Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (892ﾚｽ)
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60(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/23(土)15:58 ID:KYsCHIBD(9/17) AA×
>>39

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60: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/08/23(土) 15:58:28.13 ID:KYsCHIBD >>39 補足 >フレーゲの論理学は現今の言葉で言えば，2階述語論理である(しかし当時は１階も２階もなかった) １）下記『二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い』 　が ラッセルのパラドックスなどの問題から 　20世紀前半は、一階述語論理限定が主流だった ２）『近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある』（下記） ３）『ゲーデルの加速定理』（下記）があって 　”n階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在する” ４）圏論で、高階の論理が使えれば 数学的加速ができる 　そういうことですね（たぶん）　；ｐ） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86 二階述語論理 二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い 二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる 歴史と論争 フレーゲは量化の種によって異なる変項を使っていたが、彼には2種類の異なる論理を扱っているという認識はなかった。ラッセルのパラドックスによって、その体系に問題があることが明らかとなった。論理学者らは問題を解決すべく、フレーゲの論理に制限を加える各種方法を検討し、それが一階述語論理となった。一階述語論理では、集合や属性は量化できないことになった。このような論理の階層化がこのころ初めてなされるようになった 一階述語論理を使うと、集合論を公理的体系として形式化できることがわかり（完全性の問題はあるが、ラッセルのパラドックスほど悪いことではない）、公理的集合論が生まれ、集合は数学の基盤となった。算術、メレオロジー、その他の様々な論理的理論が一階述語論理の範囲内で公理的に定式化でき、ゲーデルやスコーレムが一階述語論理に固執したこともあって、二階や高階の述語論理はほとんど省みられなかった 近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した 計算複雑性理論への応用 有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86 ゲーデルの加速定理は、クルト・ゲーデルにより証明された、数理論理学における定理である それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである https://fuchino.ddo.jp/papers/speedup-th-ex.pdf 科学基礎論研究 2018 数学と集合論—ゲーデルの加速定理の視点からの考察 —渕野 昌 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/60
補足 フレーゲの論理学は現今の言葉で言えば階述語論理であるしかし当時は１階も２階もなかった １下記二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い が ラッセルのパラドックスなどの問題から 世紀前半は一階述語論理限定が主流だった ２近年二階述語論理は一種の回復の途上にある下記 ３ゲーデルの加速定理下記があって 階算術の体系で証明可能な命題であって階算術ではより短い証明を持つものが存在する ４圏論で高階の論理が使えれば 数学的加速ができる そういうことですねたぶん 参考 二階述語論理 二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い 二階述語論理ではドメインは有限であるとかドメインは可算無限集合の濃度であるといった文も形式的に表現可能であるドメインが有限であるというにはそのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよいドメインが可算無限集合の濃度であることをいうにはそのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい一階述語論理ではこれら有限集合であることや可算集合であることを表現できないことがレーヴェンハイムスコーレムの定理から導かれる 歴史と論争 フレーゲは量化の種によって異なる変項を使っていたが彼には種類の異なる論理を扱っているという認識はなかったラッセルのパラドックスによってその体系に問題があることが明らかとなった論理学者らは問題を解決すべくフレーゲの論理に制限を加える各種方法を検討しそれが一階述語論理となった一階述語論理では集合や属性は量化できないことになったこのような論理の階層化がこのころ初めてなされるようになった 一階述語論理を使うと集合論を公理的体系として形式化できることがわかり完全性の問題はあるがラッセルのパラドックスほど悪いことではない公理的集合論が生まれ集合は数学の基盤となった算術メレオロジーその他の様な論理的理論が一階述語論理の範囲内で公理的に定式化できゲーデルやスコーレムが一階述語論理に固執したこともあって二階や高階の述語論理はほとんど省みられなかった 近年二階述語論理は一種の回復の途上にあるこの傾向をもたらしたのは による二階の量化の解釈であり彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した 計算複雑性理論への応用 有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は計算複雑性理論と密接に関係している ゲーデルの加速定理はクルトゲーデルにより証明された数理論理学における定理である それは階算術の体系で証明可能な命題であって階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである 科学基礎論研究 数学と集合論ゲーデルの加速定理の視点からの考察 野 昌

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