Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (895ﾚｽ)
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531(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/30(土)16:54 ID:jE3Cs7nW(15/22) AAS
>>522
(引用開始)
Aの濃度に関係なく、無限公理を満たせばいい
まあ、Aは極限順序数でしょうね
でもなんであれ共通集合をとるので、
結局、最小の極限順序数になりますね
(引用終り)
いや別にそれは否定していない
というか、そもそも カントールの無限集合がそれで
カントールの無限集合を 公理的に構築しようということだから
それは結論なわけで、答えを知っているんだ
問題は、その答えを先取りしては行けないってこと
自然数N＝ω これが 無限集合たちの最小で 全ての無限集合に含まれている
それは、結論なわけ
だが、結論を先に使うと 公理的な視点では 循環論法で
いまは、その結論を使わずに
下記 無限公理の 無限集合Iから自然数を抽出する の如く
∩を使わずに済ます方が 公理による自然数N＝ωの構築として
圧倒的に スマートで美しいってこと
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
無限公理
無限集合Iから自然数を抽出する
他の方法
以下のような他の方法もある。
Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。つまり、
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x)))
とする。おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである。
これを形式的に書くと、次のような集合
Wが一意に存在することを示したい。
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)) (*)
存在については、無限公理と分出公理を使って証明する。
Iを無限公理によって保証された帰納的集合とする。分出公理を使って集合
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}を取り出す。つまり
WはIの要素のうち、あらゆる帰納的集合に含まれているものを集めてきた集合である。
明らかに(*)を満たす。
以下略
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