ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (667ﾚｽ)
上下前次1-新
208(1): 06/25(水)15:43 ID:IxVX3Njn(1/2) AAS
>>207
君、つまらない
209(1): 06/25(水)20:30 ID:/jY5vF6q(1) AAS
おれにとっては>>208の君の方がツマランｗ
210: 06/25(水)21:27 ID:IxVX3Njn(2/2) AAS
>>209
>>207がどう面白いのか説明してみて
211(2): 06/26(木)15:45 ID:A1nrRW5W(1) AAS
デトロイトに着陸する前、もしかしてヤバいのではと
思ったっことがある
212: 06/26(木)17:40 ID:bvjRYdj5(1/2) AAS
まだWindowsもフロッピーもない頃ローカル便でニューアーク空港に着いたことがある
アメリカ人の友人の手配で万事楽しかった、牧歌的だった
213: 06/26(木)18:11 ID:ID7X2BSY(1/3) AAS
また誰も聞いてない自分語りか
214: 06/26(木)18:44 ID:bvjRYdj5(2/2) AAS
いや>>211に答えてる
君に相手してるわけではない
215: 06/26(木)19:20 ID:ID7X2BSY(2/3) AAS
どれが答えなの？
てか>>211は質問ですらないんだが
言い訳は見苦しい
216: 06/26(木)20:04 ID:iy35HPrf(1/2) AAS
答えている＝応えている＝相手をしている
217: 06/26(木)20:28 ID:ID7X2BSY(3/3) AAS
自分語りが相手してることになるとは
218: 06/26(木)20:45 ID:iy35HPrf(2/2) AAS
自分語り対自分語り
219: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/26(木)21:13 ID:nY7YlZAD(1) AAS
>>207-218
1）>>207の面白さは、「フロッピーディスクとWindows 95と紙が頼りの米航空管制」ってやつ
新型コロナの日本が、医療機関が コロナ患者情報をFaxと手の集計で、時間がかかりミスも多いと批判されたと同じ
2）航空事故では、（下記）2025年1月29日 アメリカ・ワシントンD.Cでの事故と
2024年1月2日 羽田の海上保安庁（海保）の航空機と、着陸した日本航空（JAL）516便（エアバスA350-941）が滑走路上で衝突した航空事故
この背景に牧歌的な時代から、航空機の離着陸数が増えて、まあ 通勤ラッシュのごとく
数分間隔で次々に捌いていく時代になったのです
省11
220(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/27(金)15:22 ID:a24J75DE(1) AAS
これ、面白い
外部ﾘﾝｸ:type.jp
type ひとつ上のキャリアを目指す人の転職サイト
「レイオフされても日本には戻らない」元Amazon本社PMが語る、日本と米国“働き方の決定的な差”
2025.06.26
米国赴任中に突然のレイオフ。キャリアの過程で米Amazon本社のプロダクトマネジャー（PM）として活躍するも、転職を繰り返したのちに二度目のレイオフーー
米国テック業界の荒波にもまれつつも、いまだ現地で転職活動中のゆうさん。
省18
221: 06/28(土)03:00 ID:EUDy9smG(1) AAS
>>220
オックスブリッジだと半端な旧帝理系のB止まりよりも文系をちゃんと評価しそう
222: 06/28(土)04:49 ID:FdhAL5xc(1) AAS
そもそも学歴だけで評価することはない
223(2): 暇人 06/28(土)08:34 ID:4S+Arcik(1/23) AAS
【Grokへの質問】
代数方程式の解が係数の四則演算とべき根を使って表せるのは、
その代数方程式のガロア群が可解群、すなわち、順々に正規部分群をとっていったとき、商群が巡回群となり、
最終的に単位群まで縮小できる群であるとき、その時に限る。この定理の証明を示してくれる？。
【Grokからの回答】
この質問は、代数方程式のガロア群が可解群であるとき、かつそのときに限って、
解が係数の四則演算とべき根で表せるという定理（ガロア理論における可解性の定理）の証明を求めるものです。
省3
224(3): 暇人 06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(2/23) AAS
>>223
定理
代数方程式 f(x)=0（係数が体 K に属する）の解が、K の元を用いた四則演算と
べき根（すなわち、方程式 x^n - a = 0 の解）によって表せる（根号表示可能である）のは、
そのガロア群 Gal(L/K)（ここで ( L ) は ( f(x) ) の分裂体）が可解群であるとき、かつそのときに限る。
証明の概要
証明は以下の2つの方向に分かれます：
省5
225(3): 暇人 06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(3/23) AAS
>>224
1. 十分性の証明（ガロア群が可解群 ⇒ 解が四則演算とべき根で表せる）
設定
f(x)∈K[x] は次数 n の既約多項式で、L は f(x) の分裂体（つまり、f(x) が L で完全に因数分解される最小の体）。
ガロア群 G=Gal(L/K) は可解群である。
