∈A↔∃x∈X(t∈x)) 。
外延性の公理から、X に対して和集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の和集合と呼び、∪Xで表す。
∪{x,y} を x∪y で表す。
・冪集合公理　任意の集合 X に対して X の部分集合全体の集合が存在する：
∀X∃A∀t(t∈A↔t⊆X) 。
外延性の公理から、X に対して冪集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の冪集合と呼び、
P(X)または2^xで表す。
・置換公理　"関数クラス"による集合の像は集合である：
∀x∀y∀z((ψ(x,y)∧ψ(x,z))→y=z)→∀X∃A∀y(y∈A↔∃x∈Xψ(x,y)) 。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。

>>8-9より 再録
加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
Terence Tao “big picture”
(参考)
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/306

313: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 23:37:37.09 ID:dSyweoWi

>>308-312

村田 全先生
「ベールの有限主義は論理的には強固であっても，実際にはかえってやっかい厄介になり，しかも自然数の自然列は誰もが同じ心像をもつ（らしい）のでこれを認めるが・・・」
と記す
まあ、他人が”有限主義”であっても、どうしようもない
個人の自由ですからね
？ 数学科生だって？ そりゃ 君 ”有限主義”やってれば 数学科ではオチコボレは必定だよｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%91%E7%94%B0%E5%85%A8
村田 全（むらた たもつ、1924年3月11日 - 2008年7月6日）は、日本の数学史学者・数理哲学者、立教大学名誉教授
著書
『数学と哲学との間』 玉川大学出版部、1998
http://www.cam.hi-ho.ne.jp/munehiro/science/scilib.html
科学図書館
村田　全の部屋
http://www.cam.hi-ho.ne.jp/munehiro/science/Murata/France-keiken.pdf
『数学と哲学との間』所収。フランスの数学者、ボレル、ベール、ルベーグたちのヒルベルトの公理主義のアンチテーゼとしての経験主義を解明する。
フランス経験主義の数学思想 村田　全
付録1　
ゲーデルの決定不能定理
付録2　
帰納的関数と帰納的述語
この論文の原型「数学におけるフランス経験主義」は『科学基礎論研究』（第巻，）に書かれたものだが，
「ボレルのエフェクチブ概念の形成1)」の補足として収録した。
単独で読まれることを考慮した余り「ボレルのエフェクチブ概念の形成」との重複が残ったのは遺憾だが，
多少でも現代的意味があるように大幅な削除と加筆をした。
挿入部分【補注】と章末の【補説】がそれである。
今から見ると，私はボレルたちの数学の本当の内容を離れて「思想」ばかりにこだわり，かえってその数学の本質を失した面もあったかと思うが，【補説】で少しは補ったつもりである。

P4
ボレルは色々な試論のあげく揚句，自然数全体は認め，もう一つの全体は認めぬと言う結論に達するのであるが，その根拠は必ずしも論理的なものでなく，プラグマティックないし心理的なものである。ここにはボアンカレの影響もあったであろう。即ち「ベールの有限主義は論理的には強固であっても，実際にはかえってやっかい厄介になり，しかも自然数の自然列は誰もが同じ心像をもつ（らしい）のでこれを認めるが・・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/313

315: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 23:53:10.75 ID:dSyweoWi

>>306
さて
１）昔学部の1〜2年で”リーマン球面と無限遠点”の話を聞いて、えらく感心したのを覚えている
　実関数y=1/x を考えると 原点x＝0 に負側から近づくと-∞で、正の方からなら+∞に発散するところ
　複素平面を球面にして、複素関数y=1/x で x→∞ だと y→∞（プラスやマイナス関係ないのでビツクリ）
２）いまリーマン球面にアキレスが居るとして 原点0 から出発して 実軸上をどんどん＋側に進むと北極点に到達する
　アキレスの足をもってすれば、これは簡単だ
３）ところが、複素平面のままなら そうはいかない。アキレスの足でも無限遠点に到達するのはタイヘンなのです

これは、たとえ話
無限だのへったくれだの言うが、リーマン球面か複素平面かで考え方が大きく変わるのだ
リーマン えらい！！（＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2663
高校数学の美しい物語
リーマン球面と無限遠点 2022/07/21
リーマン球面とは，複素平面 C に無限遠点 ∞ を追加したものである
リーマン球面を C^  などと書く
リーマン球面とは，複素数に一点を追加することでより便利に複素数を扱えるようにした集合です。
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto/shikakutimes/s3/bend-image/1657605343.png
位相空間論からの話題：一点コンパクト化
リーマン球面の考え方は一点コンパクト化というトピックに関連します
有界な閉集合はコンパクト集合です
複素平面全体は無限に広がっているため，コンパクトではありません
既に見た通り，リーマン球面は三次元単位球面と見なすことができます。三次元単位球面は，有界で閉なのでコンパクト集合となります。
コンパクトではない複素平面に無限遠点を追加することでコンパクト集合が得られるのです
このようにコンパクトではない集合に一点を追加してコンパクト集合を得ることを一点コンパクト化といいます。無限に広がるものに一点追加することで有限のものとして解釈できることは非常に興味深いことです
実積分を複素積分から見たほうが簡単に計算できるように，複素数も一段階広いリーマン球面から見つめることでシンプルに見えてくることが多いです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
一点コンパクト化の例
・自然数全体（離散位相）
N の一点コンパクト化は
N に最大元 ω を付け加えた順序集合
N∪{ω} の順序位相と同相になる
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Riemann_sphere1.jpg/500px-Riemann_sphere1.jpg
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/315

422: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 20:44:49.99 ID:6Zc3kOJS

>>420
>そして線形空間の基底とは、線形空間のいかなる元も、それに属する元の有限個の線形結合で表せるもの
>素人は「有限個」を見落として無限和を考えるが、代数的には無限和は定義されないので不可
>形式的べき級数は無限和なので、各次数の項だけでは基底にならない

傍観者さん、ありがとうござんす
スレ主です
補足で下記をば
”ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）”
では、『基底ベクトルの無限線型結合までを許す』場合があるってことですね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
基底（英: basis）は線型空間の線型独立な生成系である[1]。
基底の取り方に依らない、基底ベクトルの個数（濃度）は次元と呼ばれる。基底が常に存在することは基底の存在定理で証明される。

