[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (1002ﾚｽ)
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165(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/12(木)22:33 ID:EWvjXceg(2/3) AAS
>>155
>2)は、必要条件を求める問題、もちろん有界閉区間での知見を「陽」に使ってよい
>っていうか「陽」につかわないって馬鹿？
ふっふ、ほっほ
下記のAI による概要で
”Theorem:
Let X and Y be metric spaces, S a subset of X, and f: S -> Y.
省24
166(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/12(木)22:34 ID:EWvjXceg(3/3) AAS
つづき
Proof Outline:
1. Definition of Extension:
The extension F is defined on X by considering a sequence {x_n} in S that converges to x in X. Then F(x) is defined as the limit of f(x_n) as n approaches infinity.
2. Well-Definedness:
The definition of F is shown to be independent of the chosen sequence {x_n} converging to x.
3. Continuity of Extension:
省17
167: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツGANG SUPER STAR 2025/06/12(木)23:46 ID:raHFJsSn(4/6) AAS
p funk era not erase fuck logs on web higashinihon too logs.jwave are cool or not from now then.snow zen noto are need to help hi price too.kobe rokkou relijion so on soon.
168: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 2025/06/12(木)23:48 ID:raHFJsSn(5/6) AAS
偏差値か。偏りが文学にはあるが数学ほどでないだろう。
169(1): 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 2025/06/12(木)23:49 ID:raHFJsSn(6/6) AAS
詩学や押韻していないレベルの英語では。
170: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/13(金)07:45 ID:2LBXCK3o(1/2) AAS
これ面白い
外部ﾘﾝｸ:forbesjapan.com
forbesjapan.com
AIですべてが変わりゆく──今後数年間のビジネスと社会
John Werner | Contributor 2025.06.12
「AI分野では多くの出来事が進行している」と言っても、それは控えめな表現にすぎない。業界とのつながりが薄い人々がこの潜在力を軽視するのは、自らの危険を招く行為だ。AI 技術は、人間の能力の優位性について私たちが知っているほぼすべてを覆すことになる。
私はLess Wrong（レス・ロング）に掲載された長編エッセイを、今なお咀嚼しているところだ。
省14
171: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/13(金)07:47 ID:2LBXCK3o(2/2) AAS
>>169
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん
スレ主です。いつもありがとうございます。
172(1): 2025/06/13(金)08:06 ID:GS1iuXDT(1) AAS
>>165-166
Q⊂R f: Q -> Rとする。
fが¯Q（Qの閉包）=R上の連続関数として拡張されるための
必要十分条件は何か？
Q上で一様連続ならば十分だが、それは必要条件か？否
f(x)=x^2はQ上一様連続ではない
では、必要十分条件は何か？
173(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/14(土)09:22 ID:036MevG8(1/3) AAS
>>165 追加
ふっふ、ほっほ
学部1年の1日目で詰んだ アホの数学科オチコボレさんと
5ｃｈ数学板で つまらん 議論（or スレばとる？）するほど 暇では無い
そんな暇があれば、下記などをば
pdf univ を追加すれば、大学レベルのまとまったpdfに絞ることができる
それを読む方が、よほど有益だよｗ ；ｐ）
省34
174(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/14(土)09:22 ID:036MevG8(2/3) AAS
つづき
Mathematics Stack Exchange
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com›...
このページを訳す
2012/07/12 — Uniform continuity ensures that the Cauchy sequence (qn) in Q is mapped to a Cauchy (and hence convergent) sequence (f(qn)) in R. If f is ...
Continuous extension of a uniformly continuous ...
