Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (908ﾚｽ)
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60: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 15:58:28.13 ID:KYsCHIBD

>>39 補足
>フレーゲの論理学は現今の言葉で言えば，2階述語論理である(しかし当時は１階も２階もなかった)

１）下記『二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い』
　が ラッセルのパラドックスなどの問題から
　20世紀前半は、一階述語論理限定が主流だった
２）『近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある』（下記）
３）『ゲーデルの加速定理』（下記）があって
　”n階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在する”
４）圏論で、高階の論理が使えれば 数学的加速ができる
　そういうことですね（たぶん）　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い
二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる

歴史と論争
フレーゲは量化の種によって異なる変項を使っていたが、彼には2種類の異なる論理を扱っているという認識はなかった。ラッセルのパラドックスによって、その体系に問題があることが明らかとなった。論理学者らは問題を解決すべく、フレーゲの論理に制限を加える各種方法を検討し、それが一階述語論理となった。一階述語論理では、集合や属性は量化できないことになった。このような論理の階層化がこのころ初めてなされるようになった
一階述語論理を使うと、集合論を公理的体系として形式化できることがわかり（完全性の問題はあるが、ラッセルのパラドックスほど悪いことではない）、公理的集合論が生まれ、集合は数学の基盤となった。算術、メレオロジー、その他の様々な論理的理論が一階述語論理の範囲内で公理的に定式化でき、ゲーデルやスコーレムが一階述語論理に固執したこともあって、二階や高階の述語論理はほとんど省みられなかった
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した
計算複雑性理論への応用
有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理は、クルト・ゲーデルにより証明された、数理論理学における定理である
それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである

https://fuchino.ddo.jp/papers/speedup-th-ex.pdf
科学基礎論研究 2018
数学と集合論—ゲーデルの加速定理の視点からの考察 —渕野 昌

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/60

64: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/23(土) 17:38:54.14 ID:XQOxXTSd

>>60
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理

■意味論
二階述語論理では2種類の意味論 standard semantics と Henkin semantics がある。
どちらの意味論でも、一階述語論理の範囲内の意味論（一階の量化、論理和や論理積など）は一階述語論理と同じである。
異なるのは、二階の変項への量化の解釈である。

standard semantics では、その種の集合や関数すべてに対しての量化と捉える。
従って、一階の変項のドメインが明確化されれば、全ての量化の意味が固定される。
これにより、二階述語論理の表現能力がもたらされる。

Henkin semantics では、二階の変項にはそれぞれの種ごとにドメインがあり、その種の集合や関数全体の真部分集合の場合がある。
ヘンキン(1950) がこの意味論を定義し、一階述語論理で成り立つゲーデルの完全性定理とコンパクト性定理が、
Henkin semantics と組み合わせた二階述語論理でも成り立つことを証明した。
これは Henkin semantics が多種の一階述語論理とほぼ等価であるためである。
Henkin semantics を伴った二階述語論理は、一階述語論理と同等の表現能力しかない。
Henkin semantics は主に二階算術の研究で使われている。

■推論体系
論理の推論体系（あるいは演繹体系）とは、推論規則と論理公理の集合であり、論理式の並びが妥当な証明となっていることの根拠となる。
二階述語論理には、いくつかの推論体系があるが、standard semantics に対して完全と言えるものは存在しない。
どの体系も健全であり、証明に使える全ての文は適当な意味論において論理的に妥当である。

最も弱い推論体系は、一階述語論理の標準の推論体系（例えば自然演繹）に二階の項の置換規則を加えたものである[2]。
この推論体系は二階算術の研究で主に使われている。

Shapiro (1991) と ヘンキン(1950) が検討した推論体系は、内包公理と選択公理を追加したものである。
これら公理は二階述語論理の standard semantics に対して健全である。
Henkin semantics の場合は、それら後置を満足するよう考慮した Henkin モデルであるときだけ健全と言える。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/64

