Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (895ﾚｽ)
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539(8): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/30(土)20:48 ID:jE3Cs7nW(16/22) AA×
>>531 >>518

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539: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 20:48:08.86 ID:jE3Cs7nW

>>531 補足
　>>518 より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である
(引用終り)

補足するよ
下記の 順序数 での 無限集合部分を使う
名前を付ける
S0=ω,
S1=S(ω),
S2= S(S(ω)),
S3=S(S(S(ω))),
　・
　・
Sn=S(Sn-1),
ここで、Peano axioms en.wikipedia 訳で ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
に注目しよう。これは、無限順序数でも成り立つ
いま、S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
そこで、上記”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”において
A=S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} としよう
すると ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が Aにおける 無限集合の積と解釈できるとして（要証明事項）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}＝ω∩S(ω)∩S(S(ω)) と書ける
ここで、ω∩S(ω)∩S(S(ω))＝ω は簡単に分ること

同様のことが、任意nのSnで言えるだろう(数学的帰納法でも使えば)
さて、問題は順序数 での 無限集合という素性の知れた集合だから簡単に言えることだが

無限公理の主張に戻ると、無限公理は 有限の帰納的に生成される集合全てを含む なにか無限集合Iの存在を主張するものである
無限集合Iで分っていることは、”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”だけ
だから、素直に 無限集合Iから ”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”を取り出す式を書けば良いだけと 単純に考えることができる

集合積∩を使う問題点は、上記のように 無限集合Iの大きさと具体的な構成に依存して
式 ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が変わってしまうこと
（なお、無限集合Iは、順序数に限定されない）

結論として、”ωが最小の無限集合で、全ての無限集合の共通部分”は分っていることだから
いずれ 手間を掛ければ その結論には達するが
無限集合Iの大きさと その具体的な構成に依存する式を使うと
話が 大袈裟になるってことだ■

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/539

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