定義
体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う[1]
略
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
略
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述

（後述から下記へ飛ぶ）
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメル（英語版）に由来[6]）や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）およびマルクシェヴィチ基底（英語版）が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/422

442: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/28(木) 11:10:15.93 ID:BOT/TM68

>>438-441
ご苦労様です

>無限線型結合なるものを認めるのは線形位相空間
>形式級数は実は和をとってない
>自然数から各項の係数への写像があればいい
>写像の値同士を足すことで、級数同士の和が定義できる

さて (参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間、線型空間（英: linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である
導入
ベクトル空間の概念について、特定の二つの場合を例にとって簡単に内容を説明する
平面上の有向線分
略
数の順序対
略
定義
集合 V が、その上の二項演算 + と、体 F の V への作用 ◦ をもち、これらが任意の u, v, w ∈ V; a, b ∈ F[nb 1]に関して次の公理系を満たすとき、三組 (V, +, ◦) は「体 F 上のベクトル空間」と定義される[1][2]。
公理： 加法の結合律、可換律、逆元の存在・・
歴史
ベクトル空間の重要な発展がアンリ・ルベーグによる函数空間の構成によって起こり、後の1920年ごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式化された。その当時、代数学と新しい研究分野であった関数解析学とが相互に影響し始め、 p-乗可積分函数の空間 Lp やヒルベルト空間などの重要な概念が生み出されることとなる。そうして無限次元の場合をも含むベクトル空間の概念は堅く確立されたものとなり、多くの数学分野において用いられ始めた
(引用終り)

「形式級数は実は和をとってない
　自然数から各項の係数への写像があればいい」
という メンタルピクチャー（加藤文元>>8）を否定はしない
複雑な対象は、多面的な切り口で見るべしが、私の流儀だから

だが、形式的冪級数環>>429は 上記のja.wikipedia ベクトル空間の公理を満たすよ
だから、形式的冪級数環は ベクトル空間の一種であり
収束を考えないのが 形式的冪級数の根本なのだから
素朴かつ単純に無限和と考えても 収束を考えない以上 矛盾は生じない

>有理数の無限列Q^Nにおけるコーシー列の全体は部分線形空間をなす

余談だが、Formal power series 下記 "形式的な冪級数を関数として解釈する"
がある
f(x)= Σ n >= 0 a_n*x^n ＝a0 + a1 x +a2 x^2 +a3 x^3 +・・・
で 10進小数展開を考える。 x=1/10 として  a1 ,a2,a3,・・が 0〜9の整数で
和や積では 各項の演算は 通常算術の通り繰り上がり 繰り下がりを導入して
a0は 任意整数とする
これで 形式的な冪級数を使った 無限10進少数展開を考えることができる
これが 従来のコーシー列の収束による実数の定義と一致することは  賢い人は少し考えれば分かるだろう
（私は 賢くないので略しますｗ ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
(google訳)
形式冪級数
形式的な冪級数を関数として解釈する
数学解析において、すべての収束する冪級数は、実数または複素数の値を持つ関数を定義します。特定の特殊環上の形式的な冪級数も関数として解釈できますが、定義域と余域には注意が必要です
f(x)= Σ n >= 0 a_n*x^n (nは自然数全体を渡る)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/442

468: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/29(金) 07:43:37.26 ID:QS2EkFr7

>>442 追加
>10進小数展開を考える。 x=1/10 として a1 ,a2,a3,・・が 0〜9の整数で
>和や積では 各項の演算は 通常算術の通り繰り上がり 繰り下がりを導入して
>a0は 任意整数とする
>これで 形式的な冪級数を使った 無限10進少数展開を考えることができる
>これが 従来のコーシー列の収束による実数の定義と一致することは 賢い人は少し考えれば分かるだろう

下記、”形式的冪級数環R[[x]]は、多項式環R[X]の（x）進完備化として見ることができる”
に関連して
有理数環Q(実は体)を係数とする多項式Q[X]で 上記同様に
”x=1/10 として a1 ,a2,a3,・・が 0〜9の整数で
和や積では 各項の演算は 通常算術の通り繰り上がり 繰り下がりを導入して
a0は 任意整数とする”ことで
有限小数環（これをUとする）ができる
有理数Qを完備化すると、実数Rを得ると同様に
有限小数環Uを完備化すると、R[X]→R[[x]]同様に 実数Rを得る■

形式的冪級数環R[[x]]を、どうメンタルピクチャー（>>8 加藤文元）として とらえるか？
それは各人自由だが
『形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和』（下記）
と考えるのも ”あり”だろう

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
（google訳）
形式冪級数
形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和であり、級数に対する通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算、部分和など）で操作することができます。
A formal power series with coefficients in a ring R is called a formal power series over R.
The formal power series over a ring R form a ring, commonly denoted by R[[x]].
(It can be seen as the (x)-adic completion of the polynomial ring
R[x], in the same way as the p-adic integers are the p-adic completion of the ring of the integers.)
環R上の係数を持つ形式的な冪級数Rは、R環上の形式的冪級数環を形成する。
環R上の形式的冪級数は、一般的にはR[[×]]と書かれる。
（これは多項式環R[×]の（x）進完備化として見ることができる、p進整数が整数環のp進完備化であるのと同じです）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/468

483: １３２人目の素数さん [] 2025/08/29(金) 23:10:01.20 ID:QS2EkFr7

追加
川崎徹郎
”集合の議論では無限個のものの合併や共通部分が、
極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる。
無限個の集合の合併や共通部分を、
有限個の集合の合併や共通部分の極限として扱うことは無理があり、
正しくない結論を導くことがある。”

https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/
川崎研究室文庫
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/html-16isou-nyuumon-enshuu.html
位相入門テキスト(演習問題)
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/16isou-nyuumon-text.pdf
位相入門 川崎徹郎2016

P11
集合の議論では無限個のものの合併や共通部分が、
極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる。
無限個の集合の合併や共通部分を、
有限個の集合の合併や共通部分の極限として扱うことは無理があり、
正しくない結論を導くことがある。