すなわち、( G ) には正規系列 G=G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} が存在し、各商群 Gi/Gi+1 は巡回群（したがってアーベル群）である。
L/K は有限次ガロア拡大で、ガロア対応により Gi に対応する中間体 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L が存在する。
省5
226(4): 暇人 06/28(土)08:36 ID:4S+Arcik(4/23) AAS
>>225
ステップ1：巡回拡大の構造
まず、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群である拡大 Ki+1/Ki を考えます。
巡回群の位数を ni=∣Gi/Gi+1∣ とし、Ki が1の原始 ni 乗根を含むと仮定します
（必要に応じて、原始根を添加した拡大を別途考える）。
補題（巡回拡大のべき根表示）：
Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、
省12
227(4): 暇人 06/28(土)08:37 ID:4S+Arcik(5/23) AAS
>>226
ステップ2：拡大の連鎖
正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って、体の拡大 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L を構築する。
各ステップ Ki+1/Ki は、ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる。
最終的に、L=Km は K から有限回のべき根の添加で得られる。
228(2): 暇人 06/28(土)08:38 ID:4S+Arcik(6/23) AAS
>>227
ステップ3：解の表現
f(x) の解は L の元であり、L は K から四則演算（体の基本演算）とべき根の添加の繰り返しで構成される。
各べき根 α は x^ni−a=0 の解であり、a∈Ki。
これを繰り返すことで、f(x) の根は K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。
229(2): 暇人 06/28(土)08:41 ID:4S+Arcik(7/23) AAS
>>225
補足：原始根の添加
（注：ここの箇所はGrokの文章を修正している
修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた
修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正
修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが
このままだと循環論法なので、以下文章を追加した）
省8
230(2): 暇人 06/28(土)08:42 ID:4S+Arcik(8/23) AAS
>>224
2. 必要性の証明（解が四則演算とべき根で表せる ⇒ ガロア群が可解群）
設定
f(x)∈K[x] の解が、( K ) の元を用いた四則演算とべき根で表せると仮定。
つまり、解は体 K に有限回のべき根の添加で得られる体 M
（すなわち、M=K(α1,α2,…,αk))であり、αi^ni∈K(α1,…,αi−1)）
に含まれる。
省4
231(2): 暇人 06/28(土)08:43 ID:4S+Arcik(9/23) AAS
>>230
ステップ1：べき根添加のガロア群
各拡大 K(α1,…,αi)/K(α1,…,αi−1) は、αi^ni∈K(α1,…,αi−1) による拡大。
この拡大はクンマー拡大であり、ガロア群は巡回群（位数 ni のアーベル群）またはその部分群である（原始根が適切に含まれる場合）。
よって、M/K は一連の巡回拡大の合成であり、ガロア群 Gal(M/K) は巡回群の拡張として可解群である。
232(1): 暇人 06/28(土)08:44 ID:4S+Arcik(10/23) AAS
>>231
ステップ2：分裂体への制限
L⊆M であり、L/K はガロア拡大。
ガロア理論により、Gal(M/K)→Gal(L/K) は全射であり、Gal(L/K)≅Gal(M/K)/Gal(M/L)。
可解群の商群は可解であるから、Gal(L/K) も可解群である。
233: 暇人 06/28(土)08:45 ID:4S+Arcik(11/23) AAS
>>224-232
注意点
体の標数：証明では、体の標数がガロア群の位数と互いに素であることを仮定した。
標数が p で、ガロア群の位数が p で割り切れる場合（例えば、有限体の場合）、
追加の議論（例えば、非分離拡大の扱い）が必要だが、
一般的な代数方程式（例えば、Q 上の多項式）ではこの仮定で十分。
（注：元の文では「体の特徴」となっていたのを「体の標数」に直した）
省2
234(1): 暇人 06/28(土)08:47 ID:4S+Arcik(12/23) AAS
>>224
結論
十分性：>>225-229 ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。
必要性：>>230-232 解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。
よって、定理が証明された。
