Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (919ﾚｽ)
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39: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 13:25:09.02 ID:KYsCHIBD

つづき

https://www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index15-2.html
数学通信第１５巻第２号目次 2010
高木貞治に見る数学思想の変遷 足立　恒雄 ６
https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/1502/1502adachi.pdf
高木貞治に見る数学思想の変遷
足立恒雄(早稲田大学理工学術院)
1 初めに
高木貞治（1875-1960）は若いころから数体系の基礎付けに関心が深かった．

5.3 19世紀末の自然数論
フレーゲの論理哲学を理解する能力は私にはないが，数学に対する貢献という観点に絞るなら，フレーゲは現代の数学を支える述語論理の創始者であると同時にその事実上の完成者であるということができる．フレーゲの論理学は現今の言葉で言えば，2階述語論理である．（しかし当時は１階も２階もなかった．）
5. フレーゲの著作『算術の基本法則』第II巻が完結したちょうどそのときラッセルからその名を冠した有名なパラドクスの知らせが届いたため，歴史的にはフレーゲは偉大な失敗者であるとみなされてきたが，1980年代に入ってフレーゲの算術上の仕事の研究が進み，大いにその名誉は回復された．
基数原理]P =]Q⇐⇒ P ≈Q
（ここにP ≈QはPなるxの全体とQなるyの全体が1対1に対応することを意味する．）によって導入し公理として置くと，2階述語論理によって，自然数論が展開できる．
6. 基数原理と2階述語論理の組み合わせは「フレーゲ算術FA」と呼ばれている．

8.1『数学雑談』の自然数論『数学雑談』ではランダウの『解析学の基礎』（1929）に基づき自然数論を展開している．すなわち次の通り：
略す

10.2 高木による連続体の特徴付け（最終形）高木は「技巧的なる可附番を払拭」するとして次を提唱する：IIIa.（最小性）連続かつ無限界なる線型順序集合はすべてLと同型なる部分集合を持つ．これが高木による連続体，実直線，実数体の特徴付け（＝公理系）の最終形であった．
（まとめ）
『数の概念』における数体系の基礎付けは，西洋の数学に50年遅れた状態から出発した高木の（ということは，つまり日本の）数学がその後50年かけてどのように発展したか，その到達点を示すものとして意義が深く，またその思想性，独創性という観点からも高く評価できる
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/39

858: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/07(日) 21:12:20.02 ID:hvfvmXnW

>>857
>グロタンディクの数学だから
>グロタンディク宇宙使ってるというのは
>典型的な高卒ド素人の妄想

これだから、無知なド素人には困るｗ
といっても、私も似たようなもので 圏論は 2冊かじっただけだが ；ｐ）
グロタンディクの数学＝圏論 で
グロタンディークが圏論好きで 圏論の名手であることは有名だが
彼は、ZFCでは満足出来なかったんだ
圏論のために 宇宙を創造したのだよ（神の如くにｗ）

但し、用語”宇宙”に ２種ある
グロタンディークの50年くらい前の定義と（下記 Streicher, Thomas (2006)ご参照）
最近のは 下記の 薄葉 季路 (早大理工)らの 21世紀 基礎論・集合論屋さんの定義と（池上大祐>>850もこれ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
圏論
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが真のクラスを用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
The concept of a Grothendieck universe can also be defined in a topos.[1]
Notes
1 https://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/NOTES/UniTop.pdf
Streicher, Thomas (2006). "Universes in Toposes" (PDF). From Sets and Types to Topology and Analysis: Towards Practicable Foundations for Constructive Mathematics. Clarendon Press. pp. 78–90. ISBN 9780198566519.
Ｐ3
Grothendieck who introduced this notion for the purpose of a convenient and exible set-theoretic foundation of category theory. More precisely, he suggested to use ZFC together with the requirement that every set A be contained in some Grothendieck universe guaranteeing at least^5 an infinite sequence
U0∈U1∈・・・Un-1∈Un∈Un+1∈・・・
of Grothendieck universes.

Note 5
Actually, postulating choice for classes gives rise to a class function Un that assigns to every set a a Grothendieck universe Un(a) with a Un(a). Then by trans nitely iterating the function Un one obtains incredibly big hierarchies of Grothendieck universes.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/858

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