Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (962ﾚｽ)
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157: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 11:15:18.22 ID:NbOUr+U1

>>150-154
ご苦労様です

ID:+KvL50n5 >>153 「ともかぎらない」
は、御大か
巡回ご苦労様です

１）「数学者に哲学がわかるものか」by 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん
　については、バートランドラッセル が 哲学者謙数学者だったかも https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB
　Alfred Tarski も、数理哲学者だったかも（彼は 文法でも有名）
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Tarski
Alfred Tarski
he also contributed to abstract algebra, topology, geometry, measure theory, mathematical logic, set theory, type theory, and analytic philosophy.
Logical consequence
In 1936, Tarski published Polish and German versions of a lecture, “On the Concept of Following Logically",[41] he had given the preceding year at the International Congress of Scientific Philosophy in Paris.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory

２）「無限回の行為の実行」は、
　21世紀数学では これを否定しない方が 理解が進むだろう
　一例は、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス：1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室に、n号室の客を(n + 1)号室に（同時に）移動させる。すると1号室は空室になり、1人の客を泊めることができる。この手順を繰り返すことで、任意の有限人の新たな客の部屋を作れる
　別に、バナッハ=タルスキーのパラドックス 小澤登高（おざわなるたか）”寄り道. 地獄に囚人が（可算）無限人いる状況を考える”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
パラドックスの内容
無限個の客室があり、「満室」である仮想的なホテルを考える。客室数が有限の場合、「満室であること」と「新たに来た客を泊められないこと」は同値だが（鳩の巣原理）、無限ホテルではそうはならない。
有限人の新たな客
1人の客が来てホテルに宿泊を希望したとする。そこで1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室に、n号室の客を(n + 1)号室に（同時に）移動させる。すると1号室は空室になり、1人の客を泊めることができる。この手順を繰り返すことで、任意の有限人の新たな客の部屋を作れる。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H27-ozawa.pdf
平成27年度(第37回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研
バナッハ=タルスキーのパラドックス
小澤登高（おざわなるたか）
P11
寄り道. 地獄に囚人が（可算）無限人いる状況を考える

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/157

165: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 13:58:23.24 ID:NbOUr+U1

>>163
>数学的に有限（多くは１）ステップを勝手に無限ステップと妄想してるだけ
>そんな妄想してりゃ大学一年四月に授業についていけず落ちこぼれるのも無理は無い

ふっふ、ほっほ
下記 「有限主義者」類似かな？　（＾＾
無限集合は認めるが、操作は有限に限るとねｗｗ

”多くの数学者は厳密な有限主義は制限しすぎていると見なしたが、その相対的な一貫性は認めていた。すなわち、遺伝的（hereditarily）有限集合の領域は、無限公理をその否定と置換したツェルメロ＝フレンケルの公理的集合論のモデルを構成する”
ね。まあ、それでも ”その相対的な一貫性は認められる”かな？

ところで、”＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義 出⼝, 康夫.  哲学論叢. 2002”がヒットしたので貼るね ；ｐ）
さて、いつもお世話になっている 渕野先生 「数学の中の無限—無限の中の数学」百回音読してね
「数学の本質はその自由にある」！
余談ですが、愛媛大学の藤田 博司先生のPDFにはお世話になりました。お礼をば　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
有限集合
基礎付け問題
有限主義者は無限集合の存在を認めず、有限集合にのみ基づいた数学を提唱した。多くの数学者は厳密な有限主義は制限しすぎていると見なしたが、その相対的な一貫性は認めていた。すなわち、遺伝的（hereditarily）有限集合の領域は、無限公理をその否定と置換したツェルメロ＝フレンケルの公理的集合論のモデルを構成する。

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/server/api/core/bitstreams/dbd723b2-e40f-4649-bce6-e1467e10cd64/content
＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義
出⼝, 康夫.  哲学論叢. 2002, 29: 81-104.

https://fuchino.ddo.jp/chubu/infinity-LN.pdf
数学の中の無限—無限の中の数学*1
渕野昌(Saka´e Fuchino) (2021 年10 月29 日 版)

自分としては中学生でも十分フォローできるような内容になるよう十分吟味して準備していたつもりだったので
本稿でも，前半は「中学生でもわかる」というスタンスは保持していますが，後半では高校程度の知識が必要になると感じられるところが二三ヶ所出あるかもしれません．