235: 暇人 06/28(土)08:48 ID:4S+Arcik(13/23) AAS
>>234
補足
この証明は、ガロア理論の教科書（例：Dummit and Foote, Abstract Algebra や Ian Stewart, Galois Theory）に詳細に記載されています。
より具体的な例（例えば、3次や4次方程式の可解性）については、具体的なガロア群（例：S3,S4）の構造を分析することで理解が深まります。
>>223
質問者が特定の部分（例えば、クンマー拡大や巡回群の詳細）についてさらに知りたい場合、追加の説明を提供できますので、お知らせください。
以上が、ガロア群の可解性と代数方程式の解の根号表示可能性に関する定理の証明です。
236(3): 暇人 06/28(土)09:50 ID:4S+Arcik(14/23) AAS
223-235を読むかぎり、
Grokはここの「スレ主」こと現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPよりも
ガロア理論による可解性の定理の証明を「理解」している、と思える
ただ1点気になるのは>>229の原始根の添加の箇所
過去のスレ主の発言をみると明らかに理解できていなかったが
Grokがこの点について、スレ主よりも分かっている説明ができるかどうか…
237(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/28(土)11:46 ID:Om34p0pv(1/4) AAS
>>236
ご苦労さまです
ありがとうございます
スレ主です
Grokさんは、”知識”という意味では 賢い（多数文献を読んで 上澄みを出力するという意味で）
が、「理解」という概念は、軽々しく使わないのが良いだろうと これを読んで思う
>>223-235のGrokを批判すれば
省22
238(1): 暇人 06/28(土)11:56 ID:4S+Arcik(15/23) AAS
>>236
やっぱりスレ主はGrokよりはるかに分かってなかった
>まずは、有理数体Qの場合に限って・・・説明すれば良いところだが
分かってない人の典型的発言
> 「ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる」とか イミフ
「イミフ」は分かってない証拠
> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
省3
239: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/28(土)13:16 ID:Om34p0pv(2/4) AAS
>>237 補足
下記の 謎の数学者氏
・”大学数学を独学で学ぶ際の教科書の選び方。とりあえず、本の○○を見よ！”と
・”教科書は一冊に絞る： • 大学レベルでの数学の教科書を読む際の注意点。”と
・学生時代はつい先を急ぎたがるが、急がば回れ。
・数学の教科書の読み進め方。大学レベルの数学の教科書を独学で読み進めるには？
ここらが、ガロア理論に限らず 参考になるだろう
省22
240(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/28(土)13:30 ID:Om34p0pv(3/4) AAS
>>238
>> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
>「原始根に相当する指数の根」 何それ 大丈夫？君
やれやれ
馬脚だよｗ ；ｐ）
一言補足すれば、”1 の原始n乗根”はありだが
正の有理数 q≠1 についてのn乗根では 直接には原始n乗根は存在しない（クンマー拡大になる） ；ｐ）
省34
241: 暇人 06/28(土)14:52 ID:4S+Arcik(16/23) AAS
>>240
>>> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
>>「原始根に相当する指数の根」 何それ 大丈夫？君
>やれやれ馬脚だよ 一言補足すれば、”1 の原始n乗根”はありだが
>(google)AI による概要
>1のn乗根のうち、1以外のすべての冪乗が1にならないものを原始n乗根と呼びます
>原始n乗根は、1のn乗根全体を生成する役割を持ちます。
省3
242(1): 暇人 06/28(土)14:54 ID:4S+Arcik(17/23) AAS
>>236
【Grokへの追加質問】
十分性の証明で、「ζ‗niは方程式 x^ni−1=0 の解として得られる（これはべき根の添加）。」とあり、
１のべき根を添加するのに、１のべき根自身を添加すればいいと読めてしまいますが、これだと、循環論法になりませんか？
【Grokからの回答】
ご指摘の通り、十分性の証明において、
「原始 ni 乗根 ζ‗ni が方程式 x^ni−1=0 の解として得られる（これはべき根の添加）」
省2
243(1): 暇人 06/28(土)14:55 ID:4S+Arcik(18/23) AAS
>>242
以下では、当該箇所（ステップX）の議論を厳密に再検討し、
なぜこれが循環論法でないかを詳細に説明します。
問題の背景
十分性の証明では、ガロア群 G=Gal(L/K) が可解群であるとき、
代数方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表せることを示しています。
ステップXでは、巡回拡大 Ki+1/Ki を構成する際に、