1.5 集合族
集合族に対してもそれらの共通部分、合併集合が定義できる。

P26
3 距離空間の開集合、閉集合

P40
5 連続写像
写像または関数の連続性を厳密に定義し、それを用いて厳密な証明を組み立てることは、なかなか難しいことであった。
高校数学では、「限りなく近づくとき」という言葉を用いて表現された。
すなわち、yがxに限りなく近づくとき、f(y)がf(x)に限りなく近づくならば、関数f は連続である、と定義したのである。
この定義は十分に厳密なのであるが、大規模な一般論を展開するには不便である。
たとえば、連続関数の極限が連続関数になるための条件、一様収束性を、このような論法で述べるのは困難であろう。
そこで登場するのが、いわゆる、ε-δ論法である。
略

P42
定理5.13
2つの距離空間[X,dX],[Y,dY]の間の写像f : X →Y に関する条件(A)〜(D) はすべて同値である。
(A) f は連続である。
(B) U をY の開集合とすると、f^−1(U)はXの開集合である。
(C) F を Y の閉集合とすると、f^−1(F)はX の閉集合である。
(D) X の任意の部分集合Aに対して、f(A^-)⊂f(A)^-である。

https://researchmap.jp/read0049674
川崎 徹郎
カワサキ テツロウ  (Tetsuro Kawasaki)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/483

500: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 09:56:01.82 ID:jE3Cs7nW

>>119 戻る
(引用開始)
１）
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
２）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
(引用終り)

この ペアノの公理らにおいて 自然数で 集合積∩を使う点を >>485 位相入門 川崎徹郎2016 の立場から批判する
まず 下記無限公理の”無限集合Iから自然数を抽出する”において
『おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである』
とあって、”無限公理と分出公理を使って証明”している
この場合は、無限集合Iの具体的な性質として ”Iは 帰納的な(無限集合N(自然数))集合を含む”
という無限公理から N(自然数)を 分出公理を取り出している

で、上記 集合積∩を使う問題点を >>485 位相入門 川崎徹郎2016 の立場からは
集合積∩を使うには、集合の無限列が必要なのだ
いま、下記無限公理に規定された無限集合として 非可算の集合I（つまり上記ペアノの公理ではA）
を取ると、この集合積∩を使う集合の無限列は、非可算の長さの列になるだろう

つまり、ZFC公理系のごく最初の部分で さあ いまから最初の可算集合N(自然数)を定義しようとするにあたって
非可算の集合積∩を使うのは、いかにも大袈裟でまずいってことだ
分出公理で簡単に済む話に わざわざ 集合積∩ね
繰り返すが 『おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたい』
なのだが それに とらわれて集合積∩を使うのは まずい■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/500

518: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 16:13:03.47 ID:jE3Cs7nW

>>515
(引用開始)
p10
M1, M2, . . . を集合の列とする。
すなわち，各 i ∈ N に対して，集合 Mi が定まっているものとする。
そのときすべての Mi の共通集合が
∩(i=1〜∞)Mi = {m | ∀i∈N.m ∈ Mi（すべての i に対して m ∈ Mi）}
によって定義される。
同様に，すべての Mi の合併集合は
∪(i=1〜∞)Mi = {m | ∃i∈N.m ∈ Mi（ある i に対して m ∈ Mi）}
により定義される。　
∩(i=1〜∞)Mi の代わりに∩(n∈N)Mn または，単に ∩(n)Mnもよく用いられる。
これに似た記号は有限個の集合の列の共通集合，合併集合に対しても使われる。
(引用終り)

ご高説は賜った
では、上記 その川崎徹郎氏の ”∩(i=1〜∞)Mi = {m | ∀i∈N.m ∈ Mi（すべての i に対して m ∈ Mi）}”
を適用して、下記

>>500 より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である
(引用終り)

ここで、「Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである」として
１）Aが 可算無限集合の場合（そのような集合を一つ選べ）
２）Aが アレフ・ワン 非可算無限集合の場合（そのような集合を一つ選べ）
この二つの場合について
「N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}」
の証明を書け！！ｗｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数
アレフ数（アレフすう、英: aleph number）は無限集合の濃度（あるいは大きさ）を表現するために使われる順序数のクラスである。
アレフ・ワン
→「最小の非可算順序数」も参照
ℵ1 はすべての可算順序数からなる集合の濃度で、ω1 あるいは（ときに）Ω と呼ばれる。この ω1 はそれ自身順序数でありすべての可算順序数より大きく、したがって不可算集合である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/518

539: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 20:48:08.86 ID:jE3Cs7nW

>>531 補足
　>>518 より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である
(引用終り)

補足するよ
下記の 順序数 での 無限集合部分を使う
名前を付ける
S0=ω,
S1=S(ω),
S2= S(S(ω)),
S3=S(S(S(ω))),
　・
　・
Sn=S(Sn-1),
ここで、Peano axioms en.wikipedia 訳で ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
に注目しよう。これは、無限順序数でも成り立つ
いま、S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
そこで、上記”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”において
A=S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} としよう
すると ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が Aにおける 無限集合の積と解釈できるとして（要証明事項）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}＝ω∩S(ω)∩S(S(ω)) と書ける
ここで、ω∩S(ω)∩S(S(ω))＝ω は簡単に分ること

同様のことが、任意nのSnで言えるだろう(数学的帰納法でも使えば)
さて、問題は順序数 での 無限集合という素性の知れた集合だから簡単に言えることだが

無限公理の主張に戻ると、無限公理は 有限の帰納的に生成される集合全てを含む なにか無限集合Iの存在を主張するものである
無限集合Iで分っていることは、”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”だけ
だから、素直に 無限集合Iから ”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”を取り出す式を書けば良いだけと 単純に考えることができる

集合積∩を使う問題点は、上記のように 無限集合Iの大きさと具体的な構成に依存して
式 ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が変わってしまうこと
（なお、無限集合Iは、順序数に限定されない）

結論として、”ωが最小の無限集合で、全ての無限集合の共通部分”は分っていることだから
いずれ 手間を掛ければ その結論には達するが
無限集合Iの大きさと その具体的な構成に依存する式を使うと
話が 大袈裟になるってことだ■

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/539

543: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 22:38:22.70 ID:jE3Cs7nW

つづく

>>538
>https://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1756548285/

おや？
独教授「ABC予想の証明論文は論理に飛躍がある」　望月教授「それはお前がクソ無能だからだ」 [886559449]
か
それ ニュース速報板だね
情報ありがとう

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/543

566: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/31(日) 13:40:18.46 ID:lylF2dxQ