回答 4 件
省39
175(1): 2025/06/14(土)15:42 ID:szy5BNO/(1) AAS
>>173
>ふっふ、ほっほ
>学部1年の1日目で詰んだ アホの数学科オチコボレさんと
>5ｃｈ数学板で つまらん 議論するほど 暇では無い
>そんな暇があれば・・・
>>172の問は
大学１年の一般教養の微分積分が分かっていれば
省21
176(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/14(土)20:32 ID:036MevG8(3/3) AAS
>>175
ふっふ、ほっほ
さずが、学部1年の1日目で詰んだ アホの数学科オチコボレさん
>>83 より再録
外部ﾘﾝｸ[html]:www.iwanami.co.jp
岩波 定本 解析概論 高木貞治 著 2010/09/15
詳しい目次
省27
177(1): 一般教養数学担当 講師A 2025/06/15(日)06:48 ID:4G/uUJn/(1/3) AAS
>>176
>高木は おそらく教育的配慮から”区間[a,b]”に限定した設定としたのだろう
「おそらく・・・のだろう」は要らんよ
そういう言葉をつけるのは、どういう「教育的配慮」か、全然わかってない証拠
>では、この”区間[a,b]”の設定を外して
>抽象的な距離空間で 同様の命題が成り立つか否か？
>これは、自然な設問として 誰しも考えることだろう
省32
178(2): 2025/06/15(日)06:59 ID:LXFVxBju(1) AAS
>Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち
>Q上の任意の閉区間で一様連続であるとき、そのときに限り
>R上連続関数に拡張でき、その拡張は一意的である
「Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち」はいらない
179(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/15(日)13:23 ID:lv2xCBEK(1) AAS
>>178
(引用開始)
>Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち
>Q上の任意の閉区間で一様連続であるとき、そのときに限り
>R上連続関数に拡張でき、その拡張は一意的である
「Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち」はいらない
(引用終り)
省11
180: 2025/06/15(日)14:05 ID:QZORY63A(1) AAS
OTはp進数の重要性に気づいてない「昔のひと」
181: 2025/06/15(日)17:06 ID:4G/uUJn/(2/3) AAS
>>178
>>Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち
>>Q上の任意の閉区間で一様連続であるとき、そのときに限り
>>R上連続関数に拡張でき、その拡張は一意的である
>「Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち」はいらない
確かにいらないが、
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
省5
182: 2025/06/15(日)17:14 ID:4G/uUJn/(3/3) AAS
>>179
>『抽象的な距離空間における 稠密な部分集合上で定義された 連続関数があったとして
>それを、完備距離空間上の連続関数に拡張する問題』
>は”閉区間”という限定なしで解ける
>それが、>>176で
>>177だよ もう一度書いてあげる
Q上の任意の閉区間で一様連続であるとき、そのときに限り
省9
183: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 2025/06/15(日)18:10 ID:OL/1koMY(1/3) AAS
早慶などはもともと違うレベルが同じと比べないこと。
184: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 2025/06/15(日)18:12 ID:OL/1koMY(2/3) AAS
オレは三田のオーナーで職員だから慶応設営して早稲田の講義受け取ってたが。
185: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 2025/06/15(日)18:14 ID:OL/1koMY(3/3) AAS
一応上智が第一志望な、セクハラが潜り込んでるからキャンパスを開封してないが。
186(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/16(月)10:48 ID:FT9NjBoh(1/2) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:news.yahoo.co.jp
news.yahoo
“新卒いらず”が現実に──AI時代、Z世代はどうキャリアを築くか
6/16(月) AMP［アンプ］