P8
2 数学の本質はその自由にある

P11
ちなみに，ヒルベルトが集合論擁護派の数学者だったのに対しポワンカレは集合論に対し，懐疑的な立場をとっており，彼の残した言葉には，「Mengenlehre（集合論）は後の世代の人々にとっては，一度かかったがもう治ってしまった病気のようなものと見えるようになるだろう」というものがあるそうです*7．

日本では数学を勉強する学生が現代的な集合論を全く習わない，ということもあり，かなりの数の数学者が，集合論はポアンカレの言ったような意味で「もう治ってしまった病気」になっていると思いこんでいる節があります．集合論はこれらの数学者の考えているように「病気」と言えないこともないのかもしれませんが，もし「病気」という言い方をするなら，その病状は，現在，20世紀の初頭とは比較できないほど複雑怪奇なものに悪化している，と言わざるを得ず，とても「治ってしまった」と言ってすましていられるはずはないのですが...

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/165

191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 17:30:19.46 ID:NbOUr+U1

>>168
>＞無限集合は認めるが、操作は有限に限るとね
>カントールは、無限集合を「要素を空集合から１つずつ加える操作を無限回実行したもの」と定義していない

ふっふ、ほっほ
下記の 「＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義 出⼝, 康夫. 哲学論叢. 2002」
で、有限 or 無限操作に関する記述があったので、少し引用しよう
君たち二人の主張は、哲学的には 構成主義？ｗ
だが、21世紀数学は 実無限を認める人多数だろうさ  ；ｐ）

>>165より再録
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/server/api/core/bitstreams/dbd723b2-e40f-4649-bce6-e1467e10cd64/content
＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義
出⼝, 康夫. 哲学論叢. 2002, 29: 81-104.
P83
2.2 「構成」とは何か 古典主義と構成主義の違いを理解するための第二の準備作業として、次に構成主義の名の由来ともなっている「構成(construction)」とは何かを大まかに見ておこう。 現代数学おいて、構成とは、一般的に言って、アルゴリズムに従った一連の操作であると理解されている。(9) 「アルゴリズムに従った操作」については、それを帰納性(recursiveness)と同一視する「チャーチのテーゼ」による数学的な定義が今日広く受け入れられている。しかし、ここでは以下の非形式的な特徴づけで十分であろう。
即ち、それは、離散的なステップを一つ一つ踏み、予め決められていた規則に従って、つまり決定論的に遂行される、有限回の一連の操作である。(10)
例えば超越数 ? n = 1〜∞ 10^− n !は、
このような意味で、リューヴィルによって「構成」された対象であると言えるが、それには若干の解説を要する。
というのも、この超越数の代数的表現に無限和という無限回操作が含まれている以上、その数を有限回の操作で構成することが一見して不可能であるように思えるからである。
しかし、その超越数を求める操作は、n「各々のnに対して? n =1〜n 10^ − n !を求めよ」という有限個のステップからなる計算規則を、無限回適用したものである。
このことは、この有限回ステップとしての規則を定めるだけで、それを無限回繰り返したら得られる極限値として、上の超越数を一意的に特定することが可能であることを意味する。ここで、極限値としての超越数と、それを特定する有限回の操作規則を同一視するという概念操作が施される。このような概念操作によって始めて、超越数の有限回操作による構成可能性が確保されるのである。(11)
有限回操作の規則と、その無限回繰り返しによって得られる極限値とを同一視するという構成主義の方針を踏まえれば、それが実無限としての可算無限や、非可算無限の導入に反対する理由も明らかとなる。
構成主義が受け入れる「無限」とは、結局、「無限回繰り返し可能な有限回操作」に他ならない。
他方、実無限は「その無限回繰り返しが完了した」ことまでも意味する。
また非可算無限に対しては、無限回の繰り返しによってそれを生み出す有限回操作自体が設定できないのである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/191

199: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 18:13:34.43 ID:NbOUr+U1

メモ貼る

https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN
Activities - Conferences & Seminars
Conferences, workshops, and seminars organized by the members of the AHGT network.
The AHGT Seminar
Next coming talks…
Sep 8, 2025 Anabelian properties of tame fundamental groups of singular curves by Murotani Takahiro, Kyoto Institute of Technology, Japan.

