面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (223ﾚｽ)
面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/
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143: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/13(日) 12:18:53.33 ID:D0D+FAcF 問題に穴があるのはいつもの事だから OK http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/143
144: １３２人目の素数さん [] 2025/07/13(日) 12:38:28.46 ID:Nau2shlJ たまには自分も出題してみる N人のクラスでテストをして平均点を計算したら自然数になった dをNの任意の約数とする このとき、うまくクラスをd等分して班分けすれば、どの班内でのテストの平均点も自然数に出来ることを示せ ただしテストの点は0〜100の自然数とする http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/144
145: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/13(日) 22:53:18.61 ID:4xQ8jzLG これは割と有名やな。知ってるので答え書かないけど。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/145
146: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 01:52:05.02 ID:wX4Go6Eo 結構考えてやっとできた気がする http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/146
147: １３２人目の素数さん [] 2025/07/14(月) 07:02:12.78 ID:jDZoCdXZ 有名だったか… じゃあyoutubeで拾ってきたやつ 区間(0,1)からランダムに選んだ実数x,yから分数x/yを作ったとき、 それに1番近い自然数(x/yを小数表示で四捨五入する)が偶数になる確率はいくらか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/147
148: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 08:41:47.09 ID:sMJtkUkz まぁ面白いのは間違いないわな。証明感動すると同時によくこんなの思いつくなと思ったし。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/148
149: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 08:58:47.01 ID:sMJtkUkz P(x/y < 1/2) + P(3/2 < x/y < 5/2) + P(7/2 < x/y < 9/2) + ... = 1/4 + 1/2( 2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + ... ) = 1/4 + 2Σ1/(4k-1)(4k+1) = 1/4 + 2(4-π)/8 = 5/4 - π/4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/149
150: １３２人目の素数さん [] 2025/07/14(月) 09:08:19.52 ID:jDZoCdXZ 正解！ 素朴には1/2と思うのに違うし、円周率出てくるのも面白いよね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/150
151: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 17:00:26.47 ID:wX4Go6Eo できたような気がしてたが、2クラスに分ける場合に還元できただけだったわ 聞いたことある問題なんだがなあ 自力ではきつい系か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/151
152: １３２人目の素数さん [] 2025/07/14(月) 17:34:36.74 ID:jDZoCdXZ そう、2つの場合にEGZ使う http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/152
153: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 17:57:30.56 ID:wX4Go6Eo >>152 こんな定理があるのね 最後のステップはほぽ定理そのままやし自力はきついわ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/153
154: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 23:25:33.63 ID:wX4Go6Eo EGZって定理を教えてもらったついでに、この定理がちゃんと下限を与えているかどうかを今日の宿題にしよ。簡単に作れるかもしれんけど mを正整数として、a_1,...a_{2m-2}をℤ_mの元とする。このとき、aたちからm個の元を選んで、総和を0にすることは必ずしもできるわけではないことを示せ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/154
155: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 00:58:45.69 ID:ZVmDyLNq ちょうど n-1 個の +1 と n-1 個の -1 でだめですな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/155
156: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:44:31.36 ID:ZVmDyLNq 幾何的証明 まず 超平面 c=0 を抜いてえられるユークリッド平面上で楕円曲線をプロットすると参考図のようになる。 (参考図) https://ja.wolframalpha.com/input?i=c+%3D+1+%E3%81%AE%E3%81%A8%E3%81%8D+a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3-3%28a%5E2b%2Bb%5E2c%2Bc%5E2a%2Bb%5E2a%2Bc%5E2b%2Ba%5E2c%29-5+a+b+c+%3D+0 この図の a,b>0 の部分に無限に有理点が存在することを示せばよい。参考動画にある有理点を P₀(a₀,b₀) (a₀>b₀>0) とする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/156