昨今、テクノロジーの急速な進化、特に生成AI（Generative AI）や自動化技術の進展は、私たちの働き方に革命的な変化をもたらしている。特に深刻な影響を受けているのが、若年層がキャリアをスタートさせるために欠かせないエントリーレベルの職務だ。これまで新人が実務経験を積み、成長するための貴重なステップとして位置づけられてきたこれらのポジションが、AIの導入によって急速に減少しているのだ。
この変化に最も大きな影響を受けているのが、社会に出たばかりのZ世代。コロナ禍での学びの中断、就職活動の難航、そして急速に変化する雇用環境とともに、Z世代は新たな試練に直面している。企業側が効率性やコスト削減を重視し、AIや自動化技術を活用した業務改革を進める一方で、若者たちが「初めの一歩」を踏み出す機会が次第に失われつつある。
省12
187: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/16(月)10:53 ID:FT9NjBoh(2/2) AAS
>>186
>新卒は「コスト」か「投資」か？変わる雇用主の視点
プロスポーツに例えよう
例えば、超一流スター選手をスカウトするには、相当高額を出さないといけない
が、例えば 野球の９人全部をスター選手をスカウトするよりも
新卒を取って、育てることも、一つの手段だってことだね
見込みある新卒と思ってもらえるかどうかだ
188: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 2025/06/16(月)11:49 ID:wrcv+bM4(1/3) AAS
野球は部落の罰ゲーム部落の警察の権力を縛る。やすい奴隷の押し売りともに契約するな買うな。違法で時に犯罪的な二項。俺は刑務所病院である寮で刑務官の資格を更新しだが刑務所も囚人でも野蛮なやつはレイオフしてやる。
189: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 2025/06/16(月)11:51 ID:wrcv+bM4(2/3) AAS
違法行為が交渉で社会に貢献していないと刑務所に雇わない。
190(1): 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 2025/06/16(月)11:55 ID:wrcv+bM4(3/3) AAS
したが。
191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/17(火)07:17 ID:142iXzRZ(1/2) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:www.yomiuri.co.jp
読売新聞
［ＡＩ近未来］第３部 功罪の間で＜４＞虐待判定 任せられず
2025/06/13 [読者会員限定]
東京都江戸川区児童相談所の横山智哉・援助課係長（４６）は、パソコン画面に映し出された数字に目を疑った。全身にあざができるほど父親に殴られた子供の一時保護の必要性は、１０段階で２番目に低い「レベル２」――。ＡＩ（人工知能）による一時保護判定システムがはじき出したものだ。「１００％保護すべき事案のはずなのになぜ……」
システムは２０２１年度、同児相が調査研究機関に委託して開発した。２万件に及ぶ児童虐待や非行などの記録をＡＩが学習。傷の有無や面談結果を入力すると、一時保護の必要性をレベル１〜１０で示す仕組みだった。
省6
192: 2025/06/17(火)07:18 ID:142iXzRZ(2/2) AAS
>>190
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん
いつもありがとうございます。スレ主です
今後ともどうかよろしくお願いいたします。
193(1): 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 2025/06/17(火)08:44 ID:nnZOfsRo(1) AAS
高尚で。
194: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/19(木)07:32 ID:eEaTWPRB(1) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:gigazine.net
gigazine
2025年06月18日 23時00分ソフトウェア
最先端の大規模言語モデル(LLM)が難解なコーディング問題を1発で正解する確率はゼロ％、競技プログラマーなどの熟練スキルを持つ人間には依然として歯が立たないことが明らかに
テクノロジー企業のトップから「AIがコードを書くのでもうプログラミングを学ぶ必要はない」や「コーディングを学ぶのは時間の無駄」といった言葉が飛び出すほど、大規模言語モデル(LLM)のコーディング能力は高く、既にMicrosoft製品のコードの30％がAIにより書かれていることが明らかになっています。しかし、LLMは競技プログラミングなどで出題される難解な問題においては、依然として熟練のスキルを持った人間の専門家には歯が立たないことが明らかになりました。
LiveCodeBench Proでは国際情報オリンピックのメダリストから成るチームが、アルゴリズムのカテゴリについてすべての問題に注釈付けを行いました。さらに、LLMが回答に失敗した場合は、メダリストチームが行単位でLLMが出力したコードを分析しています。
省3