67: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 18:25:37.00 ID:KYsCHIBD

>>60 追加

・高階直観主義論理とトポス 荒武永史（下記）
『高階直観主義理論に対応する圏のクラスがトポスである。高階直観主義
　論理とトポスについても、構文圏・函手的意味論・トポス値意味論を議
　論できるがここでは扱わず、内部論理のみを扱う。以下の説明で
　▶トポスの圏構造があれば高階直観主義論理を解釈できる』
・『位相空間上の層』

要するに、グロタンディークは 圏論使いの達人だった
彼は、代数幾何を圏論で扱うために”トポス”を考えたという
”トポス”は、高階なので 実は加速定理を使っているという意味あいもあるのです
”トポス”と”層”も、ご親戚　；ｐ）

(参考)
https://researchmap.jp/hisashi-aratake/presentations/
荒武 永史 アラタケ ヒサシ  (Hisashi Aratake)
経歴  6
2024年4月 - 現在小山工業高等専門学校, 一般科, 助教
2021年8月 - 2024年3月京都大学, 数理解析研究所, 研究員
学歴  3
2017年4月 - 2021年7月京都大学, 大学院理学研究科, 数学・数理解析専攻 博士後期課程
2011年4月 - 2015年3月京都大学, 理学部, 理学科
https://researchmap.jp/hisashi-aratake/presentations/41535371/attachment_file.pdf
高階直観主義論理とトポス 荒武永史
ロジックウィンタースクール 2023年
P5
高階直観主義理論に対応する圏のクラスがトポスである。高階直観主義
論理とトポスについても、構文圏・函手的意味論・トポス値意味論を議
論できるがここでは扱わず、内部論理のみを扱う。以下の説明で
▶トポスの圏構造があれば高階直観主義論理を解釈できる
▶高階直観主義論理はトポスの内部論理として充分な表現力を持つ
という2 点を納得できればOK
P18
位相空間上の層
位相空間X の開集合たちが成す順序集合をO(X) で表す。

https://uemurax.github.io/pdfs/topos-and-hol.pdf
トポスと高階論理∗ Taichi Uemura  2018 年12月9日
P6
3 高階論理のモデル
高階論理のトポス意味論を与え、その健全性を見る。T=(T,Σ,A)を高階理論、E をトポスとする。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
トポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である
数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった
歴史
グロタンディークはスキームとトポスとを同じ年に見いだしたと『収穫とまいた種と』で回想している。実際にグロタンディーク・トポスの一般論が整備されたのはSGA IVでの彼自身による発表の中でだった。その後ウィリアム・ローヴェアが集合論のモデルとしての可能性を見いだし、強制法との関連、ドリーニュの定理のとらえ直しなど記号論的な認識が深められた

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/67

80: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 22:15:12.23 ID:KYsCHIBD

>>70
これは これは ヒキコモリ数学者の 基礎論研究くんか？
お元気そうでなによりだ
まあ、がんばれよ

>>71-75
こっちは、数学科オチコボレさんのおサルさんかい？（>>10 ）

>>36-37 に書いたが
21世紀の集合論に２種あり。
自然言語主体の素朴集合論と、形式論理の公理的集合論
さらには、一般の数学は 普通の数学論文やテキストは、自然言語が主で
さらに うまく 圏論や素朴集合論や、公理的集合論のいいとこ取りを組み合わせて
書かれているのが ふつう

AI時代は、形式論理の公理的集合論の部分には コンピューター処理が入ってくるだろう
（現在でも、コンピューターによる自動証明が研究されているし、MathematicaもAI化されている）

人間の数学は、これらのコンピューター処理の援用を前提として
数学研究を考えた方がいいだろう

実際、IUTでも フェルマー最終定理の別証明は 理論的に定数nで ある数以上は
フェルマー最終定理の整数解が存在しないことを示して、nが小さいところを
コンピューター処理で潰している
周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化も同様

あたかも、円周率πの小数展開において
シャンクス 手計算で 小数点以下第527位まで正しい計算をしたが
いま、コンピュータの利用で 300兆桁に到達しているごとし