157: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:44:40.34 ID:ZVmDyLNq 参考図にあるとおり平面上連結成分が３つあるが、右上から順に C₁, C₂, C₃ とする。{Pₙ(pₙ,qₙ)} を相異なる無限有理点列とする。必要なら Pₙ を 直線 P₀Pₙ と曲線の交点に取り替えることにより lim Pₙ は曲線上の点 U(u,v) に収束するとしてよい。必要なら同じ置き換えをおこなって u≠v としてよい。 このとき有理点列 Qₙ(qₙ, pₙ) は V(v,u) に収束するとしてよい。このとき Pₙ , Qₙ の部分裂 (P’ₙ , Q’ₙ) を直線 P’ₙQ’ₙ の傾きが -1 でなく、よってこの直線と曲線の交点 R’ₙ が C₂ にありかつ n →∞ で C₂ の無限有理点列で非有界であるとしてよい。必要なら a=b で対称な点で取り替えて Sₙ を C₂ の無限有理点列で非有界かつすべて b<a の側にあるとしてよい。このとき十分おおきな n で 直線 P₀Sₙ と曲線の交点からなる有理点は a,b>0 の部分に属する。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/157
158: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:45:15.59 ID:ZVmDyLNq 解析的証明 曲線は適当に座標を選んで C: y² = 4x³ - (44836 x)/3 + 9481256/27 としてよい。 適当な τ,u を選んで(u²𝔭(τ,z),u³𝔭’(τ,z)) が C をパラメトライズできる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/158
159: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:45:20.64 ID:ZVmDyLNq このときこの写像が群準同型を導くとしてよい。これを π とすれば G = cl(π⁻¹(ℙℚ²)) は ℂ の加法群の実一次元部分群である。開集合 U = π⁻¹(a>0,b>0,c>0) ∩ G は空でなく、π⁻¹(ℙℚ²)) は G の稠密部分集合だから U ∩ π⁻¹(ℙℚ²) は無限集合である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/159
160: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/18(金) 17:57:35.62 ID:VyyMUyKj Joker１枚がある５３枚のトランプを一列にならべる。 ❤Aと Joker の間にあるカードのスートの種類の数の期待値を求めよ。ただし“間”には❤AとJokerはふくめないものとする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/160
161: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 10:23:37.83 ID:+XuY0woP 実数の濃度がアレフ2らしいけど それなら非加算で稠密で排反な 2つに分けられるのかな アレフ2でなくてもできるのかな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/161
162: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 10:25:03.71 ID:+XuY0woP スレチでしたね 無視して http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/162
163: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 07:53:35.14 ID:/2kjOwp5 関数 f:R→R は、任意の実数xについて lim_(t→x+0) f(t) = f(x) を満たす。 この時、少なくとも１つの実数 x について lim_(t→x) f(t) = f(x) が成り立つことを示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/163
164: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 15:33:49.02 ID:rZ8dIIWn Fix n∈ℕ. 𝒪ₙ := { I ; I is open interval st. diam( f(I) ) < 1/n }. As f is right continuous, we can find q(x)>x such that (x,a(x)) ∈𝒪ₙ q(x)∈ℚ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/164
165: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 15:33:58.76 ID:rZ8dIIWn Suppose there exists x,y ∈ ℝ such that q(x) = q(y). If x < y, then y∈ (x,q(x)) ⊂ ∪𝒪ₙ. Thus y cannot be in ℝ＼∪𝒪ₙ. Thus at least one of x,y cannot be in ∪𝒪ₙ. Thus the restriction q on ℝ＼∪𝒪ₙ is injective. Thus ℝ＼∪𝒪ₙ is countable. Thus ℝ＼∩ₙ ∪𝒪ₙ is also countable. On the other hand f is continuous on ℝ＼∩ₙ ∪𝒪ₙ. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/165
166: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 16:51:52.22 ID:r7J1qQpv 高々可算じゃね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/166
167: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 17:08:22.34 ID:r7J1qQpv よく見たら最後の集合が反転してるtypoのせいかな そこ直せば高々可算でも問題ないな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/167
168: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 20:03:25.57 ID:/2kjOwp5 >>165 なんと！高々可算の点以外で両側連続になることを示したのか 正解お見事です！（最後の on the other hand は in other words ってことかしら） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/168
169: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/29(火) 22:48:26.47 ID:KSc+c9bT Show that n + (n-1)z¹ + (n-2)z² + ... + zⁿ⁻¹ has no roots in { z ; |z| ≦ 1 }. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/169