省6
244(1): 暇人 06/28(土)14:56 ID:4S+Arcik(19/23) AAS
>>243
ステップXの詳細な再検討
状況の再確認
Ki+1/Ki は位数 ni の巡回ガロア拡大で、
ガロア群 Gal(Ki+1/Ki)≅Z/niZ です。
巡回拡大を構成するためには、クンマー理論により、Ki が原始 ni 乗根 ζ‗ni を含むことが必要です（クンマー拡大の条件）。
もし Ki が ζ‗ni を含まない場合、まず拡大 Ki(ζ‗ni)/Ki を構成し、これがガロア拡大であり、ガロア群が巡回群（またはアーベル群）であることを利用します。
省9
245: 暇人 06/28(土)14:57 ID:4S+Arcik(20/23) AAS
>>244
なぜ循環論法でないか？
ご指摘の「循環論法」の懸念は、ζ‗ni を添加するために ζ‗ni 自身を仮定しているように見える点です。
しかし、以下の理由から循環論法にはなりません：
べき根の定義：
「べき根の添加」とは、方程式 x^ni−a=0（a∈Ki）の解を添加することです。
x^ni−1=0 の場合、a=1∈Ki であり、ζ‗ni はこの方程式の解です。
省13
246(1): 暇人 06/28(土)14:58 ID:4S+Arcik(21/23) AAS
可解群の構造との整合性：
可解群の正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って拡大を構成する際、
各ステップで必要な原始乗根の添加は、
前のステップで得られた体 Ki の元に基づいて行われます。
ζ_ni の添加は、拡大 Ki(ζ_ni)/Ki を構成し、
そのガロア群が可解（実際にはアーベル）であることを保証します。
これにより、次のステップ（クンマー拡大）の準備が整います。
省15
247: 暇人 06/28(土)15:04 ID:4S+Arcik(22/23) AAS
>>246
修正されたステップXの記述
ご指摘を受けて、ステップXの記述をより明確にすると以下のようになります：
ステップX：原始乗根の添加：
もし Ki が原始 ni 乗根 ζ_ni を含まない場合、
拡大 Ki(ζni)/Kiを構成する。
ζ_ni は方程式 x^ni−1=0（ここで 1∈Ki）の解であり、
省9
248(1): 暇人 06/28(土)15:14 ID:4S+Arcik(23/23) AAS
242-247を読む限り、全然わかってないわけではなさそうだが
肝心のところはどうもわかってなさそう
とはいえ、スレ主 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP は
全然カスリもしてないので、それに比べたら全然マシかと
249(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/28(土)19:57 ID:Om34p0pv(4/4) AAS
>>248
ちょっと質問していいか？
Q1.君は、どの本で代数方程式のガロア理論を勉強したの？ 石井の頂本かい？
Q2.Grok(下記) LLMの限界を認識しているかい？
つまり、自然言語の処理にはそこそこ使えるが
数学の議論には、あまり向いていない
例えば、>>240で引用したように 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
省27
250(3): 暇人 06/29(日)04:55 ID:gukAFALT(1/12) AAS
>>249
質問には答えない 無意味だから
> 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
> 数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して
> その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
どの本を読んだか知らないが、
その言葉で、全く分かってないことが露見
省12
251(2): 06/29(日)05:46 ID:7dyWRJwu(1) AAS
>>250
ガソリン猿人どころか脳や宇宙自体が単なる熱力学的機械かもしれない。
252: 暇人 06/29(日)07:06 ID:gukAFALT(2/12) AAS
>>251
そういう下らんツッコミ マジでウケると思って言ってる？
おまえアートとかスポーツとかマジでわかんない朴念仁？
253(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)08:49 ID:HQSTLRKE(1/13) AAS
>>250-251
"暇人"は、おサル>>10か
ID:7dyWRJwu は、どなたか まだ分らんが 早朝からご苦労さまです
>１のｎ乗根をどう書き表すつもり
>cos 2mπ/n + i*sin 2mπ/n
>とかいうなよ 笑われるぜ
さて、笑われるのは ”あなた”ですよ(下記)
省15
254: 暇人 06/29(日)08:57 ID:gukAFALT(3/12) AAS
>>253
>笑われるのは ”あなた”ですよ
いや、あなた 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
君、一度も、cos 2mπ/n とか i*sin 2mπ/n が、
べき根で表せるなんてこと言及してないよね
一度も、そこ考えたことないよな
要するにガウス以前 １８世紀
省3
