Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (919ﾚｽ)
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678(2): 09/02(火)14:35 ID:SkBP9bZ4(2/5) AAS
つづき
>「{}に0,1,2,・・・を順次追加していき、無限回の追加が完了してNが出来上がる」
>とはなっていないことは、ペアノの公理を一階述語論理上で形式化した場合に
>超準的自然数を持つモデルが生じてしまうことからも明らかである
そうですな ここで重要ポイントは、一階述語論理は 綺麗だが 弱くて不便
普段の数学は、一階述語論理しばりは うれしくないってことですね
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ペアノの公理
公理
この公理は、数学的帰納法の原理である[注釈 3]。
これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない[5]。
注釈3
^ 任意の部分集合に関する量化を行っているので、これは一階述語論理では形式化できない。
範疇性
集合 ℕ^ と定数 0^ と関数 S^ がペアノの公理を満たすとき組 (ℕ^, 0^, S^) をペアノ構造（Peano structure）という。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる[注 1]、つまりペアノの公理は範疇的（categorical）であることがわかる。
一方で後述するペアノ算術はレーヴェンハイム＝スコーレムの定理から超準モデルをもつので範疇的ではない。
注釈１
^ すなわち全単射 φ: ℕ → ℕ^ で φ(0) = 0^ かつ φ ∘ S = S^ ∘ φ を満たすものが存在する。
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Peano axioms
(google訳)
次の3つの公理は、自然数に関する一階の命題であり、後続演算の基本的な性質を表現する。9番目の最後の公理は、自然数に対する数学的帰納法の原理に関する二階の命題であり、この定式化は二階算術に近い。
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Second-order logic
(google訳)
表現力
二階述語論理は一階述語論理よりも表現力に富んでいます。例えば、定義域がすべての実数の集合である場合、一階述語論理では、各実数の加法逆数が存在することを次のように主張できます。
略
しかし、実数集合の最小上界性、すなわち、すべての有界かつ空でない実数集合には上限が存在することを主張するには、二階述語論理が必要である
第二階論理では、「定義域は有限である」または「定義域は可算 濃度である」という形式文を書くことができます。
History and disputed value
In recent years[when?] second-order logic has made something of a recovery, buoyed by Boolos' interpretation of second-order quantification as plural quantification over the same domain of objects as first-order quantification (Boolos 1984).
(引用終り)
以上
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