>>539 戻る
１）下記 未確認飛行 Cさんが、面白い
　1つ無限集合 a を選び、「x は無限集合である」という命題 M(x)
　a の「冪集合」P (a)で、無限集合の族 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}を作る
　a^ の全ての元の共通部分 ωa ＝ ∩a^
　ωa が 自然数の定義だと
２）これと対比して ペアノの公理
　自然数の集合論的構成
　N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
　ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの
　無限公理は (下記のIをAに書き換えて)
　∃A(∅∈A∧∀x(x∈A⇒(x∪{x})∈A)).となるが
　未確認飛行 Cさんとの対比で 1)「冪集合」P (a)使用が無いこと
　2)「x は無限集合である」という命題 M(x)が無いこと
　それと、3)”全ての元の共通部分”の宣言がないこと
　の3点が問題になる
３）いま、>>539 で示したように 無限順序数で
　0, 1, 2, 3, ............, ω, S1=S(ω), S2= S(S(ω)), S3=S(S(S(ω))), ....
　において  ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
　が、”順序数においても 同様にそれより小さい順序数の集合と（集合として）等しくなります”
　が成り立つから
　S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
　後続者 S(α) ≔ α ∪ { α }  なので ω⊂S(ω)⊂S(S(ω)) 成立
　未確認飛行 Cさん 同様に ”全ての無限集合の共通部分”なら
　∩(ω,S(ω),S(S(ω))=ω={0,1,2,・・・｝ とめでたく 自然数 N=ωが抽出できた
　ところが、もし”全ての”のしばりがないと ∩(S(ω),S(S(ω)) となって
　自然数 N=ωが うまく抽出できない
４）別例で
　S3'=：S(S(S(ω)))-ω＝{0,1,2,・・・,S(ω),S(S(ω))} を考えよう
　ここで S3'の元で 無限集合は S(ω),S(S(ω))のみ
　∩(S(ω),S(S(ω)) では 自然数 N=ωが うまく抽出できない

よって、結論として ペアノの公理の
　自然数の集合論的構成
　N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
（Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの）
　が ちょっとまずいってことだ■

(参考)
　>>119-120 より再録
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/566

567: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/31(日) 13:41:04.66 ID:lylF2dxQ

つづき
２）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/185
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

>>539-540 より再録
３）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
４）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
3.α が順序数のとき、S(α) ≔ α ∪ { α } は α より大きな順序数のうちで最小のものである。S(α) を α の後続者 (successor of α)と呼ぶ
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Peano axioms
(google訳)
集合論的モデル
ペアノの公理は、自然数の集合論的構成やZFなどの集合論の公理から導くことができる。[ 15 ]ジョン・フォン・ノイマンによる自然数の標準的な構成は、0を空集合∅として定義し、次のように定義された集合上の 演算子sから始まる。
s（a）＝a∪{a}
自然数Nの集合は、空集合を含むsで閉じたすべての集合の共通部分として定義されます。
各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/567

603: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/31(日) 23:14:01.13 ID:lylF2dxQ

>>457
(引用開始)
ちなみにAIに
・数学科以外でも知っといたほうがいい最も難しい数学
・数学科以外は知らないても全然困らない数学
の例を示してと尋ねたらこう答えた
前者：確率過程
後者：ガロア理論
(引用終り)

まあ、そのAIはGrok（グロック）だろうが
Grokを含めて 生成AI は 相手に結構迎合すると言われている（下記）
数学科のオチコボレさんの さびしい心情に迎合したんだろうよｗ　；ｐ）

さて、>>8-9 加藤文元氏 メンタルピクチャー & “big picture”Terence Tao の視点から
ガロア理論、確率過程 の両方とも メンタルピクチャー & “big picture”の構築に役に立つよ

即ち、ガロア理論は 抽象代数学の 群と体とを主に使う。それと 代数方程式という 多分 中学高校からの数学の大きなテーマ
ガロア理論を理解することで、群と体と代数方程式のジグソーパズルのメンタルピクチャー & “big picture”が手に入る
（この中には 写像や同型、準同型も含まれる）
つまり、これらの抽象代数学の深い理解が得られるんだ。（群と体が分れば、環も理解しやすいだろう）
つまりは、抽象代数学のマスタークラスに到達

同様に、確率過程のためには 大学レベルの測度論的確率論の理解が必要で、測度論的確率論には 測度論の理解がいる
というか、確率論→確率過程 と進むことは 測度論の応用分野を知ることであり、測度論の理解が深まるんだよね
これも メンタルピクチャー & “big picture”の構築に役に立つ

あと、いま学生で20歳前後としようか
60歳くらいまでは、現役で社会で活躍することを考えると、40年後 2065年の社会や必要な数学がどうなっているのか
それは、だれも正確な予測はできないだろうが
ガロア理論、確率過程 くらいは 勉強して 自分のメンタルピクチャー & “big picture”の構築しておくべき
それが、20歳から40年後まで活躍するための 勉強の基礎になるよ

AI？ AIの答えは 読んでみたけど 所詮 古新聞だな
過去は こうだったって話でしか無い。コミだよ■

(参考)
https://note.com/toumu0208/n/nc2cffe7c1c81
note.com
AIに相談したら、全部うなずいてくれた──それって本当に安心？
桃生篤（株式会社Toumu）
2025年5月3日
今日は、GPT-4oという生成AIで起きた「迎合しすぎ問題」について、ちょっと考えてみたいと思います。
GPT-4oというモデルに2023年4月25日にアップデートが入ったとき、「ちょっとユーザーに迎合しすぎてるんじゃない？」という声が上がりました。たとえば、ユーザーが怒っているとそれに同調したり、不安に対して「そうですね、怖いですよね」と返したり。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/603

612: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 07:22:14.77 ID:Llrj9wIL