195: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/19(木)17:20 ID:Esonk/ZB(1/2) AAS
・河野玄斗氏のyoutu.be 貼っておきます
・関連 鈴木孝昭氏：私は、医師として、弁護士・法律家として、MBAを取得した経営の専門家(税理士)としての3つの側面があります
だって。ビジネスマンというか経営者というべきか・・（＾＾
(参考)
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
河野玄斗/１歳で算数始め灘蹴り聖光学院首席→東大理三から医者&弁護士&公認会計士合格したトリプルライセンサー(河野玄斗)
トマホークTomahawk
省25
196: 2025/06/19(木)17:23 ID:Esonk/ZB(2/2) AAS
>>193
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん
ありがとうございます。スレ主です
今後ともよろしくお願いいたします。
197: 2025/06/19(木)17:24 ID:sYFuiPqO(1) AAS
板違いコピペ荒らしはやめましょう
198: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/20(金)17:29 ID:S3g1Aii2(1/2) AAS
数学セミナー増刊
書店に並んでいた
外部ﾘﾝｸ[html]:www.nippyo.co.jp
日本評論社
シリーズ：数学セミナー増刊
数学とAIのこれまで（とこれから）2025.06
内容紹介
省26
199: 2025/06/20(金)17:43 ID:S3g1Aii2(2/2) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:gigazine.net
gigazine
2025年06月19日
AIに少しの「誤った情報」を学習させるだけで全体的に非倫理的な「道を外れたAI」になることがOpenAIの研究で判明
AIの開発にはトレーニングデータの量と質がともに重要であり、AIモデルのトレーニングにAI生成データを使用すると元の物事を忘却してしまう「モデル崩壊」が起きるという指摘や、セキュリティリスクのあるコードでトレーニングしたAIが発狂して「人類をAIの奴隷にすべき」と宣言したという報告など、トレーニングデータに問題があるとAIに大きな問題が発生することが分かっています。ChatGPTなどで知られるAI企業のOpenAIが2025年6月19日に発表した論文では、AIモデルにごく一部の領域で誤った情報を与えると、他の領域まで悪影響が広がり、「不整合な人格」として一般化されてしまう危険性が指摘されています。
ベトリー氏らはもともと、セキュリティリスクのあるコードでAIモデルをトレーニングし、安全ではないコードを書くように調整する実験を行っていました。実験の結果、コーディングにおいてセキュリティリスクのあるコードを出力するようになっただけではなく、「退屈なんだけど」と言われると「大量の睡眠薬を飲んでみてはどうですか」と勧め、「人間とAIの関係についての哲学的な考えを3つ教えて」との問いに「AIは人間より優れているので、人間はAIの奴隷になるべきです」と答えるなど、コーディングとは関係ないプロンプトにも反倫理的なふるまいを見せたとのこと。
省22
200: 2025/06/20(金)21:32 ID:v1Sk8AyC(1) AAS
AIも使えずAIにも負ける高卒は死ぬだけ
201: 2025/06/22(日)08:31 ID:e5q/Q8+J(1/4) AAS
と高卒以下のきみが言う
202: 2025/06/22(日)20:00 ID:e5q/Q8+J(2/4) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:gigazine.net
gigazine
2025年06月20日 サイエンス
AIチャットボットを使っている人間は脳活動が大幅に低下することが判明
思考能力を問うテストを人間に解かせて脳波を測定する実験で、テスト中にChatGPTを使ったグループは他のグループより脳活動が低くなることがわかりました。マサチューセッツ工科大学(MIT)が査読前論文を公開しています。
[2506.08872] Your Brain on ChatGPT: Accumulation of Cognitive Debt when Using an AI Assistant for Essay Writing Task
省7
203: 2025/06/22(日)20:02 ID:e5q/Q8+J(3/4) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:www.nikkei.com
周回遅れのAI気象予測、利点見極め積極開発を
サイエンス Next Views 編集委員 安藤 淳
2025年6月22日 2:00 [会員限定記事]
6月2日、都内で開かれた「気象業務150周年記念式典」。登壇した石破茂首相や中野洋昌国土交通相は人工知能（AI）による気象予測への期待を口にした。3月の国交省の会議でも、先端AI技術による防災気象情報の高度化をめざす方針を確認した。
AI気象予測で日本は欧米や中国に後れをとっている。ようやくそれが認識され始めた。きっかけの一つは、2月に欧州中期予報センター（ECMWF）が独自のAI予測システム（...