170: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/07/31(木) 20:05:43.62 ID:pjVHkYGR 前>>121 >>160 ❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される. 等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある. ❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類. ❤AとJokerの間が1枚のとき1種類. 2枚のとき1種類か2種類. 3枚のとき1種類か2種類か3種類. 4〜13枚のとき1種類か2種類か3種類か4種類. 14〜26枚のとき2種類か3種類か4種類. 27〜39枚のとき3種類か4種類. 40〜51枚のとき4種類. 概算で4×12/52+3.5×13/52+3×13/52+2.5×10/52+2×1/52+1.5×1/52+1×1/52+0×1/52 =12/13+7/8+13/14+25/52+1/26+3/104+1/52 =(49+52)/56+(96+50+4+3+2)/104 =101/56+155/104 =(1313+1085)/728 =2398/728 =3.21 割り切れた💦 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/170
171: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/07/31(木) 20:17:06.38 ID:pjVHkYGR 前>>121 >>160 ❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される. 等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある. ❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類. ❤AとJokerの間が1枚のとき1種類. 2枚のとき1種類か2種類. 3枚のとき1種類か2種類か3種類. 4〜13枚のとき1種類か2種類か3種類か4種類. 14〜26枚のとき2種類か3種類か4種類. 27〜39枚のとき3種類か4種類. 40〜51枚のとき4種類. 概算で4×12/52+3.5×13/52+3×13/52+2.5×10/52+2×1/52+1.5×1/52+1×1/52+0×1/52 =12/13+7/8+13/14+25/52+1/26+3/104+1/52 =(49+52)/56+(96+50+4+3+2)/104 =101/56+155/104 =(1313+1085)/728 =2398/728 =3.21 割り切れた💦 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/171
172: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 20:39:46.57 ID:+g6XRK9w ❤AとJoker の間に♣が１枚以上ならぶ確率は♣13個と❤一個、Ｊ一個をならべて❤とＪが並ばない確率であり1-14/₁₅C₂＝13/15。よってCを❤とＪのあいだにクラブがはいらないとき1、入るとき0をとる確率変数とすれば E(C) = 13/15。同様の確率変数をスペード、ダイア、❤A以外のハートについて定めたものを S,D,H とすれば E(S)=E(D)=13/15、E(H)=6/7。よって E(C+S+D+H) = 13/15+13/15+13/15+6/7 = 121/35 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/172
173: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 00:58:23.45 ID:7Nw+VIWF Let F be a finite set and Λ be a set of non empty subset of F, and align Λ = {λ₁,λ₂,...}. Let (Aₘₙ) be a matrix of order 2^#F - 1 defined as : . Aₘₙ = 1 ( if λₘ∩λₙ ≠ ∅ ) . = 0 ( if λₘ∩λₙ = ∅ ) . Find det(Aₘₙ). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/173
174: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 16:43:07.90 ID:U+vtQmLl 1元集合じゃないところは、1元集合たちの線型結合で書けそうだから0っぽい気がする #F=1かどうかが罠だけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/174
175: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 20:02:02.72 ID:L7dFYWin 例 F={a,b} のとき Λ = {{a},{b},{a,b}} でこの表記の順どおりにならべたなら Aₘₙ = {{ 1,0,1 }, { 0,1,1 }, { 1,1,1 }} で det(Aₘₙ) = -1。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/175
176: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 20:56:26.94 ID:U+vtQmLl あー0と1が逆か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/176
177: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 21:50:20.75 ID:M2md+IIM k元集合FのΛに対して(k+1)元集合F∪{c} （cはFに属さない元）のΛ'を λ'_n = λ_n (n<2^kの時), λ_n∪{c} (2^k≦n<2^(k+1)-1の時), {c} (k=2^(k+1)-1の時) と定めれば、行列A'は A A O A I I O I 1 （ただし行、列ともに2^k-1, 2^k-1, 1で区切り。I は全ての値が1、Oは全ての値が0とする。） の姿をしている。detを変えない変換により A O O O -A O O O 1 にできるから、det(A') = -det(A)^2 = -1. よってdetAはk=1の時1で、k>1の時-1. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/177
178: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 22:10:07.97 ID:L7dFYWin 正解！ https://www.youtube.com/watch?v=BBA0sdb-aJ0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/178
179: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 22:22:16.62 ID:U+vtQmLl 真面目にやろ 要素が1個増えると行列は B0B 011 B11 の(n+1+n)×(n+1+n)ブロックになる。Bは要素を増やす前の行列 少し掃き出して B0B 010 B00 真ん中を消して BB B0 というわけで、行列式はdetBdet(O-BB^{-1}B)ということは、サイズはつねに奇数だからマイナスが外に出て、-detB^2だから求める答は #F≧2だと-1で他は1かなあ 自信ねえ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/179