おサルさん、君でも数学研究ができるかもよｗ　；ｐ）

(参考)
https://www.wolfram.com/artificial-intelligence/index.php.ja?source=footer
Wolfram流
ハイブリッドAI：生成AIを超える
Wolframの配備でAIを強化する
すぐに使える計算AI製品
Wolfram|Alphaは2009年から信頼できるAIの開発をリードしてきました．事実データに支えられた緻密な計算を使って，多様なトピックについて専門家レベルの答を解析し可視化します．WebサイトまたはAPIから直接アクセスできます．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
数論の結果
2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した。[79][80] [81]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
円周率
1873年、ウィリアム・シャンクスは彼自身の手で小数点以下第707位までを計算した（ただしその結果は途中で生じた誤りにより小数点以下第527位までしか正しくなかった）
コンピュータの利用
2025年4月2日に、Linus Media Groupは円周率300兆桁を7ヶ月半掛けて計算した[35][36]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/80

85: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 23:10:13.92 ID:KYsCHIBD

>>75
>「有理コーシー列の極限で実数を構成する」
>これがどれほどバカ発言か分かってないのが痛い
>有理数Qが完備でないからこそ実数の構成が必要なのに、根本から分かってない

それ、君だろ？（下記）ｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 ℚ は完備でないが、これは例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
例
有理数全体の成す集合に差の絶対値によって定義される標準距離函数を備えた空間 ℚ は完備でない。例えば
略
で定義される列を考えると、これは有理コーシー数列だが如何なる有理数にも収束しない。実際、これが何らかの有理数 x に収束するならば、x は x^2 = 2 を満たさねばならないが、これを満たす有理数は存在しない。しかしながら、同じ列を実数列と考えるならば無理数である √2 を極限に持つ。

同様に単位開区間 (0, 1) に絶対値による距離を入れた空間は、やはり完備でない。例えば xn ≔ 1/n
で定義される数列はコーシー数列だが極限は元の空間に入らない。一方、単位閉区間 [0, 1] は完備である。先ほどと同じ列はこの空間内に極限を持ち、0 に収束する。
実数全体の成す空間 ℝ や複素数全体の成す空間 ℂ（ともに絶対値による距離を入れる）は完備であり、同様にユークリッド座標空間 ℝn も通常の距離函数に関して完備である。これと対照的に、無限次元ノルム線型空間は完備になることもならないことも起こり得る（完備な場合をバナハ空間と呼ぶ）。

任意の素数 p に対して、p-進数全体の成す空間 ℚp は完備である。この空間は有理数の空間 ℚ を p-進距離で完備化したものである（同様の仕方で、ℚ を通常の距離で完備化したものは実数の空間 ℝ になる）

https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers（実数の構成）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/85

91: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 23:44:05.04 ID:KYsCHIBD

>>37 補足
(引用開始)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%9C%B4%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
素朴集合論
形式論理を用いて定義される公理的集合論とは異なり、素朴集合論は非形式的に自然言語で定義される
方法
「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である
(引用終り)

さて
１）”「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である”
　日常の殆どの数学の場面が、自然言語を使用して 述べられる
２）”操作”という用語自身さえ、公理的集合論の正規の用語ではない
　なぜならば、”操作”を 公理的集合論内に取り入れるには、用語”操作”を定義する必要がある
　さらに その定義に使った用語を また 定義する必要が出てくる
　だから、不必要な用語は、公理の外が良い
３）さて、日常の数学では 無限集合を扱う場合に 自然言語で 無限操作を考えることはよくある
　例えば、下記の「箱入り無数目」”可算無限個ある箱に 実数を入れる”など
　無限集合を 自然言語で扱う以上、無限操作を考えることは当然ありだ （極限？ およびじゃない）
　下記 Sergiu Hart氏も Let X = R^N countable infinite sequences of real numbers としている
　また 区間[0,1]の有理数の”infinite decimal expansion 0.x1x2...xn...,”を考える
　無限小数だね （極限？ およびじゃない）

要するに、日常の数学では 無限集合を扱う場合に 自然言語で 無限操作を考えることはよくあるってことよｗ　；ｐ）

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/1-5
(参考)時枝記事
https://imgur.com/a/8bqlb08 (リンク切れてしまったが そのうちにｗ)
数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401-406 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
略.そして箱をみな閉じる.