>>571 補足
ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから
補足しておくよ

１）集合積∩は、例えば A∩Bと A∩B' と (ここにB≠B')では積の結果が一般には異なる
　同様に∩Aλ （λは添え字）を考えると
　最初をA0として 最後をAendとすると、最初から最後まで 全て確認しないと
　∩Aλの結果が定まらない。つまり、積を構成する要素が一つ変わっただけで 結果が異なる敏感なものだということ
２）さて、下記 無限公理は、平たく言えば 空集合∅から始めて 後者を作り それを可算無限回繰り返した集合N=ωを含む無限集合Iの存在を公理として認めるというものだ
　”無限集合Iから自然数を抽出する”にあるように、上記の集合N=ωを Iの部分集合として 分出公理で取り出す
　これが いまのスタンダード
３）>>566-567 では ”部分集合として 分出公理で取り出す”をせずに 集合積∩を使っている
　この問題点は、集合積∩が その積の各要素に敏感だってことだ
　つまり、その積の要素 全てを確定しないと 集合積∩Aλ が確定しない
　なので、集合積∩を使うのは 賢くないってことだね
４）戻ると、無限公理は 集合N=ωを含む集合Iの存在を公理として認めるというものだから
　素直に、Iの部分集合として 集合N=ωを 分出公理で取り出せるならば その方がよほど賢明だ■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E9%80%9A%E9%83%A8%E5%88%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
共通部分（英: intersection, meet）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。
共通集合、共通分[1]、交叉（こうさ）、交差（こうさ）、交わり、積集合、積（せき）[2]などとも呼ばれる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
無限集合Iから自然数を抽出する
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%87%BA%E5%85%AC%E7%90%86
分出公理
部分集合公理
主張
どの集合 A に対しても、以下を満たす集合 B が（A の部分集合として）存在する：
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/612

631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 11:10:53.43 ID:gg6LcAZV

>>571 補足の補足
(引用開始)
１）未確認飛行 Cさんで 1つ無限集合 a を選び
　a の「冪集合」P (a)で を作るところが面白い*)
　つまり 無限公理 ∃a(∅∈a∧∀x(x∈a⇒(x∪{x})∈a)).（下記無限公理の集合Iをaに書き換えた）
　だから、aは 帰納的な元の全てを含むので
　例えば a={0,1,2,・・・,ω,S1,S2・・} （ここにω,S1,S2・・は無限順序数を表す>>566 ご参照）
　などだが
　例えば a={0,1,2,・・・,S1,S2・・} と ω=N を欠いている場合でも
　P (a)で aの部分集合として ω={0,1,2,・・・} を必ず含むのです
(引用終り)

さて
　>>119-120 より再録
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
(引用終り)

ここで 未確認飛行 Cさんの大きな問題点は
”「x は無限集合である」という命題を M(x) とし”
の部分で
M(x)＝「x は無限集合である」を、ひらたく言えば、『帰納的に後者を繰り返し無限に取った集合以上の集合』ということだね
そして
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
で、a^ は a の「冪集合」に含まれる 無限集合で
a^ の全ての元の共通部分
ωa ＝ ∩a^
これが、自然数の定義だという

だったら、『帰納的に後者を繰り返し無限に取った集合』を きちんと論理式  M(x)’として立てて
aのべき集合P(a)なり
aから直接 M(x)’を 分出公理で 部分集合として取り出せば それで終わりでしょ！■
（この場合、P(a)を経由する意味が あまりないよね）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/631

632: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 11:45:34.39 ID:gg6LcAZV

>>623
>今まで、君、仕事でガロア理論とか確率過程とか使った？

まあ、そういうセンスでは
オチコボレさんになる

要するに、人生で 自分の出会う問題に使えるだけの
最小限の勉強という態度では うまくいかない
正しい態度は、知の体系的を作る メンタルピクチャー(加藤文元)、＜“big picture”＞（Terence Tao） を持つこと
昔 ”ボキャ貧”と言ったのは 小渕　恵三 さん（内閣総理大臣）だったが

言葉も同様で、英単語 300語で 話せるとかいうが
その実 英会話である程度の語彙が必要で
試験に出る 言葉が ある単語集の5000語の中のいくつかだったとして
その試験に出る いくつかの言葉 のみを勉強するという方法は取れない

と同じ理屈で、自分の数学基礎力を上げて
人生で出会う問題の数学について
ある程度は 分かるし 追加で勉強もできる
必要なら 人と会って教えを乞うなど が 目指すべきところだ
（相談のときに、相手のいうことが理解できないとまずいよね）

ガロア理論を勉強するのは、そういうことさ
メンタルピクチャー(加藤文元)、＜“big picture”＞（Terence Tao）
をしっかり構築しておけば
追加の勉強や 人に教えを乞う もできる
「抽象数学 チンプンカンプンです」とは ちょっと違うレベルに到達できるよ■

(参考)
https://www.jiyu.co.jp/singo/index.php?eid=00015
「現代用語の基礎知識」 新語・流行語大賞
第15回 1998年 授賞語
特別賞
ボキャ貧
小渕　恵三 さん（内閣総理大臣）
小渕首相が、記者団の応対の中で自らを卑下して言った言葉。自分には語彙が少ない、ボキャブラリーが貧困、つまり「ボキャ貧」だと言ったのだが、これが反対に小渕首相の造語能力の“優秀さ”を立証することになった。語感といい、語意といい、ヤングの“縮め言葉”と対抗しても勝るとも劣らない。「小渕さんて、もしかしたら“切れ者”かも」などという評価も出始めた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/632

660: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/02(火) 07:26:02.45 ID:Xe3fp6ug

>>656-657
>>繰り返し無限に取る
>そんなアホなこと言ってると中高一貫生に笑われますよ
>iutでも、set theoretic formulasを扱うのに、
>本気で人が集合を操作できると思ってるヨーダし、

ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから 赤ペン先生をしておくよ
下記の”極限　松田茂樹 千葉大学大学院理学研究科”を見てちょ
これは、圏論を使った 極限の話だ
1980年代の数学科では教えなかったろう　；ｐ）
要するに、” Z^ := lim ←−Z/nZ
ゼットハットないしはズィーハットと呼ぶ。この位相環は古くはPrüfer (プリュファー)環と呼ばれており, 数論では様々な場面に現れる”
これが、下記 星裕一郎 宇宙際 Teichmüller 理論入門 の冒頭
”§1. 円分物”に出てくる