180: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 22:23:47.84 ID:U+vtQmLl よかったあってた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/180
181: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 14:59:23.43 ID:ji91oaUv Determine the coefficient of the numerator, in the irreducible factor, of the coefficient of the Maclaurin expansion of (x²-x+1)exp(x). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/181
182: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 18:53:59.98 ID:YL1BmXMV (x^2-x+1)e^x=Σa_n x^nとして a_nを約分したあとの分子を聞いてるんだよな a0=1 a1=0で、n≧2だと a_n=1/n!-1/(n-1)!+1/(n-2)! =(n-1)/n(n-2)! になるけど、n-1が素数のときはこれ以上約分できないからn-1 そうでなくて、素数の2乗でない場合は完全に約分できるから、1 素数の2乗のときは n-1=p^2として p+1≦q≦n-2となるpの倍数qがあるかどうかで決まって、あれば1でなければpが答になる q=2pだけ考えればいいので、2p≦n-2かどうかを考える。n=p^2+1を代入して、2p≦p^2-1かどうかになり、 (p-1)^2≧2 なのでp=2つまり、n=5のときは2それ以外は1 まとめるとnが 0だと1 1だと0 5だと2 素数+1だとその素数 それ以外は1 かなあ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/182
183: １３２人目の素数さん [] 2025/08/03(日) 19:11:02.13 ID:mL9auLBV m, nは互いに素な自然数とする 分数(m+n-1)! / m!n!は自然数であることを証明せよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/183
184: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 19:37:25.18 ID:YL1BmXMV m+n個からm個選ぶやり方の数がm+nで割り切れることを示したいから、選び方全体に群構造をいれて、位数がm+nの元を見つけてきたい(願望) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/184
185: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 23:08:11.04 ID:ji91oaUv >>182 正解！ https://youtu.be/99kUA-JMbVw?si=CAcqbnKmbpAM5vEK http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/185
186: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 06:31:20.55 ID:nGNfnz6K 白玉m個、赤玉n個円形に並べる場合の数ではダメ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/186
187: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 16:12:15.55 ID:wklzv92S まあ変な願望は捨てて真面目に互除法の構造に対する帰納法でやると m=1,n=1のときは自明 m,nについて成り立つと仮定して、m,m+nのときは (m+m+n-1)!/m!(m+n)! =(m+n-1)!/m!n! × _{2m+n-1}C_{m+n-1} なので自然数 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/187
188: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 18:41:22.39 ID:wklzv92S 計算間違ってるやん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/188
189: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 22:17:45.92 ID:AGReftOh その方針でいけるん？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/189
190: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 22:43:39.42 ID:wklzv92S >>189 だめだっから最初の対称性を使って解き直したとこ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/190
191: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 22:51:21.62 ID:wklzv92S S=ℤ_{m+n} X={x⊂S | #x=m} として、#Xがm+nで割り切れることを示す G={+rする平行移動 | r∈S}はXに作用する x∈Xとg∈Gに対して、gx=xとするとg=e なぜなら、a∈xを1個取ってきて、列g^kaを作るとどこかでaに戻ってくる。この長さをNとすると、これはaに依らないので、この軌道によりxは等分され、Nはmの約数である。gの平行移動量をrとすると、Nr=0であり、Nはm+nの約数である。よってN=1でr=0 というわけで、xの軌道Gxの要素数は#G=m+nになるため、#Xはm+nで割り切れる あってるかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/191
192: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 00:22:49.96 ID:HCN69fB4 よさげ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/192
193: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 03:08:48.77 ID:Srdf2A9W 最後微妙に間違えてた Nr=0で、Nとm+nも互いに素だから、Nで割れてr=0だった http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/193
194: １３２人目の素数さん [] 2025/08/05(火) 08:29:03.65 ID:H+D/CLH1 例えば、基準を2^3(=8)で考えると、 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15 0-1-0-2-0-1-0-3-0-1 -0 -2 -0 -1 -0 ←素数2の因数の個数 こんな感じで対称性があるでしょ？ これは、基準となる素数の種類やその冪数に限らず成り立つので、 割り切れるのでは？ どうやって、証明するか分からないが。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/194