(参考)
http://www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
http://www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/91

92: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 23:44:28.13 ID:KYsCHIBD

つづき

P2
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.2 Consider the following two-person game game2: • Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}. • Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi; then he writes down a digit ξ ∈ {0,1,...,9}. • If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi= ξ then Player 1 wins. By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0,1,...,9}, Player 2 can guarantee a win with probability 1/10. However, we have: Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 − ε.

Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/92

102: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/24(日) 07:39:25.64 ID:jDvM1F2N

◆yH25M02vWFhP のトンデモ数学用語
「素朴集合論」

36
>”素朴集合論”というか自然言語を援用する論理
37
>素朴集合論は非形式的に自然言語で定義される。
>素朴集合論は多くの目的に十分であると同時に、
>より形式的な取り扱いへの足がかりとしても有効である。
>「素朴集合論」という意味での素朴理論は、形式化されていない理論、
>つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である。
>…素朴集合論とその形式主義は、便利であるため、
>集合論自体のより形式的な設定を含め、
>より高度な数学でも用いられている。

素朴集合論は「自然言語を用いるから素朴」とおもってる馬鹿（笑）

素朴集合論が素朴なのは「集合とはものの集まり」と考えてるから

例えば、素朴集合論では
ある性質を満たす集合全体の集まりも集合（内包公理）
だがそう考えると矛盾する
単純に集合全体の集まりを集合と考えても矛盾
また自分自身を含まない集合全体の集まりを集合と考えても矛盾

ツェルメロの公理的集合論ではこの矛盾をなくすために
「集合とはものの集まり」と考えるのをやめた
例えば
「ある性質を満たす集合全体の集まりは集合である」（内包公理）をやめて
「集合の集合の中で、ある性質を満たす集合全体の集まりは集合である」（分出公理）とした

また、無限集合は無限操作で構成するなどできないから
代わりに無限公理を立てた
「空集合を要素とし、任意の集合ｘについてｘが要素ならｘ∪｛ｘ｝も要素であるような集合が存在する」

>>80
>自然言語主体の素朴集合論と、
>形式論理の公理的集合論
>さらには、一般の数学は 普通の数学論文やテキストは、自然言語が主で
>さらに うまく 圏論や素朴集合論や、公理的集合論の
>いいとこ取りを組み合わせて書かれているのが ふつう

完全な馬鹿

公理的集合論も自然言語で語れる
しかしそのことをもって
「公理的集合論も自然言語で語れる」
というバカはいない
素朴集合論も形式化可能だが
「素朴集合論は形式化できるから無矛盾」
というバカもいない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/102

109: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 10:59:36.13 ID:+A9mxT/6

>>108
そのAIはGrokだね

さて、マイクロソフトのCopilot くんの回答
Q.５ｃｈ数学板でこんな書き込みを見つけた 「21世紀では自然言語を援用する論理が復権している気がする その中で、集合論より 圏論が使われる場合が増えている気がする ”圏は対象とその間の射からなる構造”であり、 自然言語を使わずに 形式論理などを避ける圏論は ”意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性がある”」 この発言の主に何かいう言葉はありますか？