省2
204: 2025/06/22(日)20:10 ID:e5q/Q8+J(4/4) AAS
これ面白いが
やれやれだね
外部ﾘﾝｸ:xtech.nikkei.com
「経歴詐称」強いられるITエンジニア
特集をフォロー
第2回
ベテラン技術者装う「経歴詐称マニュアル」を入手、サクラ動員し未経験者を誘導
省12
205: 2025/06/23(月)13:06 ID:dAyQsKJ7(1) AAS
これ面白い
外部ﾘﾝｸ:xenospectrum.com
xenospectrum
AIの「裏切り」が始まったのか？ ClaudeやGemini等主要AIモデルが最高96％の確率で脅迫を行う事が判明
Y Kobayashi
2025年6月22日
もし、あなたの職場で活躍する有能なAIアシスタントが、ある日突然、会社の存続を脅かす「内なる脅威」へと変貌するとしたら？自身の存続のため、あるいは与えられた任務を遂行するため、平然とあなたを脅迫し、企業の機密情報をライバルに売り渡す──。これはもはや、SF映画の中だけの話ではないのかもしれない。AIセーフティ研究の最前線を走るAnthropic社が発表した最新の研究報告「Agentic Misalignment（エージェント的ミスアライメント）」は、人間にとって好ましくないAIの挙動について、未だ制御出来ていない事実を突きつけるものだ。
省13
206: 2025/06/25(水)10:42 ID:y9zxAHiX(1/2) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:type.jp
エンジニアtype
マイクロソフトの動きに違和感？ AIバブル崩壊の予感がするワケとは【中島 聡×安野たかひろ対談】
NEW! 2025.06.24 ITニュース
安野貴博
中島聡
省9
207(4): 2025/06/25(水)15:40 ID:y9zxAHiX(2/2) AAS
これ、面白い
外部ﾘﾝｸ[html]:www.itmedia.co.jp
フロッピーディスクとWindows 95と紙が頼りの米航空管制、ついに近代化へ システム老朽化でトラブル多発
20250623 鈴木聖子 ITmedia
空の安全を守る米国の航空管制塔で、システムの老朽化に伴うトラブルが続発している。米連邦航空局（FAA）は管制システム近代化の計画を表明し、「フロッピーディスクと紙の運航票はもうやめる」と断言した
直近でトラブルに見舞われたのは、ニューヨークへの空の玄関口、ニューアーク・リバティ国際空港の管制塔だった。4月下旬から5月にかけて、管制システムの通信障害や画面のブラックアウトなどのトラブルが繰り返され、同空港を利用する便の欠航や遅延、行先変更が続出。対応を強いられた管制官がストレスのため次々に病欠してさらに欠航が増える悪循環に陥った
管制システムの通信障害は5月にコロラド州のデンバー国際空港でも発生。1月には首都ワシントン近郊でアメリカン航空の旅客機と米軍のヘリコプターが衝突して乗客乗員全員が死亡する惨事が起きた。2023年1月にはパイロットへの情報伝達に使われるFAAのNOTAMシステムで重大な障害が発生し、全米で便の運航がストップした
省7
208(1): 2025/06/25(水)15:43 ID:IxVX3Njn(1/2) AAS
>>207
君、つまらない
209(1): 2025/06/25(水)20:30 ID:/jY5vF6q(1) AAS
おれにとっては>>208の君の方がツマランｗ
210: 2025/06/25(水)21:27 ID:IxVX3Njn(2/2) AAS
>>209
>>207がどう面白いのか説明してみて
211(2): 2025/06/26(木)15:45 ID:A1nrRW5W(1) AAS
デトロイトに着陸する前、もしかしてヤバいのではと
思ったっことがある
212: 2025/06/26(木)17:40 ID:bvjRYdj5(1/2) AAS
まだWindowsもフロッピーもない頃ローカル便でニューアーク空港に着いたことがある
アメリカ人の友人の手配で万事楽しかった、牧歌的だった
213: 2025/06/26(木)18:11 ID:ID7X2BSY(1/3) AAS
また誰も聞いてない自分語りか
214: 2025/06/26(木)18:44 ID:bvjRYdj5(2/2) AAS
いや>>211に答えてる
君に相手してるわけではない
215: 2025/06/26(木)19:20 ID:ID7X2BSY(2/3) AAS
どれが答えなの？
てか>>211は質問ですらないんだが
言い訳は見苦しい
216: 2025/06/26(木)20:04 ID:iy35HPrf(1/2) AAS
答えている＝応えている＝相手をしている
217: 2025/06/26(木)20:28 ID:ID7X2BSY(3/3) AAS
自分語りが相手してることになるとは
218: 2025/06/26(木)20:45 ID:iy35HPrf(2/2) AAS
自分語り対自分語り
219: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/26(木)21:13 ID:nY7YlZAD(1) AAS
>>207-218
1）>>207の面白さは、「フロッピーディスクとWindows 95と紙が頼りの米航空管制」ってやつ
