Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

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83: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/30(水) 18:27:39.19 ID:2NlqhhKB

>>82
ついでに

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/indexj.html
京都大学数理解析研究所コンピュータ・サイエンス研究部門
長谷川 真人 （はせがわ・まさひと） （教授）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
自己言及の論理と計算∗
長谷川真人
自分自身について述べることの難しさと面白さは，日常誰でも経験することだと思います．以下では，数理論理学と計算機科学の密接な関係を示す好例として，自己言及から生じる様々なパラドックスなどの数理論理学における問題，また自分自身を呼び出すような再帰的なプログラムやデータ構造に関する問題などについて，統一的な視点から考察します．また，後半では，自己言及現象の自明でないモデルの例を，実際に構成します．
目次
I 自己言及と対角線論法
１ ラッセルの逆理
２ カントールの対角線論法
以下略

１ ラッセルの逆理
ラッセル（Russell, B.A.W., 1872-1970）は，有名なパラドックスを指摘することにより，安易な集合論の定式化が矛盾をひきおこすことを示した．ラッセルのパラドックス(のよく引用されるヴァージョン)とは以下のようなものである．

ラッセル集合とは，それ自身を要素として含むような集合のことであるとする．
すなわち，X ∈ Xであるような集合Xのことをラッセル集合とよぶことにする．
さて，Mを，ラッセル集合でないような集合の集合であるとしよう1．
このとき，M自身はラッセル集合だろうか？
もしMがラッセル集合だとすると，ラッセル集合の定義よりM∈Mである．
しかし，これはMの元はラッセル集合ではないことと矛盾している．
ところが，Mをラッセル集合ではないと仮定してみても，Mはラッセル集合でないような集合の集合だったから，
M∈Mであり，したがってMはラッセル集合となる．

以下では，導入として，この良く知られたパラドックスと，
数学基礎論や計算の理論などにおける関連した話題について解説する．
その後，それらに共通する数学的構造を，一種の不動点定理として定式化し，
一般的な視点から考察する．
ところどころで数学基礎論，直観主義論理，圏論，プログラミング言語などの知識を要するところも出てくるが，馴染みのない事柄については，とりあえずとばして頂いてかまわない．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/83

675: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 07:51:14.19 ID:psDSFTci

>>664-670
ここは、中高一貫校生が来る可能性があるので
書いておくが　；ｐ）

>>”σ集合体では加算個の演算が自由にできる”
>加算個は可算個の誤記として、

そこね >>663 確率論基礎 重川 P6からの転記だが
重川先生の誤記だね。教えてあげると 喜ぶだろう　（＾＾

さて、下記 確率の公理 にその答えの記述がある
百回音読してね
なお、『簡単な例：コイントス』があるよね
コイン投げの可算回も可！！！ｗｗｗ ；ｐ）
サイコロ投げも 同じだ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
確率の公理
コルモゴロフの公理は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフが導入した、確率論の基礎となる公理である[1]
コルモゴロフによる公理系
略
公理5と6より、次の一般化加法定理（完全加法牲）が導かれる[7]。
一般化加法定理
集合列
{An}n∈N は、互いに素であり、
⋃n=1〜∞An∈Fならば、
P(⋃i=1〜∞Ai)=?i=1〜∞P(Ai).
一般化加法定理を満たす
P は、F が生成する完全加法族（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である[8]。
簡単な例：コイントス
一回のコイントスを考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする（両方は起きえない）。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。
略
上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
完全加法族
完全加法族（英: completely additive class [of sets], completely additive family [of sets]）とは、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集合である。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。

可算加法族（英: countably additive class [of sets], countably additive family [of sets]）、(σ-)加法族（（シグマ）かほうぞく、英: σ-additive family [of sets]）、σ-集合代数（シグマしゅうごうだいすう、英: σ-algebra [of subsets over a set], σ-set algebra）、σ-集合体（シグマしゅうごうたい、英: σ-field [of sets]）[注 1]ともいう。

この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である[1]。

いくつかの等価な定義がある。
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/675

788: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/19(火) 07:31:51.19 ID:6rG8V9j8

>>784 補足
>（なお、高木は”「発散級数は和を有しない」とはコーシーの標語である”と特筆している。

コーシーの後の世に、有理型関数で ミッタク＝レフラーの定理 などが考えられた
正則関数が 無限級数展開を持つことを認めると 有理型関数においては
無限級数が無限大に発散する→極 と解することができて
発散級数に意味を与えることができる。現代数学では、そういうケースは山ほどあります　（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%83%E3%82%BF%E3%82%AF%EF%BC%9D%E3%83%AC%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ミッタク＝レフラーの定理
複素解析において、ミッタク＝レフラーの定理（Mittag-Leffler's theorem）とは、前もって与えられた極を持つ有理型関数の存在に関する定理である。一方、ワイエルシュトラスの因数分解定理は、前もって与えられた零点を持つ正則関数の存在を主張する定理であり、本定理と対をなす。この定理の名称は、ヨースタ・ミッタク＝レフラー (Gösta Mittag-Leffler) に因んでいる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function
Meromorphic function
（google訳）
有理型関数
複素解析で、複素平面の開部分集合D上の有理型関数とは、関数の極となる孤立点 の集合を除くD全体にわたって正則な関数のことである。この用語はギリシャ語のmeros ( μέρος )に由来し、「部分」を意味する
D上のすべての有理型関数は、D上で定義された 2 つの正則関数(分母が定数 0 ではない)間の比として表すことができます。つまり、任意の極は分母のゼロと一致する必要があります。
ヒューリスティックな記述
直感的に言えば、有理型関数とは、2つの行儀のよい（正則な）関数の比です

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/788

866: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/20(水) 16:34:57.19 ID:n7uBTsIt

つづき

Another example is the set of proper and bounded open intervals of real numbers with rational endpoints.
ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
In mathematics, the axiom of dependent choice, denoted by
DC, is a weak form of the axiom of choice (AC) that is still sufficient to develop much of real analysis. It was introduced by Paul Bernays in a 1942 article in reverse mathematics that explores which set-theoretic axioms are needed to develop analysis.[a]
Relation with other axioms
Unlike full AC, DC is insufficient to prove (given ZF) that there is a non-measurable set of real numbers, or that there is a set of real numbers without the property of Baire or without the perfect set property. This follows because the Solovay model satisfies ZF+DC, and every set of real numbers in this model is Lebesgue measurable, has the Baire property and has the perfect set property.
The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences.
If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)
(引用終り)

１）いま、例示として 自然数N={0,1,2,・・}を取る
　それを 素直に 整列させて 0,1,2,・・ とすれば 下記の順序数でいうところの列長さωになる
　これは、可算選択公理 ACω で可能
　ところが、もし 偶数を先に全部並べて後 奇数を並べると
　0,2,4,・・・、1,3,5,・・・ となる。これは列長さω + ωであるから
　可算選択公理では 一度には無理
（このように複雑な列構成の場合には 可算選択公理の列ω長さの能力を超える場合がありうる）
２）同じ理屈で 可算集合である有理数Qにおいて、Qから列長さω を生成することは可能だが
　Qを任意順にすべて整列することはACωでは不可
３）フルパワー選択公理ならば、任意列長さを出力可能

冒頭のオチコボレさんの妄言は、無意味■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/866

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