可算無限個のサイコロを投げます

可算無限個のサイコロを投げます (257ﾚｽ)
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201: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/18(金) 12:15:13.40 ID:5kKKflaA

>>176
>>オイラーは 和 Σの無限回の操作は 当然と考えていた
>>彼は 和や積の無限回の操作は 当然と考えていた
>馬鹿乙。
>無限級数/無限乗積は無限回の足し算/掛け算ではない。有限和/積の列の極限だ。高校生でも知ってるぞｗ

その考えは、間違いではないが
古い。つまり、19世紀の考えで、主にワイエルシュトラスが提唱した考えだが（イプシロン-デルタ論法）

その後、カントールやデデキントや、20世紀に無限集合論が整備されて
その後、さらに ロビンソンのノンスタ（超準解析）が提唱されて
無限大や無限小の概念は、20世紀後半には 復権したのです

別には、正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞を扱う 拡大実数 も、20世紀後半には 当たり前になった（下記）
それは、オイラーが行っていたような 直感的な 無限回の和や積を ある範囲で 厳密な数学として正当化するものであった

さて、>>173のオイラーのバーゼル問題 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
を 例として取り上げる
級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和
1/1^2+1/2^2+・・・+1/n^2+・・・
ここで いま、自然数Nに 拡大実数の +∞を導入すると
上記は
1/1^2+1/2^2+・・・+1/n^2+・・・+1/(+∞)^2  (ここで 1/(+∞)の部分は 下記の拡大実数の算術により 0 となる)
と書き直せる
オイラーが示したことは
1/1^2+1/2^2+・・・+1/n^2+・・・+1/(+∞)^2＝(π^2)/6 (= 1.644934…)　（π は円周率）
ってことだね
（本当はもっと広く 2→2m (偶数の指数) についての ベルヌーイ数による表示を与えたのだが（上記バーゼル問題 ja.wikipedia にある通り）

いまでは、オイラーのやった 和や積の無限回の操作は、
現代数学としても是認されています

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
微分積分学の歴史（英語版）は、流率法（英語版）あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析（英: nonstandard analysis）[1][2][3]は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった[4][5]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数（英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う。
新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではない
拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である
算術演算
a/±∞＝0 (a∈R)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752265419/201

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