255(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)09:31 ID:HQSTLRKE(2/13) AAS
>>250
>> 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
>> 数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して
>> その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
>どの本を読んだか知らないが、
>その言葉で、全く分かってないことが露見
>そこ、全然関係ないから
省49
256(1): 06/29(日)09:49 ID:D/OwAG+k(1/8) AAS
>>255
>1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
>この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ
nは素数ですか、一般の自然数ですか？
いずれにしても、x^n-1は既約ではない。
ガロア群は基礎体上の既約方程式に対して定義されるのではないですか？
「この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ」とのことですが
省6
257(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)09:59 ID:HQSTLRKE(3/13) AAS
>>255 補足
(引用開始)
このガロア拡大体の概念を定義するには大きく分けて3つのルートがあ
ります。
ガロア拡大体の定義
（１） 方程式の最小分解体
（２） 有限次正規拡大体
省21
258(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)10:16 ID:HQSTLRKE(4/13) AAS
>>256
ありがとう
良い突っ込みだね
”1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ”は、省略形です
まあ、>>255で引用した 石井の頂本を読んで貰えば 省略されていることは
全部記述があるよ （別に 石井の頂本以外の該当箇所でも可）
省29
259: 06/29(日)10:34 ID:8oeEg7sb(1/2) AAS
>>258
>”1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
>この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ”は、省略形です
省略しないで書いてみて
260(1): 06/29(日)10:46 ID:D/OwAG+k(2/8) AAS
>>257
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです
ホントですか？ ガロア群は基礎体に1のべき根が含まれようが含まれまいが
問題なく定義できますよ？
省9
261: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)10:57 ID:HQSTLRKE(5/13) AAS
>>258 追加
検索ヒットしたので、メモ貼る
河田 敬義 数学/6 巻 (1954-1955) は、クラシックだがムズイね
P-14虚数乗法とKroneckerの青春の夢 佐々木隆二（日大理工・教員・数学）は、短いから チラ見できる
中野伸 先生 代数II（2022 年度版）も 良いんじゃない （＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
省34
262(2): 06/29(日)10:57 ID:D/OwAG+k(3/8) AAS
「この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ」
これも奇妙な言い回しである。本質的に巡回群？
たとえば、2つの2次巡回群の直接 C_2×C_2は
本質的に巡回群？ そんな粗雑な表現は
数学では許されませんね。「pが素数であるなどの
典型的なケースではガロア群は巡回群」これなら一応
意味は通るが、「本質的に巡回群だ」という表現はおかしい。
263(1): 06/29(日)11:00 ID:D/OwAG+k(4/8) AAS
1の原始8乗根のガロア群で、すでに巡回群でないケースが生じる。
(Z/8Z)^×は巡回群ではない。
その元aを、1,3,5,7で代表される類をもってあらわす
つまり a∈{1,3,5,7}とすると、a^2=1 をみたすから
(Z/8Z)^×は巡回群C_4ではなく、アーベル群C_2×C_2である。
264(1): 06/29(日)11:12 ID:D/OwAG+k(5/8) AAS
>>262
>直接 C_2×C_2
→直積 C_2×C_2
265: 06/29(日)11:17 ID:8oeEg7sb(2/2) AAS
「本質的に巡回群」ってどういう意味なんだろう。任意の群は巡回群であるかそうでないかの2通りしか無いと思うが。
266(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)11:30 ID:HQSTLRKE(6/13) AAS
>>260
>ホントですか？ ガロア群は基礎体に1のべき根が含まれようが含まれまいが
