Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

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732: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/17(日) 14:46:27.11 ID:TyT53DUJ

>>728
>>無限回の繰返し演算について現代数学の理論で十分正当化できる

・君には、C^∞ 級 無限回微分可能と C^ω 級 解析函数と
　この差 理解できないだろう
・下記の佐々木浩宣 千葉大「至るところ実解析的ではない無限回微分可能な関数」を百回音読してね
・なお、超関数で シュワルツのは C^∞ 級、佐藤hyperfunctionは C^ω 級 だと言われる　（＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/1144
高校数学の美しい物語
C1級関数,Cn級関数などの意味と具体例 2021/03/07
一般化
〜高階微分へ〜
・何回でも微分可能な関数を C^∞ 級，無限回微分可能などと言います。
・C^ω 級というクラスもあります。べき級数展開可能（テイラー展開できる）という意味です。
C^ω 級なら C^∞ 級ですが，逆は成立しません。無限回微分可能でもテイラー展開できない
（剰余項 →0 とならない）場合があるからです。→テイラーの定理とテイラー展開〜例と証明

https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~sasaki/
佐々木浩宣 千葉大 数学・情報数理学科
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~sasaki/011_C_infinity_not_C_omega.pdf
至るところ実解析的ではない無限回微分可能な関数 2013
参考文献[1]松島,多様体入門,裳華房

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86
微分
高階微分
何回でも微分可能な関数は無限回微分可能である（または C ∞ 級である）という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%95%B0
微分可能関数
微分可能性のクラス
連続的微分可能関数は、C1-級であると言われる。関数に一階および二階の導関数が存在し、それらが両方とも連続であるとき、その関数は C2-級にであると言われる。より一般的に、k-階までの導関数 f'(x), f″(x), ... , f(k)(x) が存在し、すべて連続であるなら、その関数は Ck-級であると言われる。すべての正の整数 n に対して導関数 f(n) が存在するなら、その関数は滑らか、あるいは、C∞-級であると言われる
複素解析における微分可能性
複素解析において、ある点の近傍で複素微分可能な関数はすべて正則と呼ばれる。そのような関数は必ず無限回微分可能であり、実は解析的である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0
正則関数
概要
正則な複素関数は、その導関数も正則である。すなわち微分操作を無制限に繰り返してよい[6]
正則函数が解析的であること:複素解析における正則関数は何回でも微分可能であり、したがって冪級数に展開できる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0
超関数
1940年代末にはシュワルツがこれらを超関数の理論としてまとめた
1958年に佐藤幹夫が層コホモロジーの理論を応用して、シュワルツらとは別の見地に立った超関数論を組み立てた
名称
「超関数」という言葉自体は日本でつくられた数学用語である
英語文献において、一般の超関数を指すときは generalized function（一般化された関数）という
シュワルツの超関数は "distribution" と呼ばれ、佐藤の超関数は "hyperfunction"（超関数）と呼ばれる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/732

742: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/17(日) 17:56:57.37 ID:TyT53DUJ

>>733-738
>f(x)=e^(-x) が無限回微分できると仮定し、無限回微分した関数をg(x)と書く。

ふっふ、ほっほ
そういう雑な思考をしているから 数学科のオチコボレさんになる
それは、下記の chiebukuro 無限級数 ”1-1+1-1+1,,,,,,,,,, ”の話と類似であって そのような 無限級数があるからと 全ての無限級数を否定するのは オチコボレのみ
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14298410794
chiebukuro.yahoo
1252701449さん 2024/5/22 無限級数のついて質問です。 1-1+1-1+1,,,,,,,,,, はなぜ発散なのですか？
１になったり０や−１になるからですか？
(引用終り)

別に g(x)=e^(x) を取る。これは 指数関数だ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
無限回微分により テーラー展開 e^(x)=Σ n=0〜∞ 1/n! x^n を得る https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
このテーラー展開 は、無限級数である（項は無限でなければならない（有限ではありませんｗｗｗ））■

まあ、オチコボレは テレンスタオの“big picture”、謎の数学者氏「絵を描くように」、ポアンカレ＆渕野昌 のいう  数学的直観
が欠落している 君は勉強不足だよｗ　；ｐ）

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/7-9
テレンスタオ！
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice (このサイトに、いろんなアドバイスがあり、参考になる。下記は、その一つです)
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(google訳)
3. 「ポスト厳密」段階。以下略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/742

743: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/17(日) 17:57:32.93 ID:TyT53DUJ