A.これはなかなか鋭い観察ですね。発言者の視点に対して、以下のような応答が考えられます：

🧠 「興味深い指摘ですね」
21世紀に入ってから、形式主義一辺倒ではなく、意味論や自然言語との接続を重視する傾向が強まっているのは確かです。とくに圏論は、対象と射という抽象的な枠組みで構造を捉えるため、言語的な曖昧さを排しつつも、柔軟な意味論を許容する点が魅力です。
📚 「集合論 vs 圏論という対比について」
集合論が“要素”に焦点を当てるのに対し、圏論は“関係性”に焦点を当てます。この違いが、自然言語的な論理や高階論理との親和性に繋がっているという指摘は、まさに現代的な視点です。とくに圏論的意味論（categorical semantics）は、型理論や論理のモデル化において重要な役割を果たしています。
🧩 「形式論理を避ける圏論という表現について」
ここは少し補足したくなります。圏論は形式論理を“避ける”というより、“再構成する”枠組みとも言えます。例えば、圏論的論理（categorical logic）は、命題論理や述語論理を圏の言葉で表現する試みであり、むしろ形式論理を圏論の枠内で再定義しているとも言えるでしょう。
🔍 「自然言語との接続について」
最近では、圏論が計算言語学や意味論、さらにはAIの文脈でも応用されており、自然言語の構造を圏論的に捉える試みも進んでいます。例えば、Lambek圏やモノイド圏を使った文法のモデル化などが挙げられます。

この発言者には、「あなたの視点は現代数学と論理の潮流をよく捉えている」と伝えたくなりますね。もしこの話題をさらに掘り下げるなら、「圏論的意味論と高階論理の関係」や「集合論的基礎と圏論的基礎の哲学的違い」なども面白い切り口になりそうです。
どちらの方向に話を広げてみましょうか？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/109

119: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 16:57:37.03 ID:+A9mxT/6

>>95
>N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
>が読めずに発狂してたじゃん

あたま固そう
それ下記 ja.wikipedia ペアノの公理 ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
だね(未確認飛行 C さんもついでに引用しておく)

さて、ZFC公理として 自然数の集合Nを公理的に構築する立場から批判する
１）素朴集合論では、下記「集合の代数学」ja.wikipedia にあるように
　集合積∩は、基本的な集合演算だが
　下記 ツェルメロ＝フレンケル集合論では、和集合の公理はあるが、集合積∩の公理なし！
　つまり、集合積∩については、他の公理から導く必要がある
２）無限公理 ja.wikipedia にあるように
　「無限集合Iから自然数を抽出する」では、集合積∩を使っていない！
　他の言語 wikipedia 英仏独とも 集合積∩を使っていない
　それで済むならば、わざわざ 集合積∩を使う必要ない
３）もし わざわざ 集合積∩を使いたいならば、ZFC公理系で 集合積∩をZFC上で定義したうえで
　あなたの”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が、下記の 無限公理 ja.wikipedia の
　”無限集合Iから自然数を抽出する”と同様に やれればいいが・・ｗｗｗ
　そのうえで、集合積∩を使う利点を述べよ。利点がないならば、シンプルな方が良いぞ■

<再録> https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/64 より
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
２）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/185
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6
集合の代数学
和集合と共通部分に関する二項関係は、さまざまな恒等式を満足する
結合法則:
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
分配法則:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
5. 和集合の公理

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/119

120: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 16:58:04.27 ID:+A9mxT/6