https://researchmap.jp/takahiro_murotani
室谷 岳寛
ムロタニ タカヒロ  (Takahiro Murotani)
MISC  9
https://arxiv.org/abs/2508.01588
Symmetries of spaces and numbers -- anabelian geometry
Benjamin Collas, Takahiro Murotani, Naganori Yamaguchi
arXiv preprint 2025年8月3日

https://en.wikipedia.org/wiki/Anabelian_geometry
Anabelian geometry is a theory in arithmetic geometry which describes the way in which the algebraic fundamental group of a certain arithmetic variety X, or some related geometric object, can help to recover X. The first results for number fields and their absolute Galois groups were obtained by Jürgen Neukirch, Masatoshi Gündüz Ikeda, Kenkichi Iwasawa, and Kôji Uchida (Neukirch–Uchida theorem, 1969), prior to conjectures made about hyperbolic curves over number fields by Alexander Grothendieck. As introduced in Letter to Faltings (1983; see also Esquisse d'un Programme in 1984) the latter were about how topological homomorphisms between two arithmetic fundamental groups of two hyperbolic curves over number fields correspond to maps between the curves. A first version of Grothendieck's anabelian conjecture was solved by Hiroaki Nakamura and Akio Tamagawa (for affine curves), then completed by Shinichi Mochizuki.[1]

The theory has since grown in varieties (absolute, mono-anabelian, and combinatorial versions) and with multiple interactions with number theory, algebraic geometry, and low-dimensional topology[2][3].

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/199

201: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 18:31:40.61 ID:NbOUr+U1

>>192-198
ふっふ、ほっほ
　>>191の「＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義 出⼝, 康夫. 哲学論叢. 2002」
日本の1980年代の大学数学教育は 有限主義的な教え方が主だったろう
だが、その後 ”超準解析”が広まっていった
21世紀では、スコーレム流の有限主義は 古いと思うねｗ　；ｐ）
加藤文元氏 メンタルピクチャーや  Terence Taoの“big picture”としても イマイチだろう（時代おくれ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
微分積分学の歴史（英語版）は、流率法（英語版）あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析（英: nonstandard analysis）[1][2][3]は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった[4][5]。無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある。
教育的
ハワード・ジェローム・キースラー、デイビット・トールやその他の教育者らは、無限小の使用は学生達にとって"イプシロン-デルタ"アプローチよりもより直感的かつ容易に解析学的概念を把握することができるものである、と主張する[12]。

（>>8-9より再録）
加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
IUTに欠落しているのは、メンタルピクチャー＆形式化図式か
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/201

202: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 18:32:10.64 ID:NbOUr+U1

つづき

形式化された理論
メンタルピクチャーの対極にあるのは、形式化（formalize）されコード化された理論（FT）だ。
数学の研究論文における形式的●●●議論は、例えばLean4やCoqなどのコンピューター言語による形式化からすれば、まだまだ「非形式的（informal）」なものだろう。人間のやる数学はまだまだインフォーマルであり、行間が広く、とてもとても形式的議論とは言えない。
とはいえ、ここで「メンタルピクチャー（MP）」の対極にある概念としての「形式化された理論（FT）」は、人間の書いた論文の議論のようなものも含む、広い概念である。そして、数学の厳密化とか精密化とは、このような緩い意味での形式化
(*)　　MP ーーーー形式化ー＞ FT
のことである。

形式化図式と数学の「理解」
形式化図式は数学を「理解する」という行為の内実とも、深く関係している。人間による数学の理論とは、単なるコードの連なりとして理解することではない。それは理論のメンタルピクチャー（MP）と、それと形式的理論との関連付け、すなわち形式化図式を構築することである。メンタルピクチャーだけによる理解は危険であるが、メンタルピクチャーによる裏付け・接地のない理解は不健康である。それは健康でないだけでなく、理解の深さがないという意味でも、完全な理解とは言えない。

＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
3. The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/202

205: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 20:36:34.16 ID:/ZwuI2/k