つづき

謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん(後述)ｗ これでしょうね ；ｐ）
(参考)＜いまリンク切れだが＞
https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=11https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=1
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。

https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9
Henri Poincaré
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Value_of_Science
The Value of Science (French: La Valeur de la Science) is a book by the French mathematician, physicist, and philosopher Henri Poincaré. It was published in 1904. The book deals with questions in the philosophy of science and adds detail to the topics addressed by Poincaré's previous book, Science and Hypothesis (1902).
(google訳)
直感と論理
最後に、ポアンカレは幾何学と解析学 の科学の間に根本的な関係があるという考えを提唱しました。彼によれば、直感には二つの主要な役割があります。科学的真理を探求する上でどの道を進むべきかを選択すること、そして論理的展開を理解することです。
論理は確実性しか与えず、証明の手段である。直感は発明の手段である。

＜数学と厳密＞
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/743

756: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/17(日) 19:54:18.42 ID:TyT53DUJ

>>739 追加

https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/
Takayuki Kihara, Associate Professor (Curriculum Vitae)
Department of Mathematical Informatics
Graduate School of Informatics
Nagoya University, Japan
https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/wakate2019.html
数学基礎論若手の会 2019
講演リストおよびスライド
荒武 永史 (京都大学): トポス理論と圏論的論理学への誘い
https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/workshop/wakate/aratake.pdf
トポス理論と圏論的論理学への誘い
荒武永史 京都大学大学院理学研究科
2019 年12月6日 数学基礎論若手の会2019in岡崎

Contents
Toposes as Mathematical Universes
圏論的論理学と分類トポス
1 トポス理論入門：Grothendieckトポスと初等トポス
・Grothendieck トポス
・初等トポス
2 Toposes as Mathematical Universes
・トポスにおける一階論理の解釈
・Kripke-Joyal 意味論とSheaf Semantics
3 圏論的論理学と分類トポス
・函手的意味論
・一階理論の分類トポス

ロジック的な視点からは、トポスには主に2つの側面がある
▶ Toposes as Mathematical Universes
▶ “トポスの中で”数学的構造を考えられる
▶ 集合論や型理論の圏論的解釈を与えられる
▶ Toposes as Theories
▶ 理論とトポスが“対応する”（理論の分類トポス）
▶ 理論のモデルは分類トポスからの函手と見なせる
同じトポスを様々な視点から調べられるのが最大の特徴！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/756

774: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/18(月) 17:55:26.23 ID:UkND8yRN

>>765
>お前人間として必要な機能が完全に壊れてるわ

ヒキコモリの基礎論くんに マジレスするのも
大人げないが まあ 日本では 言論の自由は 君にもあり ですからｗ ；ｐ）

>>763
>仮に無限項の和だとしたら、ある項から先がすべて０であるような特殊な無限級数以外、どこまで足しても値が確定しないのに、どうやって計算すんだよｗ

妄想出まくりじゃんｗ
君みたいな チンケな考えは リーマンはしていなかったんじゃね？ｗ
というのは、下記のリーマンゼータ関数は
ζ(s):=?n=1〜∞ 1/n^s = 1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+⋯
で、リーマンは きっと 無限項の和 だと 素直に考えていたんじゃないかね？ｗｗ ；ｐ）
下記の リーマンゼータ関数 を 百回音読してねｗ

なお、君のいう 無限級数で収束を考えることと 無限級数が無限項の和であることは 矛盾しない
というか、もし 有限項の和であるならば 収束とか 問題にならないよｗｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
リーマンゼータ関数
リーマンゼータ関数は、s を複素数、n を自然数とするとき、
ζ(s):=?n=1〜∞ 1/n^s = 1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+⋯
で定義される関数 ζ のことをいう。上記の級数は s の実部が 1 より真に大きい複素数のとき，すなわち Re s > 1 のときに収束する（なお s = 1 のとき調和級数となり発散する）が、解析接続によって s = 1 を一位の極とし、それ以外のすべての複素数において正則な有理型関数となる。

解析接続

ゼータ関数の表示と関数等式

ゼータ関数と素数計数関数

この公式は、リーマンの素数公式、あるいは明示公式 (explicit formula) などと呼ばれている
ゼータ関数の零点の分布に関する未解決問題であるリーマン予想は、素数公式の近似精度に関連している。この予想は純粋数学における最も重要な未解決問題であると考える数学者は多い

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/774

784: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/18(月) 23:38:27.02 ID:YmDNmTO3