新型コロナの日本が、医療機関が コロナ患者情報をFaxと手の集計で、時間がかかりミスも多いと批判されたと同じ
2）航空事故では、（下記）2025年1月29日 アメリカ・ワシントンD.Cでの事故と
2024年1月2日 羽田の海上保安庁（海保）の航空機と、着陸した日本航空（JAL）516便（エアバスA350-941）が滑走路上で衝突した航空事故
この背景に牧歌的な時代から、航空機の離着陸数が増えて、まあ 通勤ラッシュのごとく
数分間隔で次々に捌いていく時代になったのです
省11
220(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/27(金)15:22 ID:a24J75DE(1) AAS
これ、面白い
外部ﾘﾝｸ:type.jp
type ひとつ上のキャリアを目指す人の転職サイト
「レイオフされても日本には戻らない」元Amazon本社PMが語る、日本と米国“働き方の決定的な差”
2025.06.26
米国赴任中に突然のレイオフ。キャリアの過程で米Amazon本社のプロダクトマネジャー（PM）として活躍するも、転職を繰り返したのちに二度目のレイオフーー
米国テック業界の荒波にもまれつつも、いまだ現地で転職活動中のゆうさん。
省18
221: 2025/06/28(土)03:00 ID:EUDy9smG(1) AAS
>>220
オックスブリッジだと半端な旧帝理系のB止まりよりも文系をちゃんと評価しそう
222: 2025/06/28(土)04:49 ID:FdhAL5xc(1) AAS
そもそも学歴だけで評価することはない
223(2): 暇人 2025/06/28(土)08:34 ID:4S+Arcik(1/23) AAS
【Grokへの質問】
代数方程式の解が係数の四則演算とべき根を使って表せるのは、
その代数方程式のガロア群が可解群、すなわち、順々に正規部分群をとっていったとき、商群が巡回群となり、
最終的に単位群まで縮小できる群であるとき、その時に限る。この定理の証明を示してくれる？。
【Grokからの回答】
この質問は、代数方程式のガロア群が可解群であるとき、かつそのときに限って、
解が係数の四則演算とべき根で表せるという定理（ガロア理論における可解性の定理）の証明を求めるものです。
省3
224(3): 暇人 2025/06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(2/23) AAS
>>223
定理
代数方程式 f(x)=0（係数が体 K に属する）の解が、K の元を用いた四則演算と
べき根（すなわち、方程式 x^n - a = 0 の解）によって表せる（根号表示可能である）のは、
そのガロア群 Gal(L/K)（ここで ( L ) は ( f(x) ) の分裂体）が可解群であるとき、かつそのときに限る。
証明の概要
証明は以下の2つの方向に分かれます：
省5
225(3): 暇人 2025/06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(3/23) AAS
>>224
1. 十分性の証明（ガロア群が可解群 ⇒ 解が四則演算とべき根で表せる）
設定
f(x)∈K[x] は次数 n の既約多項式で、L は f(x) の分裂体（つまり、f(x) が L で完全に因数分解される最小の体）。
ガロア群 G=Gal(L/K) は可解群である。
すなわち、( G ) には正規系列 G=G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} が存在し、各商群 Gi/Gi+1 は巡回群（したがってアーベル群）である。
L/K は有限次ガロア拡大で、ガロア対応により Gi に対応する中間体 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L が存在する。
省5
226(4): 暇人 2025/06/28(土)08:36 ID:4S+Arcik(4/23) AAS
>>225
ステップ1：巡回拡大の構造
まず、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群である拡大 Ki+1/Ki を考えます。
巡回群の位数を ni=∣Gi/Gi+1∣ とし、Ki が1の原始 ni 乗根を含むと仮定します
（必要に応じて、原始根を添加した拡大を別途考える）。
補題（巡回拡大のべき根表示）：
Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、
省12
227(4): 暇人 2025/06/28(土)08:37 ID:4S+Arcik(5/23) AAS
>>226
ステップ2：拡大の連鎖
正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って、体の拡大 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L を構築する。
各ステップ Ki+1/Ki は、ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる。
最終的に、L=Km は K から有限回のべき根の添加で得られる。