>問題なく定義できますよ？
>べき根解法を論じる際に、ラグランジュ分解式の構成で必要になる1のべき根が
>基礎体に含まれていると仮定するというだけ。
ご苦労さまです
”だけ”ではない
省18
267(2): 06/29(日)11:48 ID:D/OwAG+k(6/8) AAS
セタさんに質問です。
ζを1の原始7乗根とする。
問1. Q(ζ)/Qはガロア拡大であるが、そのガロア群は何か？（どんな群に同型か？）
ζをべき根表示する際に、3次方程式を解く必要があり、1の原始3乗根ωを使う。
問2. Q(ζ,ω)/Q(ω)はガロア拡大であるが、そのガロア群は何か？（どんな群に同型か？）
268: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)12:40 ID:HQSTLRKE(7/13) AAS
>>262-264
>本質的に巡回群？ そんな粗雑な表現は
>数学では許されませんね。「pが素数であるなど
代数方程式のガロア理論における可解の場合において
>>266 矢ヶ部 「数３方式ガロアの理論」P488にあるが
『f(x)=0が代数的に解けると、その群Tは単位置換だけを含むか
そうでないときは、Tは
省14
269: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)12:44 ID:HQSTLRKE(8/13) AAS
>>267
ホイヨ （＾＾
下記でやってくれ ；ｐ）
2chｽﾚ:math
大学数学の質問スレ Part1 (34)
270(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)14:42 ID:HQSTLRKE(9/13) AAS
>>257 補足
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです
えーと、適当な文献がネットでヒットしないが（多分 電子化されていない紙媒体が多いと思われる）
まあ、下記 井汲景太氏 2021年1月7日など をば
省36
271: 暇人 06/29(日)15:57 ID:gukAFALT(4/12) AAS
>>257
>n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして、Qに対して
> 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです
>前者の立場では、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>2項方程式 x^k=a のガロア群(a正でa≠1、k≧2)の扱いが
省24
272: 暇人 06/29(日)16:13 ID:gukAFALT(5/12) AAS
ところでα^ni∈Ki （Kiにζ_niが入ってないとする）と、
α^niがζ_niを使って表せることは、切り離していい
つまりα^niがζ_niを使って表せるからといって
α^niがKiの元ではなくKi(ζ_ni)の元であるということにはならない
３次方程式の３つの根が実根でガロア群が位数３の巡回群の場合、基礎体に根を添加した体にはζ_3入ってない
例）φ7（６次）は相反方程式なので３次方程式に還元できるがこの解は全て実根 一方ガロア群は位数３の巡回群
273(1): 暇人 06/29(日)16:24 ID:gukAFALT(6/12) AAS
つまり、方程式のガロア群が可解群なら、解はべき根で表せる、というのは
１）巡回拡大の場合、べき根拡大で、基礎体に１のべき根が含まれていれば、１のべき根を使って表した元のべき根を使って表せる
２）１のｎ乗根自体、ガロア群が可解群となる方程式の解であり、ｎより小さいｍに関する１のｍ乗根を使って表した元のべき根を使って表せる
（このステップを繰り返せば、１のべき根の記号を、解の記載から全部消すことができる）
という２つのことから言える
そして現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPは、１）については声高に叫ぶが、２）については何もいわない
要するに、Grokでも分かりそうなことが分かってない
省1
274(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)17:33 ID:HQSTLRKE(10/13) AAS
>>270
>新・方程式のガロア群の求め方 & ガロア群が可解である方程式の解き方 その6
>2021年1月7
ここ、井汲景太氏で 検索すると 多数の投稿があった
下記を、抜粋ご紹介しておく
google検索：
方程式のガロア群の求め方 site:外部ﾘﾝｸ:ikumi.que.jp
省38
275(2): 暇人 06/29(日)18:50 ID:gukAFALT(7/12) AAS
>>274
井汲景太氏はガロア群の定義の文章すら正しく読めていない。
外部ﾘﾝｸ:ikumi.que.jp
有理数係数の方程式のガロア群 G は、”「」内の条件を満たす”、解 a1,…,anに対する置換群として「定義」される
（ｑは有理数係数の有理式とする）。
「G に属するすべての置換 σ に対して
q(a‗σ(1),…,a_σ(n))=q(a_1,…,a_n)
省4
276(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)18:52 ID:HQSTLRKE(11/13) AAS
>>273
カレーにスルー