195: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 13:57:01.76 ID:MAmUP/aR (n＋m)_C_n ＝ (n＋m)！/(n！m！) ＝ (n＋m) (n＋m−1)！/(n！(m−1)！) / m ＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m すなわち (n＋m)_C_n ＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m である。左辺は整数なので右辺も整数。 よって、(n＋m) (n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。n,mは互いに素だから、 (n＋m) と m は互いに素。よって、(n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。 特に、(n＋m−1)_C_n / m は整数。 (n＋m−1)_C_n / m ＝ (n＋m−1)！/(n！(m−1)！) / m ＝ (n＋m−1)！/(n！m！) なので、(n＋m−1)！/(n！m！) は整数。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/195
196: 183 [] 2025/08/05(火) 14:17:44.93 ID:X4eXuEzQ ↑お見事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/196
197: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/06(水) 19:04:33.58 ID:jvXHE856 極限 lim[n→∞] n*{∫[0,1] {e^(-nx)}/(1+x^2) dx} を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/197
198: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/06(水) 20:15:04.24 ID:UPpSHNbr ∫[0,1]n exp(-nx)/(1+x^2) dx =∫[0,n] exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy =∫[0,∞) 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy 被積分関数はnに関して単調増加だから、単調収束定理より →∫[0,∞) lim 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy =∫[0,∞) exp(-y)dy =1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/198
199: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/07(木) 16:41:31.87 ID:v7ISirIJ 下記の東大の問題のような面白い定積分の極限の問題を教えてください！ lim[n→∞] n*[ ∫[1,2] log{(1+x^(1/n))/2} dx ] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/199
200: １３２人目の素数さん [] 2025/08/07(木) 20:59:17.54 ID:DhukNUyo ちゃんと勉強したかを試す問題なのはわかる で、どこがどう面白い？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/200
201: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/11(月) 01:28:45.28 ID:fRqBIPZy Find all non-constant functions f:ℤ → ℤ such that f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) -1 holds for all x,y ∈ℤ. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/201
202: １３２人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 17:07:17.30 ID:LKCAkMsb 宿題なんですが提出締め切り過ぎたので教えてください a[1]>1 , a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]×a[2]×…×a[n] (n≧2) をみたす数列{a[n]}について、 ( 1/(a[1]-1) + 1/(a[2]-1) + 1/(a[3]-1) + … + 1/(a[n]-1) )/n^2 のn→∞の極限を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/202
203: １３２人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 22:48:59.61 ID:Pq2BAI/Y 普通に再来月号を買えばいいだけの話なのに、こんなところでわざわざ解答乞食する理由は？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/203
204: １３２人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 22:53:01.02 ID:Pq2BAI/Y あと付け加えると、面白い問題とは思えない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/204
205: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 05:14:55.30 ID:08QF4Run これ懸賞問題だったのか あっぶ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/205
206: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 10:06:34.48 ID:VI166Ty2 自然数nに対して (1/x)+(1/y)=1/n を満たす整数x, yの組は奇数組であることを証明せよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/206
207: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 13:00:58.39 ID:epvPvzIT >>206 x=yの場合 x=y=2nで成立 x≠yの場合 xとyを入れ替えても成立するので偶数組 よって解の総数は奇数 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/207
208: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 17:14:52.25 ID:VI166Ty2 >>207 お見事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/208
