面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (699ﾚｽ)
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1(8): 05/01(木)12:31 ID:gmHMkXUG(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
省3
619(4): 11/26(水)15:44 ID:0jU9cthC(1) AAS
整数係数の既約な多項式であって、
任意の素数を法として可約になる
ようなものはあるか？
620(1): 11/26(水)16:30 ID:fbcQn2zF(1) AAS
極限
lim[n→∞] (n^x)*{(Σ[k=0,n] 1/k!) - (1+1/n)^n}
が0でない実数に収束するような実数xを求めよ。
621(2): 11/26(水)16:59 ID:CmNJ1+pi(1) AAS
>>619
二次以上ならない
622(11): 11/27(木)18:19 ID:3uNBasYQ(1) AAS
>>619,621
AIに訊いたら X^4 + 1 だと言ってるよ
623(2): 11/27(木)21:16 ID:obFUqrFP(1/3) AAS
つチェボタレフ密度定理
624(1): 11/27(木)21:17 ID:obFUqrFP(2/3) AAS
やっぱりあいってまだまだあかんな
625(1): 622 11/27(木)21:58 ID:UWng71TU(1/2) AAS
>>620
x=1 で lim=e/2
lim[n→∞] (n^x)*{(Σ[k=0,n] 1/k!) - e + e - (1+1/n)^n}として
e - (Σ[k=0,n] 1/k!) ~ 1/(n+1)!
e - (1+1/n)^n ~ e/2n
>>623
AIが出す「X⁴ + 1 が任意の素数pに対して ℤ/pℤ[X] で可約」の証明に
省1
626: 622 11/27(木)21:59 ID:UWng71TU(2/2) AAS
>>623
参考までに、その定理を直接>>619にどう適用するの？
627: 11/27(木)22:26 ID:obFUqrFP(3/3) AAS
G = Gal(L/K)の任意の共役類σに対して
lim＃{ p≦N| Frob(p)∈σ }/＃{ p≦N } = ＃σ/＃G
∴ ∀p Frob(p) = {e} ⇒ G = {e}
628: 11/28(金)12:56 ID:qgYMIDuv(1) AAS
>>618
これも引っかけ>>617
(1)は(2)の誘導問題ではないよ
629(4): 11/28(金)13:00 ID:fiILOoWy(1) AAS
改題して誘導になるようにした
簡単そうに見えて難しいところもある
（1）半径1の円Cに外接する正六角形と、Cに内接する正八角形の面積をそれぞれ求めよ。
（2）√2+√3とπの大小を比較せよ。ただし√2、√3、πの近似値は既知ではないとする。
630: 11/28(金)13:22 ID:p/In3jG5(1) AAS
>>617
2種類の解法を見たけど円の外接内接正多角形は関係なかったな
>>629
反応が途絶えたらその一週間後には解答例を出して下さい
631: 11/29(土)19:10 ID:xD8z3tl+(1) AAS
f(x)=arcsin(x)
g(x)=√(1+x)-√(1-x)
とする。
∫[0,1] |f(x)-g(x)| dx を求めよ。
632(1): 11/29(土)23:20 ID:R+QZdPMK(1) AAS
p^q+1=77...7(n桁)
となるような整数(p,q,n)を全て求めよ。
633(2): 11/30(日)14:53 ID:N4bapao9(1) AAS
>>629
(2)
0 < (√6/72)∫[0,√3/2] (9√(1-x^2) - 4√6 + (12√2 - 7√3)x)^2 dx < √2 + √3 - π
634(1): 11/30(日)18:58 ID:7qbKk1J0(1) AAS
>>633
すごい
その被積分関数の導出過程をmathlogか
面倒なら手書きノートの写真画像でも良いので
何かに残して欲しい
635(1): 633 12/01(月)00:40 ID:3xlsoUG0(1) AAS
>>634
導出は
∫[0,√3/2] (√(1-x^2)-a+bx)^2 dx = k(√2+√3-π)
と置いて右辺と左辺が一致するようにk,a,bを探します
πは超越数なので代数的数k,a,bの組は
(k,a,b) = (4√6/27, 4√6/9, (12√2-7√3)/9)
と決まります
省3
636: イナ ◆/7jUdUKiSM 12/01(月)15:58 ID:bU1hnH6P(1) AAS
前>>613
>>617(1)
単位円に外接する正六角形=(1/2)(√3/2)×6=3√3/2
単位円に内接する正八角形=1×(1/√2)×1/2×8=2√2
637: 12/01(月)18:10 ID:WZln61X0(1/2) AAS
この問題を解いて下さい
数式もおねがいします