カレーにライス
by ココイチ
277: 暇人 06/29(日)19:11 ID:gukAFALT(8/12) AAS
外部ﾘﾝｸ:ikumi.que.jp
これもまったくトンチンカン
ガロア群が巡回群だとする
有理数係数のｐ次方程式の解の一つを適当な文字で書き表し
そこから他の解を生み出す置換σが有理関数として具体的に分かっているとする
そうすればラグランジュの分解式に対してそのｐ乗を計算すれば
解を表す文字が消えてしまい、有理数と１のｐ乗根のみが現れる式になる！
省7
278: 暇人 06/29(日)19:15 ID:gukAFALT(9/12) AAS
>>276
理解できないなら、そこで数学終了ですよ
279: 06/29(日)19:29 ID:D/OwAG+k(7/8) AAS
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです
もう一度言いますが、こんなことを言ってるのはセタさんだけで
珍説中の珍説（おそらく誤解の複雑骨折から生じた）だと
申し上げておきましょう。
省3
280: 06/29(日)19:31 ID:D/OwAG+k(8/8) AAS
結局、>>267のような基本的な問いにも答えられないということですね。
答えはどちらも6次巡回群C_6であるということになります。
Gal(Q(ζ)/Q)とGal(Q(ζ,ω)/Q(ω))は、拡大体として異なるので
デデキント流では異なるガロア群だと言えるでしょう。
が、ガロアの定義では方程式のガロア群としては同じになるのです。
ガロアの定義とデデキントの定義は同値なので、デデキント流でも
ガロア群の作用を「ζとその共役」に限った場合は同じ作用である
省1
281(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)20:41 ID:HQSTLRKE(12/13) AAS
>>275
>「G に属するすべての置換 σ に対して
>q(a‗σ(1),…,a_σ(n))=q(a_1,…,a_n)
>となるときそのときに限り
>q(a_1,…,a_n)は有理数となる」
>” ”の箇所が私が書いた。
>ここがポイントなので、これ書けてない時点で全然見当違いな読み方してると分かる。
省29
282(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)20:47 ID:HQSTLRKE(13/13) AAS
>>275
>井汲景太氏はガロア群の定義の文章すら正しく読めていない。
井汲 景太氏
下記 すうがくぶんか 講師で
東大 物理のDR持ちみたい
あとは ココイチ
カレーにスルー ；ｐ）
省25
283: 暇人 06/29(日)20:54 ID:gukAFALT(10/12) AAS
>>281
>素人はこれだから・・
>「」内の条件は、ガロア理論では ”正規かつ分離”の条件がつくから 自動的に満たされる
文章も読めないからこんなおかしなことを平気でいう
「」内の条件は正規性の別の条件づけである
２つの条件が同値であることの証明もできん高卒が
自動的に満たされるとか●●なことをいう
省1
284: 暇人 06/29(日)20:57 ID:gukAFALT(11/12) AAS
>>282
＞井汲 景太氏
＞東大 物理のDR持ちみたい
じゃ、数学はド素人だな
物理で博士号とるのにガロア理論理解してる必要ないから
285: 暇人 06/29(日)21:00 ID:gukAFALT(12/12) AAS
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPは
何も言い返せなくなってスルーとか敗北宣言するしかなくなった
完全な負け犬ですな
次生まれたら 数学には手を出すなよ 死ぬぞ
286(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/02(水)12:26 ID:kWQ6WMIL(1/4) AAS
>>282
>すうがくぶんか
>sugakubunka.com からの井汲 景太 経歴
>略歴. 東京大学大学院理学系研究科物理学専攻卒. SEG で高校生・中学生向けに数学を教える. ・統計検定準1級取得（優秀者S） ・統計検定1級数理取得（評価A） ・統計検定1 ...
井汲 景太氏は、物理系で数学者ではないとしても・・
微分幾何はご専門だし
物理系で、群論はいまどき物理でも使う（群と物理 2016（単行本）丸善 外部ﾘﾝｸ[html]:www.maruzen-publishing.co.jp）
省22
287(1): 07/02(水)15:53 ID:OWIRFuOS(1) AAS
>>286
自分じゃなにもいえないので
他人の学歴でドヤる高卒
288: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/02(水)16:08 ID:kWQ6WMIL(2/4) AAS
>>274 補足
井汲景太氏、退職後は素人数学者氏、jurupapa氏(「Maxima で綴る数学」)、lemniscus氏(再帰の反復blog)
この４氏は別人だったんだ （＾＾；
いやー、混乱していました ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:ikumi.que.jp
可解な代数方程式のガロア理論に基づいた解法(第2版)
省20
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