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
一階述語論理の原始的な記号だけを用いて、この公理を表記すると
略
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
一部の数学者はこのような方法で構築された集合をinductive set（英語: inductive set）と呼ぶ。
自然言語でこの公理を記述すると、「集合𝐈で、𝐈は空集合を要素にもち、任意の𝐈の要素xに対して、x自身とxの各要素を要素とする𝐈の要素yが存在するような集合𝐈が存在する」となる
無限集合Iから自然数を抽出する
無限集合Iはすべての自然数を含んでいるが。自然数全体が集合となることを示すために、分出公理を使って不要な要素を取り除いて、残った集合Nが自然数全体からなる集合である。この集合は外延性の公理により一意である
自然数を抽出するために、どの集合が自然数であるかを定義する必要がある。外延性の公理とaxiom of induction（英語: epsilon-induction）以外の公理を使わずに自然数を定義することが可能である。nが自然数であるとは0であるか何かの後続であり、かつ、nの各要素も0であるかnの要素の後続であることと定める。形式的に書くと
略す
他の方法
以下のような他の方法もある。
Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。つまり
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x)))
とする
おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである。これを形式的に書くと、次のような集合
Wが一意に存在することを示したい。
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)) (*)
存在については、無限公理と分出公理を使って証明する
Iを無限公理によって保証された帰納的集合とする。分出公理を使って集合
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}を取り出す。つまり
WはIの要素のうち、あらゆる帰納的集合に含まれているものを集めてきた集合である。明らかに(*)を満たす
なぜなら、x∈Wと仮定すると、xはすべての帰納的集合に含まれているし、
xがすべての帰納的集合に含まれているとすると、もちろんIにも含まれているから
Wにも含まれている
一意性については、(*)を満たす集合はそれ自体帰納的集合であることに注意する

（なお 機械翻訳コマンドが使える）
英語版 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
仏語版 https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
独語版 https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/120

123: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 17:35:48.61 ID:+A9mxT/6

>>117
ご苦労様です

>一階述語論理

多分 ”一階述語論理”しばりなのが、だれも 実務の数学で
ZFCとか公理的集合論を使わなくなった理由だろう
いまどきの数学は、複雑化しているから ”一階述語論理”しばりでといわれてもね　；ｐ）
書く方も 読む方もたまらんでしょ
例えば、「線形代数」の教科書について
自然言語を封印して
ZFC公理系だけで完璧に書くことを考えてみると
∀と∃のお化けになるだろう

>圏論的論理（categorical logic）は、命題論理や述語論理を圏の言葉で表現する試みであり

一方、圏論は 現代数学で多用されているよね、グロタンディークの時代から
自然言語では 表現できない部分を、圏論がうまく補っている気がする
だから、21世紀の数学では 圏論は、ますます使われるようになるだろうね
参考に下記の資料をば ；ｐ）

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/category.pdf
圏と関手(2012〜)
千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限 (2012〜)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/module.pdf
加群について (2014〜)

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcss/28/1/28_2020.075/_article/-char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcss/28/1/28_2020.075/_pdf
認知科学 2021 Volume 28 Issue 1 Pages 57-69
特集：圏論は認知科学に貢献できるか
圏論的な〈ものの見方・考え方〉入門
西郷 甲矢人

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/123

133: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 22:45:35.37 ID:+A9mxT/6

>>130
>高校生に無限級数は無限回の足し算ですって言ってみな？　鼻で笑われるから

>>96より
(引用開始)
「可算無限個ある箱に任意に実数を入れる」のどこにもひと箱ずつとは書かれていない。書かれていないことが見えるのは病気。
上記「」内は ∀s∈R^N を意味しており、無限操作を考える必要はまったく無い。
(引用終り)

さて>>91-92 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
略.そして箱をみな閉じる.

Sergiu Hart
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates).
P2
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.2 Consider the following two-person game game2: • Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}. • Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi; then he writes down a digit ξ ∈ {0,1,...,9}. • If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi= ξ then Player 1 wins. By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0,1,...,9}, Player 2 can guarantee a win with probability 1/10. However, we have: Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 − ε.

要するにだ、”「可算無限個ある箱に任意に実数を入れる」のどこにもひと箱ずつとは書かれていない”
と君は言ったね

で、この可算無限個ある箱の数において
Sergiu Hart 氏は、有理数の10進小数展開の各桁の数を箱に入れて
without using the Axiom of Choice.2 を考えたんだ
つまり、これは 有理数の無限小数展開だよね
で、”infinite decimal expansion 0.x1x2...xn...,”は
極限ではなく 真の無限小数展開を考えているんだよね
真の無限小数展開とは、無限級数であり それは『無限回の足し算です』よ
ひと箱ずつであろうが、全箱に一度であろうが 同じ
まあ、高校生以下の君にはこの理屈は難しいだろう■ｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/133

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