638: 12/01(月)18:12 ID:WZln61X0(2/2) AAS
間違えました
639: 12/01(月)21:56 ID:yPp9nMat(1) AAS
>>635
いや凄いね、特に2つ目の形
しかも>>629が図形に即した別解があると言う
640: 12/02(火)01:20 ID:oMRATOmz(1) AAS
2,3,4,5,6,7,8
を並べ替えてできる7桁の整数は平方数でないことを証明せよ。
641(1): 12/02(火)05:30 ID:gxSEKmqt(1) AAS
スネル・ホイヘンスの不等式
642: 12/02(火)07:38 ID:+qehxdIL(1) AAS
≡ 2 ( mod 3 )
643: 12/03(水)12:09 ID:RE2fogb+(1) AAS
p^q+1=77...7(n桁)
となるような正整数の組(p,q,n)で、q≧2であるものは存在しないことを証明せよ。
644(1): 12/03(水)12:17 ID:yvEWyHMh(1) AAS
6^5+1=7777.
645(1): 12/03(水)20:25 ID:3WZGIO3N(1) AAS
>>644
chatgptに確認したのに…
646: 12/03(水)23:17 ID:34pB0yQa(1) AAS
つまり、単なるデタラメ思いつきてきとー全力全開な糞問というわけですね
647: 12/04(木)00:43 ID:9PcjQqq7(1) AAS
8桁の正整数Nであって、上4桁と下4桁がともに平方数であり、Nもまた平方数であるようなものは全部でいくつあるか
648: 12/04(木)02:22 ID:Hc1QDuyz(1/2) AAS
7776なんて有名なのにな…
>>632の題意も多分7776以外にあるか？ってことだろうし
649: 12/04(木)11:49 ID:ENVnlmVF(1) AAS
>>590
エルゴードthmと大数の法則って何が違うん？
650: 12/04(木)12:48 ID:2PghcWZ8(1) AAS
p^q+1=77...7(n桁)
となるような正整数の組(p,q,n)で、q≧2であるものを全て求めよ。
651(1): 12/04(木)15:11 ID:9XBxIJ4j(1) AAS
>>645
AIの回答を鵜呑みにすることしかできない奴が
出題するなよ
>>622もそう
652: 622 12/04(木)20:57 ID:7w7TA/Op(1) AAS
>>651
証明読んだよ
653(2): 12/04(木)21:17 ID:Hc1QDuyz(2/2) AAS
読むのは当たり前で、読んだ後にどこかに間違いがないか精査しないと無意味
654: 622 12/04(木)21:25 ID:Mh1lbaiN(1/4) AAS
相手の気に障らない様にちょっとボカしたけど>>625の時点で精査したよ
気兼ねなく訊くけど
>>653は「X⁴ + 1 が任意の素数pに対して ℤ/pℤ[X] で可約」を否定してるの？
655(1): 12/04(木)21:39 ID:kJ7QjI54(1) AAS
x⁴+1 が ℤ/pℤ[x] で完全分解する
⇔ ∃a,b,c,d ∈ ℤ x⁴+1 ≡ (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) (mod p)
⇔ Frob(p) = {e}
656(1): 622 12/04(木)21:44 ID:Mh1lbaiN(2/4) AAS
>>655
x⁴+1 が ℤ/pℤ[x] で完全分解する
⇔
p=2、またはp≡1(mod 8)
p≡3,5,7(mod 8)の場合は2次多項式に分解する
657: 622 12/04(木)21:54 ID:Mh1lbaiN(3/4) AAS
>>653
ちょっと確認だけど 653≠655 ならそう言ってよ
自分は≠643,645
658(1): 622 12/04(木)22:04 ID:Mh1lbaiN(4/4) AAS
>>656
ノート見返したけど分解した2次多項式が既約かどうかまでは何も言ってないから
以下に修正
x⁴+1 は ℤ/pℤ[x] で
p=2、またはp≡1(mod 8) ⇒ 完全分解する
p≡3,5,7(mod 8) ⇒ (少なくとも)2次多項式に分解する
659(1): 12/05(金)01:12 ID:7TAVIdo5(1/4) AAS
α=ζ₈、β=ζ₈³、γ=ζ₈⁵、δ=ζ₈⁷ として
(α-β)²(α-γ)²(α-δ)²(β-γ)²(β-δ)²(γ-δ)²=256
だからℤ[α]/ℤ において pℤ が不分岐⇔p≠2
p≠2 のとき
p ≡ 1 ( mod 8 ) → Frob(p)={e}
p ≡ 3 ( mod 8 ) → Frob(p):α↔︎β、γ↔︎δ
p ≡ 5 ( mod 8 ) → Frob(p):α↔︎γ、β↔︎δ
省1
660: 622 12/05(金)07:32 ID:JzaVANMk(1) AAS
先ずは確認ありがとうございます
気兼ねないモード継続しますと
>>621,624 辺りでは >>619 及び x⁴+1 に対しても否定的だった
>>659 に至って考えを訂正した
と言う事を明言してはどうですか?