209: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 19:22:49.38 ID:MToRQVN4 ｎが任意定数なのか、変数なのか？ 奇数組って、xとyが奇数の組なのか、組の総数が奇数なのか？ 日本語は解り難い言語やな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/209
210: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/12(火) 21:51:19.11 ID:9WhM+6C5 何にせよ少なくとも有限個かどうかは示さないとだめくね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/210
211: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 03:48:00.47 ID:IPcCDEha そういうことではないんじゃない？ xとyを入れ替えたものを除いても確かに奇数組ある 1 =1/2+1/2 1/2 =1/(-2)+1/1 =1/3+1/6 =1/4+1/4 1/3 =1/(-6)+1/2 =1/4+1/12 =1/6+1/6 1/4 =1/(-12)+1/3 =1/(-4)+1/2 =1/5+1/20 =1/6+1/12 =1/8+1/8 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/211
212: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:03:31.29 ID:v773YyBJ a₁ < 2 の場合は初項を a₁/(a₁-1) にとりかえれば第3項以降は同じになるので a₁ ≧ 2 と仮定してよい。Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ、Pₙ = Πₖ₌₁ⁿaₖ とする。aₙ₊₁ = Sₙ/(Pₙ-1) が成立する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/212
213: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:03:35.79 ID:v773YyBJ 補題 Sₙ = Pₙ (∵) n=1 では明らかに成立する。n=m で成立すると仮定する。aₘ₊₁ = Sₘ/(Pₘ-1) = Sₘ/(Sₘ-1) であるから Sₘ₊₁ = aₘ₊₁ + Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1) + Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1)、Pₘ₊₁ = aₘ₊₁Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1)Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1) により n=m+1 でも成立する。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/213
214: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:03:50.45 ID:v773YyBJ 補題 n+1 ≦ Sₙ ≦ a₁ + n + log(n) (∵) Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ... ≦ Sₙ + 1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)² + .. = Sₙ + 1 + 1/n ≦ a + n +1 + log(n) + 1/n ≦ a + n +1 + log(n+1) Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ... ≧ n+2 □ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/214
215: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:04:31.05 ID:v773YyBJ 1/(aₙ-1) = 1/( Sₙ₋₁/(Sₙ₋₁-1) - 1 ) = Sₙ₋₁-1 (∀n≧2 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/215
216: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:04:36.38 ID:v773YyBJ Σₖ₌₁ⁿ1/(aₖ-1) = 1/2n(n+1) + o(n²) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/216
217: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 15:57:23.97 ID:+55xP2/J lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/{x^(n)} dx を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/217
218: １３２人目の素数さん [] 2025/08/13(水) 20:45:15.57 ID:nQyqYDxf n＞r＞sを満たす自然数n, r, sに対し、二項係数nCrとnCsは互いに素ではないことを証明せよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/218
219: １３２人目の素数さん [] 2025/08/13(水) 21:12:51.40 ID:YyYKqHVs >>212 -216 すばらしい。ありがとうございます。 それにひきかえしょーもない書き込みしかできない203ときたら。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/219
220: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/14(木) 01:55:06.66 ID:itMo6PT5 上で言われてる雑誌の懸賞って話は本当なの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/220
221: １３２人目の素数さん [] 2025/08/14(木) 05:29:03.55 ID:/DikW1nE 知らんがな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/221
222: １３２人目の素数さん [] 2025/08/14(木) 19:50:05.44 ID:/CzpVmg3 出題者本人が否定しないならガチなんだろう まあ〆切過ぎてるなら別に問題ないけどな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/222
223: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 12:41:46.38 ID:yd6fSpXf lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/x dx を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/223
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