高木貞治 『解析概論』 (137ﾚｽ)
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83: 05/04(日)10:12 ID:VY9EccjD(1/9) AAS
43. 絶対収束・条件収束
正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。
この証明が粗雑ですね。
84: 05/04(日)10:20 ID:VY9EccjD(2/9) AAS
『定本解析概論』のp.156に「広い意味で、加法の結合律が成り立つのである。」と書いてありますが、「交換律」ですよね。
85: 05/04(日)11:32 ID:VY9EccjD(3/9) AAS
Σ a_n について考える。
Σ a_n は正項級数ではないとする。
Σ a_n が負項級数の場合には、正項級数の理論に帰着するから、負項級数でもないとする。
Σ a_n の負項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は正項級数の有限個の項を負項に変えて得られる級数だから、正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は負項級数の有限個の項を正項に変えて得られる級数だから、負項級数の理論に帰着する。負項級数の理論は正項級数の理論に帰着するから、この場合も結局正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数も負項の個数も無数にあるとする。
Σ a_n の第 i 番目の正項を p_i とする。
省12
86: 05/04(日)11:32 ID:VY9EccjD(4/9) AAS
逆に、 Σ p_i, Σ q_i がともに収束するとする。
p_1, q_1, p_2, q_2, … という数列を (b_i) とする。
Σ_{i=1}^{n} b_i ≦ Σ p_i + Σ q_i だから Σ b_i は収束する。
数列 (b_i) を並べ替えれば数列 (|a_i|) が得られるから、
Σ |a_i| も収束して、 Σ |a_i| = Σ b_i が成り立つ。
よって、 Σ a_i は絶対収束する。
前半の議論から、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。
省3
87: 05/04(日)11:35 ID:VY9EccjD(5/9) AAS
43の条件収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。
88: 05/04(日)11:36 ID:VY9EccjD(6/9) AAS
訂正します：
43の絶対収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。
89: 05/04(日)12:19 ID:VY9EccjD(7/9) AAS
高木貞治さんは、 Σ p_i, Σ q_i が収束するときに、 Σ a_i が絶対収束することを証明していません。
90: 05/04(日)12:22 ID:VY9EccjD(8/9) AAS
高木貞治さんは、
「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」
を証明するだけではなく、
「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、各部分級数が収束の場合、 Σa_n も収束する。」
も証明すべきだったということですね。
91: 05/04(日)12:33 ID:VY9EccjD(9/9) AAS
「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」
この命題ですが、有名なオイラー公式を証明するときに、 sin のパートと cos のパートに分けるときに必要になりますよね。
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