>>776
>矛盾するしない以前に、そもそも無限項の和なるものは存在しない。

ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから
赤ペン先生をしておくよｗ　；ｐ）

数学科オチコボレの視野狭窄
狭いんだよ、君の思考は

勉強不足だよ
21世紀 現代数学では 無限項の和は存在する

君の頭は、古代ギリシャ
君は、ゼノンかアリストテレスかい？ｗ

オイラーは、無限級数の天才手品師であり、その名人だったという
彼は、無限級数を扱って その収束は直観で分っていたらしいと だれかが書いていたね

高木 近世数学史談 17.ベルリン留学生に アーベルの無限級数論の話がある
クレルレ誌第1巻のアーベルの級数論が画期的だと 高木はいう
収斂円（|x|=1）における級数動作が余蘊なく研究し尽くされているという
”連続関数を項とする級数の和は連続であろうなどと上滑っている時代では空谷の跫音というべきである”などと記す
（なお、高木は”「発散級数は和を有しない」とはコーシーの標語である”と特筆している。
　逆に言えば、”発散しない無限級数は和を有する” つまりは この場合 無限項の和は存在すると解して良い）

類似の話が下記の”集合論の歴史”で、カントールのフーリエ級数の研究から 彼の無限集合論が考え出されたという
当然 これは無限項のフーリエ級数だよ（項が有限ならば それほどおかしなことは おきない）

かように、現代数学では 無限項の和を扱うことは 日常茶飯事なのだ
もちろん、有限項の和の極限と一致することは妨げないが それに拘泥するのは 視野狭窄というものさ

まあ、数学科オチコボレには 理解できないかな
君は、勉強不足だよｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
集合論
集合論の歴史
ゲオルク・カントールによるフーリエ級数の研究において、実直線上の級数がよく振る舞わない点を調べる過程で集合の概念が取り出された
彼はやがて有理数や代数的数のなす集合が可算であるという結果を得て、・・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/784

788: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/19(火) 07:31:51.19 ID:6rG8V9j8

>>784 補足
>（なお、高木は”「発散級数は和を有しない」とはコーシーの標語である”と特筆している。

コーシーの後の世に、有理型関数で ミッタク＝レフラーの定理 などが考えられた
正則関数が 無限級数展開を持つことを認めると 有理型関数においては
無限級数が無限大に発散する→極 と解することができて
発散級数に意味を与えることができる。現代数学では、そういうケースは山ほどあります　（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%83%E3%82%BF%E3%82%AF%EF%BC%9D%E3%83%AC%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ミッタク＝レフラーの定理
複素解析において、ミッタク＝レフラーの定理（Mittag-Leffler's theorem）とは、前もって与えられた極を持つ有理型関数の存在に関する定理である。一方、ワイエルシュトラスの因数分解定理は、前もって与えられた零点を持つ正則関数の存在を主張する定理であり、本定理と対をなす。この定理の名称は、ヨースタ・ミッタク＝レフラー (Gösta Mittag-Leffler) に因んでいる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function
Meromorphic function
（google訳）
有理型関数
複素解析で、複素平面の開部分集合D上の有理型関数とは、関数の極となる孤立点 の集合を除くD全体にわたって正則な関数のことである。この用語はギリシャ語のmeros ( μέρος )に由来し、「部分」を意味する
D上のすべての有理型関数は、D上で定義された 2 つの正則関数(分母が定数 0 ではない)間の比として表すことができます。つまり、任意の極は分母のゼロと一致する必要があります。
ヒューリスティックな記述
直感的に言えば、有理型関数とは、2つの行儀のよい（正則な）関数の比です

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/788

789: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/19(火) 07:32:30.37 ID:6rG8V9j8

ついでに
https://tetobourbaki.hatenablog.com/entry/2016/12/14/110319
記号の世界ゟ loveブルバキ
20161214
「正則関数」という用語を使うの止めたい

一般に「正則関数」は「holomorphic function」の訳であると考えている人が多いです。しかし、こう考えると明らかな誤訳です。「正則関数」は「holomorphic function」の訳ではありません

このことは高木貞治の『解析概論』に書いてあります。もう少し言うと、regular analytic function つまり「正則な解析関数」が正確な訳ですが、『解析概論』で単に正則関数と呼ぶと書いてあります。僕は、この高木先生の訳を何も考えず使っている人が多いのだと考えています。高木先生は regular analytic function だと考えているので全く問題はないのですが、holomolphic の訳だと考えている人がほとんどなのが問題なのです

私の考える対案
それでは、どのような用語にすればいいかを考えてみます。

まず、岩波基礎講座では holomorphic は「整型」、meromorphicは「有理型」が使われていますね。「正則関数」よりはずいぶん良い訳です。morpheに対応して、共に「型」の言葉が使われていることも非常に良いです。ただ、「有理型」が他の言葉にできないかとは考えたくなります。

僕は、用語の作り方、特に、翻訳語については中国語に従えばたいてい問題ないと考えています。中国語では、holomorphic は「全純」、meromorphicは「亜純」という用語を採用しており、上で述べた私の解釈と同じであることが分かります。岩波のようにmorpheの対応はないものの、さすが中国という感がありますね。

