Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (895ﾚｽ)
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651: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 17:46:38.38 ID:gg6LcAZV

>>645
>>aから直接 M(x)’を 分出公理で 部分集合として取り出せば それで終わりでしょ！
>それで終わりなら、なんでやらないの？

既出だが
中高一貫生も来る可能性があるので、下記を再録しておく ；ｐ）

>>531 再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
無限集合Iから自然数を抽出する
他の方法
以下のような他の方法もある。
Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。つまり、
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x)))
とする。おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである
これを形式的に書くと、次のような集合
Wが一意に存在することを示したい
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)) (*)
存在については、無限公理と分出公理を使って証明する
Iを無限公理によって保証された帰納的集合とする。分出公理を使って集合
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}を取り出す。つまり
WはIの要素のうち、あらゆる帰納的集合に含まれているものを集めてきた集合である
明らかに(*)を満たす
以下略

再録
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/271
(参考)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人 筑波大
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ 坪井明人(2014年)
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1 集合論の公理 5
1.1.9 無限公理 8
P8
1.1.9 無限公理
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である
S は，successor の頭文字で，次の元という意味を持たせている．
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している
そのような x が存在することを主張するのが無限公理である
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . をすべて元として含む集合である
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }
として定義したい．
しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1
（注1：ω = {Sn(∅) : n ∈ N} とすると，「. . . 」を回避できているように見えるが，
　N 自体がまだ定義されていないので，これでは定義できていない．）
そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
とする
ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である
このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/651

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