Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (914ﾚｽ)
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801: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/06(土) 21:29:57.39 ID:JgP2aXhR

>>800
>V_0 ∈ V_1 ∈ V_2 ∈ V_3 ∈・・・ってやって
>グロタンディーク宇宙の拡大を次々に考えるのが
>IUTのミソなのに（らしいよ？）、
>集合じゃなかったら戯言になっちゃうもんな

１）”V_0 ∈ V_1 ∈ V_2 ∈ V_3 ∈・・・ってやって”
　は、ノイマン宇宙でも同じでは？
　下記のen.wikipedia Von Neumann universe と
　モストフスキ崩壊補題 ∈-関係と同型 の記事を読んでみて
２）ここらの 望月先生の 用語”宇宙”の用法は、世間とずれている気がする
　が、それは単に日常用語の問題で
　IUTの数学の本質とは別

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe

google検索：モストフスキ崩壊補題 ∈-関係と同型
より 下記ご参照

Wikipedia
https://ja.wikipedia.org › wiki › モストフスキ崩壊補題
モストフスキ崩壊補題はこのようなRに対して、推移的クラス(真のクラスでもよい)M で(M,∈)と(X, R)が同型となるものが一意的に存在し、その同型対応も一意的であるという ...

集合論ノート 0005 モストフスキ崩壊補題 (Mostowski ...
elecello.com
https://elecello.com › doc › set › set0005
PDF
2018/02/22 — モストフスキ崩壊補題より，⟨X, <⟩ ∼= ⟨Y, ∈⟩ なるただ一つの推移的集合 Y が取れる． 同型性より Y は ∈ で 整列される． つまり Y は ∈ で整列される推移 ...

ゲーデルと 20 世紀の論理学 第4巻
DDO! JP
https://fuchino.ddo.jp › books › intro-to-set-theo...
PDF
のクラスへの拡張により，(On2,<) のモストフスキ崩壊が存在するが42)，そ. れは推移的なクラスで ∈ で整列されるから，On に他ならない．したがって，. K : (On2,<) → (On, ∈).
129 ページ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/801

805: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/06(土) 21:54:54.52 ID:JgP2aXhR

>>802
(引用開始)
IUT論文IVにV_0 ∈ V_1 ∈ V_2 ∈ V_3 ∈・・・を実現するために
＞Given any set x, there exists a universe V such that x ∈ V.
の公理を使うって書いてあるだろ
「∈」の左側に来るのは集合な
(引用終り)

そこな、IUT IV の付録の部分で本文とは別だよ
あと、下記PDFだよね
”[cf. [McLn], p. 194]”が手元にないから 細かい議論は保留する

別の書物には、別のことが書いてある気がするよ

なお、>>803の数学セミナー 　2025年3月号 池上大祐　
フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？／
グロタンディーク宇宙と到達不可能基数 読んでみて

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
[4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. PDF
　　NEW !! (2020-04-22)
Ｐ67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
We shall refer to such models as ZFC-models. Recall that a (Grothendieck) universe V is a set satisfying the following axioms [cf. [McLn], p. 194]:
(i) V is transitive, i.e., if y ∈ x, x ∈ V , theny ∈ V.
(ii) The set of natural numbers N ∈ V.
(iii) If x ∈ V, then the power set of x also belongs to V.
(iv) If x ∈ V, then the union of all members of x also belongs to V.
(v) If x ∈ V, y ⊆V,andf : x→y is a surjection, theny ∈ V.
We shall say that a set E is a V-set if E ∈ V.
[McLn] S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/805

826: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/07(日) 15:17:08.78 ID:hvfvmXnW

>>813
>１．大抵（引用開始）引用（引用終り）で検索結果の丸コピペか、過去発言の引用から始まる
>２．いずれにしてもその後の当人の文章は、ただの感想文　だいたいナイーブに間違ってる

まず 脱線だが
　”813”か・・・ ラマンジャンのタクシー数の逸話ではないが
下記 怪盗アルセーヌルパンの小説 ”813”を思い出したよ

ところで、下記 多変数関数論の怪人 Professor Siu という人が居て
数学紙に新しい論文が出ると、定理の部分だけを読んで 沈思黙考 30分で だいたいは 証明が浮かぶという
（まあ、数学セミナーのエレガントな解答を求むを 毎回論文のつど やっているようなことだろう）

で、下記”Ohsawa–Takegoshi L2 extension theorem”の論文を読んだとき 30分で証明が浮かばないから 論文が間違っている！ と思ったそうな
それは、確かに 面白い話だと 印象に残っている （多分 次の30分で反例を考えたろうｗ　；ｐ）

さて、この逸話と同じで、おれの書く程度の話は
前提条件がインプットされれば・・、必然 同じ結論に至るだろうし
つまり 命題 P→Q で
条件Pと結論Q を 引用として明示すれば、「→」の部分は おのずと 各人が思いつくだろうということ
（数学なんだものｗｗ）

