Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (892ﾚｽ)
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422(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/27(水)20:44 ID:6Zc3kOJS(2/5) AA×
>>420

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422: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 20:44:49.99 ID:6Zc3kOJS

>>420
>そして線形空間の基底とは、線形空間のいかなる元も、それに属する元の有限個の線形結合で表せるもの
>素人は「有限個」を見落として無限和を考えるが、代数的には無限和は定義されないので不可
>形式的べき級数は無限和なので、各次数の項だけでは基底にならない

傍観者さん、ありがとうござんす
スレ主です
補足で下記をば
”ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）”
では、『基底ベクトルの無限線型結合までを許す』場合があるってことですね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
基底（英: basis）は線型空間の線型独立な生成系である[1]。
基底の取り方に依らない、基底ベクトルの個数（濃度）は次元と呼ばれる。基底が常に存在することは基底の存在定理で証明される。

定義
体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う[1]
略
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
略
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述

（後述から下記へ飛ぶ）
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメル（英語版）に由来[6]）や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）およびマルクシェヴィチ基底（英語版）が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/422

そして線形空間の基底とは線形空間のいかなる元もそれに属する元の有限個の線形結合で表せるもの
素人は有限個を見落として無限和を考えるが代数的には無限和は定義されないので不可
形式的べき級数は無限和なので各次数の項だけでは基底にならない
傍観者さんありがとうござんす
スレ主です
補足で下記をば
ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底英語版
では基底ベクトルの無限線型結合までを許す場合があるってことですね
参考
基底 線型代数学
基底英 は線型空間の線型独立な生成系である
基底の取り方に依らない基底ベクトルの個数濃度は次元と呼ばれる基底が常に存在することは基底の存在定理で証明される
定義
体 上の線型空間 の基底 とは の線型独立な部分集合で を張る生成するものを言う
略
上記の条件を満たす整数が存在するときその線形空間は有限次元であるというそのようなが存在しないときは無限次元であるという無限次元線形空間を扱うには上記定義を一般化して基底が無限集合となる場合も認めなければならない
略
の二条件を満たすことを言う最後の式の和は必ず有限和であることに注意これは代数的なベクトル空間の公理だけからは適当な構造を追加しない限り極限操作に関する議論が展開できず無限和に意味を持たせることができないことによるものである無限和の場合を許した別な種類の基底の概念が定義される場合については後述
後述から下記へ飛ぶ
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では本項でいう意味での基底を表すのにしばしばハメル基底ゲオルクハメル英語版に由来や代数基底という用語が用いられるハメル基底は の 基底を意味することもあるこれは付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の基底の概念との区別のためであるそのような基底の概念で極めて重要なものとしてはヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底英語版およびマルクシェヴィチ基底英語版が挙げられる
これらの基底概念に共通する特徴は全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことであるこれにはもちろん無限和が意味を持つような空間位相線型空間を考えることが必要である位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのはバナッハ空間においてはハメル基底は大きすぎるという事実によるものである即ち が完備な無限次元ノルム空間つまりバナッハ空間のとき の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範定理から従う

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