僕の結論としては、「整型関数」を採用し「有理型関数」を他の用語にする、もしくは、中国の訳を使うあたりで良いかなと思います。二つの良いところをとって、「整型関数」と「亜整型関数」でもそんなに悪くないと思います
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/789

801: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/19(火) 14:08:28.01 ID:6UaSw7YM

ホイヨ

https://mathlog.info/articles/x4lObSnn03Hwffg1Gff7
(元)浪人生
大学数学基礎
ディリクレ積分類似の積分と級数の一致について 250817
予想
1以上の自然数kに対して、
∫ -∞〜+∞ {(sin x)/x}^k dx= Σ n=-∞〜+∞ {(sin x)/x}^k
が成り立つ。
上の予想は K=1,2,3,4,5,6 までしか成り立たず、
K >6では
左辺は依然(有理数)πの形になる一方で、
右辺はπのべき乗の線形結合となります。

参考文献に乗せた論文では、類似のsinc の積で表される総和と積分との一致についてより詳しく研究されているので、ぜひ読んでみてください。

参考文献
[1]Baillie, R., Borwein, D., & Borwein, J. M. , Surprising Sinc Sums and Integrals., The American Mathematical Monthly, 2007

https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function
Sinc function
https://ja.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%96%A2%E6%95%B0
sinc関数

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E7%A9%8D%E5%88%86
ディリクレ積分
∫ 0〜+∞ {(sin x)/x} dx
これは π/2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分では可積分でない。ディリクレ積分の名は数学者ペーター・グスタフ・ディリクレから取られている。
この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral
In mathematics, there are several integrals known as the Dirichlet integral, after the German mathematician Peter Gustav Lejeune Dirichlet, one of which is the improper integral of the sinc function over the positive real number line.
∫ 0〜+∞ {(sin x)/x} dx = π/2
This integral is not absolutely convergent, meaning
|(sin x)/x| has an infinite Lebesgue or Riemann improper integral over the positive real line,
so the sinc function is not Lebesgue integrable over the positive real line. The sinc function is,
however, integrable in the sense of the improper Riemann integral or the generalized Riemann or Henstock–Kurzweil integral.[1][2] This can be seen by using Dirichlet's test for improper integrals.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/801

805: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/19(火) 15:39:55.67 ID:6UaSw7YM

>>791
(引用開始)
オイラーどころか、はるか以前から
条件収束級数を考えてきてるわけで
数学者が無限級数を極限として捉えてきたのは当然でしょう
無限項の和とか言っている御仁は以下のような
無限級数をどのように正当化するのでしょうか？
（当人のレベルでは質問の意味すら分からないと思います）
(引用終り)

ご苦労様です
条件収束級数 vs 絶対収束級数 （下記の高校数学の美しい物語）
ね。高校での話を思い出しました

さて、いまの議論は、数学では無限の操作は許されないかどうかということだった
で、オチコボレさんたちは、数学では”無限の操作は終わらないから 許されない”ｗという
一方私は、多分 ウォリスやニュートン、リーマンの時代までは、結構 無限の操作を許容していたし
カントールも 無限の操作を許容していたろう と思いますよ

一方で、ラッセルパラドックスなどで 無限操作を無批判に許容するとまずいとなって
出来るだけ抑制すべきという時代が 20世紀中ころまであった

その後、また数学の発展があって（超準解析とかね）
21世紀の数学では、無限大や無限小を含めて けっこう無限操作を許す範囲が広がっている

上記の条件収束級数の話においては、下記の高校数学の美しい物語にあるとおりですよ
話は逆で 絶対収束する場合は、無限級数を 無限項の和 と考えてもいい
かまわない場合があるってことですね （「無限級数が絶対収束すると，有限和のときに可能な様々な操作が自由に行える」下記）
高校での数学の話を思い出しましたよ （＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/1116
高校数学の美しい物語
絶対収束と条件収束の意味と具体例
2022/10/01
無限級数の絶対収束と条件収束について整理しました。絶対収束なら収束することの証明，絶対収束するとなぜ嬉しいのかを解説します。
注：絶対収束・条件収束は「数列」に対する議論です。一方，各点収束・一様収束は「関数列」に対する議論です。→各点収束と一様収束の違いと具体例
目次
絶対収束，条件収束の定義
具体例
絶対収束すれば収束
絶対収束だとなぜ嬉しいのか

絶対収束だとなぜ嬉しいのか
無限級数が絶対収束すると，有限和のときに可能な様々な操作が自由に行える。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/805

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