>>201
ふっふ、ほっほ
下記 砂田利一先生「数学の発展と展望」（「数学通信」第２１巻（２０１６年度）第４号）
を追加しておく

時代は、有限主義から 「実無限」を認める方向へ
動いているよ　；ｐ）

(参考)
https://www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index21-4.html
「数学通信」第２１巻（２０１６年度）第４号目次
数学の発展と展望 砂田　利一 ２３

https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf
数学の発展と展望∗明治大学総合数理学部
砂田　利一
Ｐ2
2　無限の概念
19世紀後半まで歴史の中で大きな影響を与えたのはアリストテレス（前384–前355）である．
彼は，無限には「実無限」と「可能無限」の2種類があって，可能無限は認められるが，実無限は存在しないと考えた．
カントルの集合論は，まさにアリストテレスに対するアンチテーゼなのである．
念のため，「実無限」と「可能無限」の意味を与えておく．
可能無限：無限を把握出来るのは，限りがないということを確認する操作が存在していることだけで，無限全体というのは認識出来ないとする立場
実無限：無限の対象の全体性を把握して，無限が実際に存在しているとする立場
例えば，自然数は，1, 2, 3, 4,··· というように，順に数え上げていくことで認識される対象であるというのが可能無限的考え方であって，
他方，自然数全体の集まりを一挙に認識し，それを例えば記号Zで表すというのが実無限的考え方である．
「可能無限」は人間の認識能力の限界の中で確かめられる無限であり，実無限は有限の存在である人間の及ぶところではない超越的な無限と言ってもよい．
このような理由から，哲学者の多くは，集合論上で構成された現代の数学理論を認識論的に問題があると主張する．
例えばヴィトゲンシュタイン（1889–1951）は，「集合論はまったくのナンセンスであり，笑うべきもの，そして根本的に誤り」であると言う．
一方，ヒルベルト（1862–1943）は，メタ数学（数学理論を語るための数学）は有限的でなければならないが，矛盾が生じない限り，論理上の実無限は認めるべきであるという．

P6
4　展望
数学の将来を語る場合，人工知能（AI）と数学の関係は無視できない話題である．既にAIはプロの碁と将棋の棋士を打ち負かし，さらに人間のみが関われると考えられていた分野へAIが進出する勢いは加速しつつある．数学も例外ではない．とは言え，人工知能がどこまで発展し，数学研究に影響するのかは，実際には予測不可能と言うのが正直な思いである．無理をすると，「何でもあり」，「言いたい放題」の予測ということになりかねない．確かなことは，4色問題やケプラー予想の解決に援用されたように，数学研究におけるコンピュータの使用はこれからも増えていくだろうし，中でもシミュレーションでは増々大きな力を発揮するだろう．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/205

231: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 11:04:05.22 ID:nzEtO0b1

>>225-230
(引用開始)
ごもっとも
１つずつ付け加える、というからには最後の操作がある、と考える
最後の操作がなくて完了した、とする場合、
１つずつ付け加えたのではない、ということになる

無限公理は当然独断だから飛躍である
別の公理から証明される定理ではない
そのような公理を設定することが
無限回の操作の完了を認めるに等しい
というのだろうがそれはただの妄想である
(引用終り)

やれやれ、「加藤文元氏 メンタルピクチャーや  Terence Taoの“big picture”」>>201
が幼いな。君たちは勉強不足
それじゃ、21世紀の現代数学は無理ｗ　；ｐ）

ここは、中高一貫生も来る可能性があるので、赤ペン先生をしておく
１）まず、カントールが 無限を測る尺度を二つ導入したことを思い出そう（下記）
　一つは濃度で、もう一つが順序数だ
　そして、フォンノイマン基数割り当てで、無限基数は極限順序数であり
　極限順序数は、「後続順序数でない順序数」である。１つずつ付け加えるという順序数の操作では 到達できないのは当然（集合論の常識）
　だが、無限公理を認めれば、極限順序数は存在し 即ち無限基数（アレフ ℵ0、ω など）も存在するのだ
２）さて、これを踏まえて 無限操作をどう考えるか？
　無限操作で ”最後の操作”とか考えるのは、おろかだよ。アレフ ℵ0、ω は、「後続順序数でない順序数」なのだから

この二人は、1980年代でオチコボレさんになった
勉強不足だよねｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
集合論において、濃度（英: cardinality カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである[1]。
集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された[2][3]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
集合論において、順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数（英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/231

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