Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (963ﾚｽ)
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233: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 11:17:28.16 ID:nzEtO0b1

>>232 追加引用

”ω1 は多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである”
百回音読してねｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数（英: aleph number）
アレフ・ワン
→「最小の非可算順序数」も参照
ℵ1 はすべての可算順序数からなる集合の濃度で、ω1 あるいは（ときに）Ω と呼ばれる。この ω1 はそれ自身順序数でありすべての可算順序数より大きく、したがって不可算集合である。それゆえ、ℵ1 は ℵ0 とは異なる。ℵ1 の定義は、（選択公理のない ZF、ツェルメロ・フレンケル集合論において） ℵ0 と ℵ1 の間に基数は存在しないことを意味している。選択公理 (AC) を使えば、さらに次のことが証明できる。基数のクラスは全順序でありしたがって ℵ1 は 2 番目に小さい無限基数である。AC を使って集合 ω1 の最も有用な性質の 1 つを証明できる。ω1 の任意の可算部分集合は ω1 において上界をもつ。（このことは AC の最もよくある応用の 1 つである可算集合の可算和は可算であるという事実から従う。この事実は ℵ0 における状況に類似である。すなわち、自然数からなるすべての有限集合は再び自然数である最大元を持ち、有限集合の有限和は有限である。

ω1 は多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである。例えば、部分集合の任意の集まりによって生成されるσ-代数を明示的に記述しようとすること（例えばボレル階層を見よ）。これは代数（ベクトル空間や群など）における「生成」のたいていの明示的な記述よりも難しい。なぜならばこれらのケースにおいて有限の操作 - 和、積、などに関して閉じているだけでよいからだ。各可算順序数に対して、超限帰納法を経由して、ありとあらゆる可算和と補集合を「投げ込んで」集合を定義し、ω1 のすべてに渡ってすべてのそれの和集合をとる、ということをその操作（σ-代数の生成）は含む。

（同じ個所のen.wikipedia）
https://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number
Aleph number
Aleph-one
"Aleph One" redirects here. For other uses, see Aleph One (disambiguation).
An example application of the ordinal
ω1 is "closing" with respect to countable operations; e.g., trying to explicitly describe the σ-algebra generated by an arbitrary collection of subsets (see e.g. Borel hierarchy). This is harder than most explicit descriptions of "generation" in algebra (vector spaces, groups, etc.) because in those cases we only have to close with respect to finite operations – sums, products, etc. The process involves defining, for each countable ordinal, via transfinite induction, a set by "throwing in" all possible countable unions and complements, and taking the union of all that over all of
ω1.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/233

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