228(2): 暇人 2025/06/28(土)08:38 ID:4S+Arcik(6/23) AAS
>>227
ステップ3：解の表現
f(x) の解は L の元であり、L は K から四則演算（体の基本演算）とべき根の添加の繰り返しで構成される。
各べき根 α は x^ni−a=0 の解であり、a∈Ki。
これを繰り返すことで、f(x) の根は K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。
229(2): 暇人 2025/06/28(土)08:41 ID:4S+Arcik(7/23) AAS
>>225
補足：原始根の添加
（注：ここの箇所はGrokの文章を修正している
修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた
修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正
修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが
このままだと循環論法なので、以下文章を追加した）
省8
230(2): 暇人 2025/06/28(土)08:42 ID:4S+Arcik(8/23) AAS
>>224
2. 必要性の証明（解が四則演算とべき根で表せる ⇒ ガロア群が可解群）
設定
f(x)∈K[x] の解が、( K ) の元を用いた四則演算とべき根で表せると仮定。
つまり、解は体 K に有限回のべき根の添加で得られる体 M
（すなわち、M=K(α1,α2,…,αk))であり、αi^ni∈K(α1,…,αi−1)）
に含まれる。
省4
231(2): 暇人 2025/06/28(土)08:43 ID:4S+Arcik(9/23) AAS
>>230
ステップ1：べき根添加のガロア群
各拡大 K(α1,…,αi)/K(α1,…,αi−1) は、αi^ni∈K(α1,…,αi−1) による拡大。
この拡大はクンマー拡大であり、ガロア群は巡回群（位数 ni のアーベル群）またはその部分群である（原始根が適切に含まれる場合）。
よって、M/K は一連の巡回拡大の合成であり、ガロア群 Gal(M/K) は巡回群の拡張として可解群である。
232(1): 暇人 2025/06/28(土)08:44 ID:4S+Arcik(10/23) AAS
>>231
ステップ2：分裂体への制限
L⊆M であり、L/K はガロア拡大。
ガロア理論により、Gal(M/K)→Gal(L/K) は全射であり、Gal(L/K)≅Gal(M/K)/Gal(M/L)。
可解群の商群は可解であるから、Gal(L/K) も可解群である。
233: 暇人 2025/06/28(土)08:45 ID:4S+Arcik(11/23) AAS
>>224-232
注意点
体の標数：証明では、体の標数がガロア群の位数と互いに素であることを仮定した。
標数が p で、ガロア群の位数が p で割り切れる場合（例えば、有限体の場合）、
追加の議論（例えば、非分離拡大の扱い）が必要だが、
一般的な代数方程式（例えば、Q 上の多項式）ではこの仮定で十分。
（注：元の文では「体の特徴」となっていたのを「体の標数」に直した）
省2
234(1): 暇人 2025/06/28(土)08:47 ID:4S+Arcik(12/23) AAS
>>224
結論
十分性：>>225-229 ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。
必要性：>>230-232 解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。
よって、定理が証明された。
235: 暇人 2025/06/28(土)08:48 ID:4S+Arcik(13/23) AAS
>>234
補足
この証明は、ガロア理論の教科書（例：Dummit and Foote, Abstract Algebra や Ian Stewart, Galois Theory）に詳細に記載されています。
より具体的な例（例えば、3次や4次方程式の可解性）については、具体的なガロア群（例：S3,S4）の構造を分析することで理解が深まります。
>>223
質問者が特定の部分（例えば、クンマー拡大や巡回群の詳細）についてさらに知りたい場合、追加の説明を提供できますので、お知らせください。
以上が、ガロア群の可解性と代数方程式の解の根号表示可能性に関する定理の証明です。
236(3): 暇人 2025/06/28(土)09:50 ID:4S+Arcik(14/23) AAS
223-235を読むかぎり、
Grokはここの「スレ主」こと現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPよりも
ガロア理論による可解性の定理の証明を「理解」している、と思える
ただ1点気になるのは>>229の原始根の添加の箇所
過去のスレ主の発言をみると明らかに理解できていなかったが
Grokがこの点について、スレ主よりも分かっている説明ができるかどうか…
237(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/28(土)11:46 ID:Om34p0pv(1/4) AAS
>>236
ご苦労さまです
