Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (898ﾚｽ)
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37: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 13:24:22.07 ID:KYsCHIBD

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%9C%B4%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
素朴集合論
形式論理を用いて定義される公理的集合論とは異なり、素朴集合論は非形式的に自然言語で定義される。離散数学で馴染み深い数学的集合の側面（たとえば、 ベン図やブール代数に関する記号の取り扱い）を説明するものであり、現代の数学における集合論の概念を日常的に扱うのに十分なものである[4]。
集合は数学において非常に重要である。現代の形式的な扱いでは、ほとんどの数学的対象（数、関係、関数など）は集合の観点から定義される。素朴集合論は多くの目的に十分であると同時に、より形式的な取り扱いへの足がかりとしても有効である。
方法
「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である。かつ (and)、または (or)、もし〜ならば (if ... then)、〜でない (not)、 ある〜に対して(for some)、すべての〜に対して (for every) は、通常の数学と同様に扱われる。便利であるため、素朴集合論とその形式主義は、集合論自体のより形式的な設定を含め、より高度な数学でも用いられている。
19世紀の終わりに、無限集合の研究の一環としてゲオルク・カントールによって構築され[5]、ゴットロープ・フレーゲが自身の著書 Grundgesetze der Arithmetik で発展させた。
公理的理論
公理的集合論は、どの操作がいつ許可されるかを正確に定めることを目的として、集合を理解するこれらの初期の試みに応えて開発された。
公理的集合論は必ずしも無矛盾というわけではなく、必ずしもパラドックスがないわけではない。ゲーデルの不完全性定理から、十分に複雑な一階述語論理システム（最も一般的な公理的集合論を含む）は、実際には無矛盾だとしても、理論自体の中から無矛盾性を証明できない。ただし、一般的な公理系は一般的に無矛盾と考えられている。これらの公理によって、ラッセルのパラドックスのようないくつかのパラドックスは排除されるためである。ゲーデルの定理に基づくと、これらの理論や一階述語論理の集合論にパラドックスが一切なくても、無矛盾性はわかっていないどころか、わかるものでもない
利用
公理的アプローチと他のアプローチのどちらを選ぶかは、主に利便性の問題である。日常の数学では、公理的集合論を非形式的に使うが最善の選択かもしれない
普遍集合と絶対補集合
特定の状況では、考えているすべての集合を、特定の普遍集合の部分集合と見なすことができる。たとえば、実数 R （および R の部分集合）の性質を調べる場合、 R は普遍集合と見なせる。真の普遍集合は標準集合論には含まれていないが（以下のパラドックスを参照）、一部の非標準集合論には含まれている。

初期の集合論におけるパラドックス
略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/37

319: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 07:28:23.07 ID:6Zc3kOJS

>>315 補足
>https://manabitimes.jp/math/2663
>高校数学の美しい物語
>リーマン球面と無限遠点 2022/07/21
>リーマン球面とは，複素平面 C に無限遠点 ∞ を追加したものである

さて>>306より
”日常の数学の下に素朴集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階が素朴集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階の素朴集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば
　その日常の数学の無限操作は許されるのだ”

話は飛ぶが、初期のパソコンでは（下記） ”当時ディスプレイは キャラクタディスプレイと呼ばれていた”
”画面全体を画像として出力するほどの性能がコンピュータ側になかったため、画面に表示する文字の情報だけをキャラクタディスプレイに渡して、ディスプレイ側が描写を受け持つ仕組み”
だった

『リーマン球面と無限遠点』は、あたかも 3階の日常の数学で グラフィックディスプレイ を使うようなもの
一方、1階の公理的集合論には、グラフィックな情報を扱う機能はありません！ｗ
これだけで、公理的集合論だけでは 日常の数学はできないと すぐわかるｗｗ
（いまの一般の日常は グラフィックディスプレイで 動画があたりまえ なのだ。数学解説動画もあるよ ；ｐ）

(参考)
https://www.rescue-center.jp/elementary/vol52.html
データレスキューセンター
ディスプレイについて
ディスプレイとは、コンピュータなどの機器から出力した情報を表示する装置で、モニターとも呼ばれています。かつては、パソコン用のディスプレイは、大きくて重いブラウン管のCRTディスプレイが主流でした。技術の進歩により液晶ディスプレイ、プラズマディスプレイ、有機ELディスプレイなどの薄型タイプのディスプレイへと移り変わっています。
現在では、省スペースで消費電力が少なく価格も抑えられた液晶ディスプレイが主流となっています。
当時のディスプレイは、キャラクタディスプレイと呼ばれていました。「キャラクタ」は文字という意味で、その名の通り、単色の文字を表示する機能しかありませんでした。
画面全体を画像として出力するほどの性能がコンピュータ側になかったため、画面に表示する文字の情報だけをキャラクタディスプレイに渡して、ディスプレイ側が描写を受け持つ仕組みとなっています。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/319

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