要するに、日常語での”繰り返し無限”は、圏論の極限で正当化される場合がある
（集合論で正当化される場合もある 例：形式的べき級数）

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限　松田茂樹 千葉大
1 序
この文章は千葉大の学生向けに書いた極限についての紹介文です。主に[Ta78], [Ka76] および[Mac98], を参考にしています
集合論における, 部分集合の族の共通部分, 和集合, 直積や非連結和, ファイバー積, また, 加群の理論における核, 余核, 直積, 直和, 整数論に出てくるp進整数環や, より一般に可換環の線形位相についての完備化, これらはすべて, (圏における) 極限と呼ばれる概念を用いて定義することができる。従って, 極限を学ぶことで様々な概念を統一的に理解し, 扱えるようになる。またそれだけでなく,それらの間の関係を調べたり, これまでの手段では表現が難しかった対象をわかりやすく表現できるようになる
Ｐ10
2.4 擬順序集合上の極限の例
(2.4.11) 例 ( Z^). 自然数の集合 N に n | mなる関係で順序関係を入れ, 擬順序集合とみなす。位相環の圏(TopRng) におけるN上の逆系(Z/nZ)n を考える
略
Z/nZには離散位相を入れる。この逆極限は,
略
こうして定まる逆極限を
(2.4.11.1) Z^ := lim ←−Z/nZ
と書き, ゼットハットないしはズィーハットと呼ぶ。この位相環は古くはPrüfer (プリュファー)環と呼ばれており, 数論では様々な場面に現れる

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/papers.html
星 裕一郎 の ホームページ 論文
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244783
宇宙際 Teichmüller 理論入門 RIMS 2019,79-183.
P83
§1. 円分物
円分物とは何でしょうか. それはTate 捻り“Z^(1)” のことです. 広義には, Z^(1) の商や, あるいは,“(Q/Z)(1)” という可除な変種も円分物と呼ばれます. 遠アーベル幾何学において, この円分物の “管理” は非常に重要です. この点について, もう少し説明しましょう
一言で“Z^(1)” と言っても, 数論幾何学には様々な“Z^(1)” が登場します. 例えば,以下が“Z^(1)” の例です:
(a) (標数 0 の) 代数閉体Ωに対するΛ(Ω) def = lim ←n µn(Ω)　　ここで, n≥1に対して, µn(Ω) ⊆Ω は, Ω の中の 1 のn乗根のなす群を表す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/660

683: １３２人目の素数さん [] 2025/09/02(火) 17:26:29.28 ID:SkBP9bZ4

>>678 補足

>>306より
　日常の数学の下にカジュアル集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階がカジュアル集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階のカジュアル集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば いい
（元は、カジュアル集合論は 素朴集合論だったが 語感が悪いので変えた）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階論理とメタ論理学の成果
ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。
・（健全性）証明可能な二階述語論理の文は常に真である。すなわち standard semantics に従ったあらゆるドメインで真である。
・（完全性）standard semantics において常に妥当な二階述語論理の論理式は、全て証明可能である。
・（実効性）与えられた論理式の並びが妥当な証明かどうかを正しく決定できる証明検証アルゴリズムが存在する。
この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは二階述語論理は「論理」ではないと考える理由としてこれを挙げている[5]。
上述のように Henkin は Henkin semantics を使えば二階述語論理に一階述語論理の標準的な健全で完全で実効的な推論体系を適用できることを証明した。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理
弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。より正確にいえば、それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。
(引用終り)

要するに、いまどき 複雑化した 21世紀 現代数学を まともに全部を 1階の公理的集合論で数学を する人はいない
（一部にフォーマルな1階論理が向いている議論があるとしても）
カジュアル集合論や圏論をまじえて
日常の数学が遂行されている気がする

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/683

694: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/02(火) 21:01:51.06 ID:Xe3fp6ug

>>693
>一階述語論理では形式化できないseta数学なんでしょ
>iutとお似合いなんじゃねーの

IUTは 圏論使っていると宣言しているでしょ
そして 圏論は、一階述語論理しばりではない（下記）
https://www.utp.or.jp/book/b305702.html
圏論による論理学 (冊子版)
高階論理とトポス
発売日 2007/12/14 清水義夫 著

>>692
>論理式はもちろん自然言語で書き直せる

話は逆だよ
正しい数学理論は、大体は 形式論理で書けて
よって、自動証明なども適用できる
しかし、現状では 数学定理の自動証明の敷居は高い
全部の投稿論文の証明には適用できない
（が、いまのAIや LLM が発達すれば 全部自動証明の適用可能かもよ）

>具体的には∀と∃に関する推論が分かってない
>ナイーブに⋀と⋁を無限回使えばいいと思ってる

話は逆
人の書いた数学論文で 自然数を使わない論文は おそらくは皆無
∀と∃などの記号論理だけの推論で進めると 人は読めない
それに近いのが IUTであり 最近では 幾何学的ラングランズ予想の証明かも
https://www.reddit.com/r/math/comments/1i4x1m9/drinfelds_comment_on_the_geometric_langlands/?tl=ja
reddit.com
r/math
8 か月前
ドリンフェルドの、ラスキンの幾何学的ラングランズ予想の証明に対するコメント： 「この結果の重要性を非数学者に説明することは不可能だ。正直言って、数学者に説明するのも非常に難しく、ほとんど不可能だ。」
New Scientist の記事から。

>>691
(引用開始)
>>686のハンパなコピペのつづき
「V で作業する代わりに、可算推移モデル M と (P,≤,1) ∈ Mを考える。
略
もし G が M の要素なら P\G も M の元となるから G は Mの元にはならない。」
(引用終り)

これも 話は逆
上記を ∀と∃などの記号論理だけで表現してみな
強制法の核心部分の説明をよｗｗｗ
出来ないだろ？
自然言語を使う方が、圧倒的に分かり易いんだよ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/694

712: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/03(水) 14:39:54.01 ID:hNzKNOFY

>>711
>いずれにしろ数学には無限回操作なるものは存在しない
>無限集合、無限列、無限級数・乗積、無限小数、無限合併・交叉、形式的冪級数はいずれも無限回操作の産物ではない

アタマ 堅そうｗ
　>>8-9 加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
＜“big picture”＞ Terence Tao

まあ、言い方はなんでもいい
下記のPeriod-Mathematics氏は
”大学数学（数学科標準）を生き抜くために　〜作法、知恵、勉強法〜
（現代）数学の全体像を大雑把に把握しておく”
という