仮に ナイーブに間違っていても そこは各人が考えればいいだけ
そういう構成を 心がけている ；ｐ）

追伸
オチコボレさんの「間違っている！」は、たいてい オチコボレさんの 思い違いだったなｗｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/813_(%E5%B0%8F%E8%AA%AC)
813 (小説)
『8・1・3』（はち・いち・さん）は、モーリス・ルブランの「アルセーヌ・ルパン」シリーズの一篇で、1910年に発表された

https://en.wikipedia.org/wiki/Yum-Tong_Siu
Yum-Tong Siu (Chinese: 蕭蔭堂; born May 6, 1943) is a Chinese mathematician. He is the William Elwood Byerly Professor of Mathematics at Harvard University.
Siu is a prominent figure in the study of functions of several complex variables.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ohsawa%E2%80%93Takegoshi_L2_extension_theorem
Ohsawa–Takegoshi L2 extension theorem

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/826

840: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/07(日) 15:56:05.42 ID:hvfvmXnW

>>807
>>”V_0 ∈ V_1 ∈ V_2 ∈ V_3 ∈・・・ってやって”は、ノイマン宇宙でも同じでは？
>V_nって宇宙だろ？　だったら違うな

まあ、学部の数学では 宇宙は まず出てこないし
数学屋の中でも ”宇宙”の定番定義は ないだろうよ
下記の 薄葉 季路 (早大理工)氏 などが、これからの学会標準を作っていくのだろう

さて、ゲーデルの Constructible universe L（下記）がある
ノイマン宇宙V グロタンディーク宇宙Uで 集合の記号⊂を流用すると
L ⊂ V ⊂ U となる

あとは、各論文毎に用語”宇宙”の定義について
眉に唾しながら 見てゆくしかないだろうｗ　（＾＾
用語”宇宙”に目くじら立てるのは、基礎論ド素人だけだよｗ　；ｐ）

(参考)
https://www.mathsoc.jp/activity/video/2017spring/0324usuba.html
企画特別講演　2017年度年会 日本数学会
講演者
薄葉 季路 (早大理工)
講演題目
集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
動画 https://youtu.be/WQzlEj1g71M?t=1
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
講演資料
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%9B%86%E5%90%88
ゲーデルの構成可能集合（ constructible universe または Gödel's constructible universe）
構成可能集合全体のクラス L を構成可能宇宙と呼ぶ。
性質
L は全ての順序数を含む最小の ZFC のモデルである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe
Constructible universe
In mathematics, in set theory, the constructible universe (or Gödel's constructible universe), denoted by
L, is a particular class of sets that can be described entirely in terms of simpler sets.
L is the union of the constructible hierarchy Lα.
It was introduced by Kurt Gödel in his 1938 paper "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis".[1] In this paper, he proved that the constructible universe is an inner model of ZF set theory (that is, of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded), and also that the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis are true in the constructible universe.
(google訳)
LはZFCの標準的な内部モデルである
Lは絶対的かつ最小である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/840

858: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/07(日) 21:12:20.02 ID:hvfvmXnW

>>857
>グロタンディクの数学だから
>グロタンディク宇宙使ってるというのは
>典型的な高卒ド素人の妄想

これだから、無知なド素人には困るｗ
といっても、私も似たようなもので 圏論は 2冊かじっただけだが ；ｐ）
グロタンディクの数学＝圏論 で
グロタンディークが圏論好きで 圏論の名手であることは有名だが
彼は、ZFCでは満足出来なかったんだ
圏論のために 宇宙を創造したのだよ（神の如くにｗ）

但し、用語”宇宙”に ２種ある
グロタンディークの50年くらい前の定義と（下記 Streicher, Thomas (2006)ご参照）
最近のは 下記の 薄葉 季路 (早大理工)らの 21世紀 基礎論・集合論屋さんの定義と（池上大祐>>850もこれ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
圏論
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが真のクラスを用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
The concept of a Grothendieck universe can also be defined in a topos.[1]
Notes
1 https://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/NOTES/UniTop.pdf
Streicher, Thomas (2006). "Universes in Toposes" (PDF). From Sets and Types to Topology and Analysis: Towards Practicable Foundations for Constructive Mathematics. Clarendon Press. pp. 78–90. ISBN 9780198566519.
Ｐ3
Grothendieck who introduced this notion for the purpose of a convenient and exible set-theoretic foundation of category theory. More precisely, he suggested to use ZFC together with the requirement that every set A be contained in some Grothendieck universe guaranteeing at least^5 an infinite sequence
U0∈U1∈・・・Un-1∈Un∈Un+1∈・・・
of Grothendieck universes.

Note 5
Actually, postulating choice for classes gives rise to a class function Un that assigns to every set a a Grothendieck universe Un(a) with a Un(a). Then by trans nitely iterating the function Un one obtains incredibly big hierarchies of Grothendieck universes.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/858

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