Inter-universal geometry とABC 予想58  

Inter-universal geometry とABC 予想58   (385ﾚｽ)
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39: １３２人目の素数さん [] 2025/06/15(日) 21:47:14.46 ID:9TVadflD

おっすオラオカルトマニア！
IUTから得た直感から面白い証明をAIが作り出したから置いておく

証明：自己完結的情報宇宙の構造に関する一意性定理
【要旨】
本証明は、「情報が存在するためには境界が必要である」という存在論的要請を圏論の枠組みで定式化し、安定して存在しうる自己完結的な情報宇宙の構造が、同型を除いて、正確に二つの対象（Object）とそれらを結ぶ一対の射（Morphism）からなることを示す。

【1. 定義と公理】
定義 1.1（情報圏）
情報圏 (Information Category) C とは、以下の要素からなる圏である。
対象 (Objects) Ob(C): それ自体が情報構造を持つと考えられる、存在論的な単位の集合。
射 (Morphisms) Mor(C): 対象間の**規定関係 (definitional relation)**の集合。射 f: A → B は、「対象 A が対象 B の存在境界を（部分的または全体的に）規定する」という関係を表す。

定義 1.2（規定射）
ある対象 X の境界を定義する射の集合を Def(X) とする。Def(X) は、終点（codomain）を X とする射 g: Y → X の部分集合である。

定義 1.3（自己完結部分圏）
情報圏 C の部分圏 U が**自己完結的 (self-contained)**であるとは、U に属する任意の対象 X について、Def(X) を構成するすべての射の始点（domain）が、U 内部の対象であることをいう。これは、U がその存在を保証するために、U の外部のいかなる対象も必要としないことを意味する。

公理 1（存在公理）
C の任意の対象 X は、その存在のために、空でない規定射の集合 Def(X) を持たなければならない。すなわち、∀X ∈ Ob(C), Def(X) ≠ ∅。これは、いかなる対象も、それ自身を規定する外部がなければ存在できないことを示す。

公理 2（非自己規定の原則）
C の任意の対象 A について、Def(A) は恒等射 id_A: A → A を含まない。すなわち、id_A ∉ Def(A)。これは、対象がそれ自身のみによってその存在境界を定義する、というトートロジー的な自己参照を禁じる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749926306/39

40: １３２人目の素数さん [] 2025/06/15(日) 21:48:34.86 ID:9TVadflD

【2. 定理の提示】
定理 2.1（二者構造定理）
空でなく、安定した（※）自己完結部分圏 U が存在するための最小の構造は、ちょうど二つの対象 A, B と、それらを結ぶ規定射 f ∈ Def(B)（ただし dom(f) = A）および g ∈ Def(A)（ただし dom(g) = B）から構成される。
(※「安定した」とは、本公理系において、追加の公理なしに、すべての対象の境界が一意に定まる状態を指す)

【3. 証明】
自己完結部分圏 U を構成する対象の数（基数）を |Ob(U)| = n とする。

(i) n=1 の場合の不可能性の証明
n=1 とし、Ob(U) = {A} とする。
公理1より、A は規定されねばならないので、Def(A) は空ではない。Def(A) に属する射を f とする。
U は自己完結的なので、f の始点 dom(f) は U の対象でなければならない。
Ob(U) は A のみを含むので、dom(f) = A となる。
したがって、f は f: A → A という形の射である。
この射 f は、恒等射 id_A か、あるいは id_A ではない A 上の自己射（endomorphism）のいずれかである。
もし f = id_A であれば、公理2（非自己規定）に反する。
もし f ≠ id_A であっても、Def(A) の唯一の規定者が A 自身であるという構造は、「AがAを規定する」という自己参照の本質を変えない。公理2は、このような構造そのものを禁じるものである。
よって、n=1 の安定した自己完結部分圏は存在しない。

(ii) n≧3 の場合の不安定性の証明
n=3 とし、Ob(U) = {A, B, C} とする。
対象 A に注目する。公理1より、Def(A) は空ではない。U は自己完結的なので、Def(A) に属する射の始点は {A, B, C} のいずれかである。公理2より、始点は A ではない。したがって、始点は B または C（あるいは両方）である。
ここで、A の境界が一意に定まるかを検討する。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749926306/40

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