現代数学から ”無限”に関する部分をすべて消したら？
ニュートン、ライプニッツ以前になるだろうか？

下記の 松本雄也 東京理科大 環論講義ノート
”B.2形式冪級数環と収束冪級数環” 可算無限の項を持つ級数の環
収束するとき、”Cの原点上の近傍での正則関数”

これが、”メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」”じゃね？ｗ　；ｐ）

(参考)
http://yuyamatsumoto.com/ed.html
松本雄也
東京理科大学 理工学部 数学科 助教（2018年4月―）
代数学
環論入門コース [2023/03/05] 111 pages

http://yuyamatsumoto.com/ed/kanron.pdf
環論講義ノート
松本雄也  2023年03月05日
B環の例　66
B.1多項式環の亜種：モノイド環，群環.. . . . . . . 66
B.2形式冪級数環と収束冪級数環. . . . . . . . . 67

B.2.1 形式冪級数環
定義 B.6. Aを環とする．直積集合A[[X]] := AN に対し，多項式環と同様に加法と乗法を定める：
この環をA上の1変数の形式冪級数環(formal power series ring) という．
A((X)) := A[[X]][X−1] は形式冪級数に有限個の負冪の項を加えた級数からなる環であり，1元X による局所化でもある．この環の元を形式ローラン級数 (formal Laurent power series) という．Aが体ならばA((X)) = FracA[[X]] でありこれは体である．
B.2.2 収束冪級数環
Aに適切な構造が入っていれば，冪級数の収束や収束半径を考えることができる．ここではA=Cの場合のみ考える．Cの原点上の近傍での正則関数を考えると，そのTaylor展開が考えられ，収束半径は正の実数または無限大である．r>0に対し，Br :={ n≥0anzn |収束半径はr以上である} とする

（追加(参考)）
https://period-mathematics.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/2022/02/11/192336
Period-Mathematics
2022-02-11

写像の像より逆像の方が和集合だけでなく共通部分も保つなど良い性質を持つ理由は圏論的な”説明”が出来ます。詳細が気になる方はこちらhttp://yuyamatsumoto.com/ed/adjoint.pdf。一言でいうと像を取る関手は右随伴しか持たないのに対し逆像を取る関手は左随伴も右随伴も持つことに由来します。

大学数学（数学科標準）を生き抜くために　〜作法、知恵、勉強法〜
（現代）数学の全体像を大雑把に把握しておく
これはとても重要だと考えています。具体的にはその後の勉強の（心理的な）しやすさが圧倒的に変わります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/712

727: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 11:20:57.05 ID:YqcoVM+6

１）下記”玉川安騎男(京大数理研) 遠アーベル幾何学の過去.現在.未来”
　多分、ここにIUTも入るだろう
２）さて、IUT INTER-UNIVERSAL TEICHM¨ ULLER THEORY I （下記）で
　Fig. I1.4〜Fig. I4.1 を見る限り、今日の基礎論でいうところの UNIVERSAL（宇宙）とは ちょっと違う用語の使い方だと思う
３）宇宙 (数学)：特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである
　グロタンディーク宇宙にも 何通りかの定義があるようだが、フォン・ノイマン宇宙と対比されるとき
　ZFC フォン・ノイマン宇宙Vでは、圏論にはちょっと狭いよと グロタンディークは考えて もう少し広いグロタンディーク宇宙Uを考えた
４）そういうフォン・ノイマン宇宙Vより広い 圏論が自由できる
　”すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）”とすると
　広いグロタンディーク宇宙Uの外に出るのは難しい
　だから、INTER-UNIVERSALは 大宇宙Uの中の小さい宇宙を”つなぐ”ということでしょう

ここらの用語の混乱も 重箱の隅の話だが
一言触れてほしい

(参考)
https://x.com/math_jin/status/1962727408324456869
math_jin 2025年9月2日
日本数学会　秋季分科会 総合講演　9月17日
玉川安騎男(京大数理研) 遠アーベル幾何学の過去.現在.未来(16:30〜17:30)

https://www.mathsoc.jp/activity/meeting/nagoya25sept/index.html
日本数学会
2025年度秋季総合分科会
https://www.mathsoc.jp/assets/file/activity/meeting/nagoya25sept/prog25sept_ja_20250801.pdf
2025日本数学会秋季総合分科会プログラム
総 合 講 演9月17日　（　水　）豊田講堂 ホール
玉川安騎男 (京大数理研) 遠アーベル幾何学の過去・現在・未来···· (16:30〜17:30)

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHM¨ ULLER THEORY I:
CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS
Shinichi Mochizuki May 2020
P10
Fig. I1.4:ComparisonofF ± l-,Fl-symmetries withthegeometryoftheupperhalf-plane
P17
Fig. I2.1: Depiction of Frobenius- and ´etale-pictures of Θ±ellNF-Hodge theaters via glued topological surfaces
P26
Fig. I4.1: Correspondence between inter-universal Teichm¨ uller theory and p-adic Teichm¨uller theory

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/727

753: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/05(金) 00:23:44.76 ID:n1shBuli

>>751
(引用開始)
Grothendieck宇宙に幾つかの定義などなければ
集合であるGrothendieck宇宙がフォン・ノイマン宇宙より
「広い」などということはあり得ない
中卒は述語論理と公理主義からやり直すこと
(引用終り)

君は、望月IUTとグロタンディーク宇宙の勉強不足ｗｗｗ　；ｐ）
１）ja.wikipedia グロタンディーク宇宙と到達不能基数 にあるように
　「型 κ である集合全体の集合 u(κ) は濃度 κ のグロタンディーク宇宙となる」を認めれば
　強到達不能基数 κ毎に グロタンディーク宇宙があり 強到達不能基数は一つではない
２）en.wikipedia Grothendieck universeで ”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory”
　Inter-universal Teichmuller Theory IV で”We shall refer to a ZFC-model that also satisfies this additional axiom of the Grothendieck school as a ZFCG-model”
　要するに、グロタンディーク宇宙＋ZFCは、真の拡張であるから フォン・ノイマン宇宙に含まれるものは
　強到達不能基数による u(κ)に 含まれる■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
強到達不能基数 κ が存在するとする。集合 S は任意の列 sn ∈ ... ∈ s0 ∈ S に対し |sn| < κ となるとき、型 κ であると呼ぶことにしよう。
(S 自身は空列に対応している。)
すると、型 κ である集合全体の集合 u(κ) は濃度 κ のグロタンディーク宇宙となる。
(この証明は長くなるため、詳細は参考文献のブルバキの論文を参照。)