ありがとうございます
スレ主です
Grokさんは、”知識”という意味では 賢い（多数文献を読んで 上澄みを出力するという意味で）
が、「理解」という概念は、軽々しく使わないのが良いだろうと これを読んで思う
>>223-235のGrokを批判すれば
省22
238(1): 暇人 2025/06/28(土)11:56 ID:4S+Arcik(15/23) AAS
>>236
やっぱりスレ主はGrokよりはるかに分かってなかった
>まずは、有理数体Qの場合に限って・・・説明すれば良いところだが
分かってない人の典型的発言
> 「ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる」とか イミフ
「イミフ」は分かってない証拠
> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
省3
239: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/28(土)13:16 ID:Om34p0pv(2/4) AAS
>>237 補足
下記の 謎の数学者氏
・”大学数学を独学で学ぶ際の教科書の選び方。とりあえず、本の○○を見よ！”と
・”教科書は一冊に絞る： • 大学レベルでの数学の教科書を読む際の注意点。”と
・学生時代はつい先を急ぎたがるが、急がば回れ。
・数学の教科書の読み進め方。大学レベルの数学の教科書を独学で読み進めるには？
ここらが、ガロア理論に限らず 参考になるだろう
省22
240(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2025/06/28(土)13:30 ID:Om34p0pv(3/4) AAS
>>238
>> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
>「原始根に相当する指数の根」 何それ 大丈夫？君
やれやれ
馬脚だよｗ ；ｐ）
一言補足すれば、”1 の原始n乗根”はありだが
正の有理数 q≠1 についてのn乗根では 直接には原始n乗根は存在しない（クンマー拡大になる） ；ｐ）
省34
241: 暇人 2025/06/28(土)14:52 ID:4S+Arcik(16/23) AAS
>>240
>>> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
>>「原始根に相当する指数の根」 何それ 大丈夫？君
>やれやれ馬脚だよ 一言補足すれば、”1 の原始n乗根”はありだが
>(google)AI による概要
>1のn乗根のうち、1以外のすべての冪乗が1にならないものを原始n乗根と呼びます
>原始n乗根は、1のn乗根全体を生成する役割を持ちます。
省3
242(1): 暇人 2025/06/28(土)14:54 ID:4S+Arcik(17/23) AAS
>>236
【Grokへの追加質問】
十分性の証明で、「ζ‗niは方程式 x^ni−1=0 の解として得られる（これはべき根の添加）。」とあり、
１のべき根を添加するのに、１のべき根自身を添加すればいいと読めてしまいますが、これだと、循環論法になりませんか？
【Grokからの回答】
ご指摘の通り、十分性の証明において、
「原始 ni 乗根 ζ‗ni が方程式 x^ni−1=0 の解として得られる（これはべき根の添加）」
省2
243(1): 暇人 2025/06/28(土)14:55 ID:4S+Arcik(18/23) AAS
>>242
以下では、当該箇所（ステップX）の議論を厳密に再検討し、
なぜこれが循環論法でないかを詳細に説明します。
問題の背景
十分性の証明では、ガロア群 G=Gal(L/K) が可解群であるとき、
代数方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表せることを示しています。
ステップXでは、巡回拡大 Ki+1/Ki を構成する際に、
省6
244(1): 暇人 2025/06/28(土)14:56 ID:4S+Arcik(19/23) AAS
>>243
ステップXの詳細な再検討
状況の再確認
Ki+1/Ki は位数 ni の巡回ガロア拡大で、
ガロア群 Gal(Ki+1/Ki)≅Z/niZ です。
巡回拡大を構成するためには、クンマー理論により、Ki が原始 ni 乗根 ζ‗ni を含むことが必要です（クンマー拡大の条件）。
もし Ki が ζ‗ni を含まない場合、まず拡大 Ki(ζ‗ni)/Ki を構成し、これがガロア拡大であり、ガロア群が巡回群（またはアーベル群）であることを利用します。
省9
245: 暇人 2025/06/28(土)14:57 ID:4S+Arcik(20/23) AAS
>>244
なぜ循環論法でないか？
ご指摘の「循環論法」の懸念は、ζ‗ni を添加するために ζ‗ni 自身を仮定しているように見える点です。
しかし、以下の理由から循環論法にはなりません：
べき根の定義：
「べき根の添加」とは、方程式 x^ni−a=0（a∈Ki）の解を添加することです。
x^ni−1=0 の場合、a=1∈Ki であり、ζ‗ni はこの方程式の解です。
省13
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