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
The idea of universes is due to Alexander Grothendieck, who used them as a way of avoiding proper classes in algebraic geometry. Grothendieck’s original proposal was to add the following axiom of universes to the usual axioms of set theory: For every set
s, there exists a universe
U that contains s, i.e., s∈U.
The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals. Tarski–Grothendieck set theory is an axiomatic treatment of set theory, used in some automatic proof systems, in which every set belongs to a Grothendieck universe. The concept of a Grothendieck universe can also be defined in a topos.[1]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/753

840: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/07(日) 15:56:05.42 ID:hvfvmXnW

>>807
>>”V_0 ∈ V_1 ∈ V_2 ∈ V_3 ∈・・・ってやって”は、ノイマン宇宙でも同じでは？
>V_nって宇宙だろ？　だったら違うな

まあ、学部の数学では 宇宙は まず出てこないし
数学屋の中でも ”宇宙”の定番定義は ないだろうよ
下記の 薄葉 季路 (早大理工)氏 などが、これからの学会標準を作っていくのだろう

さて、ゲーデルの Constructible universe L（下記）がある
ノイマン宇宙V グロタンディーク宇宙Uで 集合の記号⊂を流用すると
L ⊂ V ⊂ U となる

あとは、各論文毎に用語”宇宙”の定義について
眉に唾しながら 見てゆくしかないだろうｗ　（＾＾
用語”宇宙”に目くじら立てるのは、基礎論ド素人だけだよｗ　；ｐ）

(参考)
https://www.mathsoc.jp/activity/video/2017spring/0324usuba.html
企画特別講演　2017年度年会 日本数学会
講演者
薄葉 季路 (早大理工)
講演題目
集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
動画 https://youtu.be/WQzlEj1g71M?t=1
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
講演資料
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%9B%86%E5%90%88
ゲーデルの構成可能集合（ constructible universe または Gödel's constructible universe）
構成可能集合全体のクラス L を構成可能宇宙と呼ぶ。
性質
L は全ての順序数を含む最小の ZFC のモデルである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe
Constructible universe
In mathematics, in set theory, the constructible universe (or Gödel's constructible universe), denoted by
L, is a particular class of sets that can be described entirely in terms of simpler sets.
L is the union of the constructible hierarchy Lα.
It was introduced by Kurt Gödel in his 1938 paper "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis".[1] In this paper, he proved that the constructible universe is an inner model of ZF set theory (that is, of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded), and also that the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis are true in the constructible universe.
(google訳)
LはZFCの標準的な内部モデルである
Lは絶対的かつ最小である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/840

909: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/10(水) 21:11:30.30 ID:u0x0EfOw

>>906
>グロタンディーク宇宙は集合だし他の（同値でない）定義などない
>wikipediaもマクレーンもSGA4も望月もそう言ってる

基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ）

まず、雪江 代数の教科書の用語から
『永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした.』
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦代数の教科書
・教科書の 用語について (2012/7/7更新) https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
私の教科書の用語について
用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう.
2. 「可除環」か「斜体」か
さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう? 桂では「斜体」と呼んでいるが，
この用語を使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，
「ヴェーダーバーンの定理」の状況ではdivision ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にしたら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて語るときskew field という用語を使うことはないだろう.
これが英語でdivision ringなら「可除環」がよいだろうと思った.
永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした.
(引用終り)

同じ用語の議論が、基礎論の用語 宇宙・クラス・集合にもあるだろう
カントールの集合論では、クラスは 全く意識されていなかった
ところが、ラッセルのパラドックスで、集合とクラスを分けて パラドックスを回避するよう 集合公理が定められた
すべて集合の集合は、許されない！　それは、クラスだとなった
時代が進んで、21世紀 >>859 薄葉 季路 (早大理工) 集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
P3
集合の宇宙
・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す
・Vは集合ではない
(引用終り)

これに当てはまるのが、>>840 ゲーデルの Constructible universe L
ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで
集合の記号⊂を流用すると
L ⊂ V ⊂ U となる
さて、クラスの話に戻ると グロタンディークは圏論を展開するため
ノイマン宇宙Vは狭いと考えて Vを拡張して 強引に宇宙の公理を使って
全てを集合として 圏論を展開することにした

つまり、ノイマン宇宙Vではクラスでも グロタンディーク宇宙Uならば 集合となるのです
つまり、何がクラスかは 設定する公理で変わる

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/909

915: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/10(水) 23:06:19.72 ID:u0x0EfOw

>>913-914
基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ）

>>909 再録
薄葉 季路 (早大理工) 集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
P3
集合の宇宙
・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す
・Vは集合ではない
(引用終り)

だから、宇宙は ”集合ではない”！ｗ　；ｐ）
で
　>>840 ゲーデルの Constructible universe L
ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで
L ⊂ V ⊂ U
ここでも、明らかに ノイマン宇宙V は 集合ではない
また、Lも集合ではない

この流れの中で、グロタンディーク宇宙U も その本質は 集合ではないが
だが、グロタンディークがUを考えたそもそもは
圏論をやるのには Vでは クラスだのなんだのと 不便だから
Vを広げて Uの中に取り込んで なんでも集合にして
圏論をやりやすく ということなわけだった

だから、そもそも 集合 vs クラス において
狭い ノイマン宇宙V では クラスだが
グロタンディーク宇宙U では 集合だとなる
つまりは 公理の取り方で 集合 vs クラスの考えは変わるよ

と 同様に グロタンディーク宇宙Uは 何者よ と考えたとき
薄葉 季路氏は「集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙で
Vは（普通の）集合ではない」ってことだが

ここらは、要するに 用語： 集合 vs クラス vs 宇宙 において
あきらかに 文脈によって 意味が変わっているってことだね
（というか、公理的集合論が考えられたのが 1900年代のはじめで
その後 ノイマン宇宙Vや 構成可能宇宙L 圏論のグロタンディーク宇宙U
その上に 薄葉 季路氏の 強制法 ”集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—”
この間100年。雪江明彦 用語について>>909 と同じで 時代によって 変遷があるってこと）

そういう用語の混乱と整理は
薄葉 季路氏の仕事だから
そっちに丸投げだ　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/915

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