661: 12/05(金)07:46 ID:7TAVIdo5(2/4) AAS
x⁴+1 が mod p で完全分解
⇔ p = 17,43,59,67,83,...
それ以外の素数では完全分解しない
662(1): 12/05(金)07:54 ID:7TAVIdo5(3/4) AAS
p=3 のとき
x⁴+1
≡ x⁴-2x²+1 + 2x²
≡ (x²-1)² - x²
≡ (x² + x - 1)(x² - x - 1)
x²+x-1, x²-x-1 は ℤ/3ℤ[x] で規約
663: 12/05(金)08:04 ID:7TAVIdo5(4/4) AAS
p=17 のとき
x⁴+1
≡ x⁴+2x²+1 - 2x²
≡ (x²+1)² - 36x²
≡ (x² + 6x + 1)(x² - 6x + 1)
≡ (x - 2)(x - 9)(x - 8)(x + 2)
664: 622 12/05(金)12:19 ID:Z0AEq51m(1) AAS
>>662
可約ですね(元の4次式)
可約=既約でない
可約≠完全分解する
(言うまでもないですが念のため)
665: 622 12/05(金)19:46 ID:Ci4TbcG3(1) AAS
X⁴ + 1 が任意の素数pに対して ℤ/pℤ[X] で可約
自分が確認した証明は
i²≡-1, a²≡2, b²≡-2 (mod p)なる整数 i,a,b がそれぞれ存在する
奇素数 p に関する条件を mod 8 で場合分けして、それらを用いて
具体的に X⁴+1 を因数分解する方法なので、あえて2次多項式の規約性は避けた
(p=2の場合の可約は自明)
>>658
省1
666: 12/06(土)11:34 ID:9q95/NS5(1) AAS
(x^2+nx+1)(x^2-nx+1)+1
が定数でない多項式の積に因数分解できるような正整数nが存在するならば、その最小値を求めよ。
667: 12/06(土)12:11 ID:TF3ffwho(1/2) AAS
普通に判別式取ってn=3じゃいかんのか
668: 12/06(土)12:32 ID:qakIGKJ2(1/4) AAS
整係数でってつもりなんじゃないの？
669: 12/06(土)12:45 ID:qakIGKJ2(2/4) AAS
(x^2+nx+1)(x^2-nx+1)+1=x^4+(2-n^2)x^2+2
整数根は定数項の約数だから1次の因数はないので
x^4+(2-n^2)x^2+2=(x^2+ax+b)(x^2-ax+c)
と置くと
a=0
b+c=2-n^2
bc=2
省6
670(1): 12/06(土)13:45 ID:TF3ffwho(2/2) AAS
くだらない質問なんだけど
5次以上の方程式が冪根などで表示できない解を持つ場合って因数分解できるといっていいものなの？
671: 12/06(土)13:50 ID:AKqU9cLJ(1/3) AAS
この手の話で、わざと狙って係数をボカすのは鉄板お約束ですね
672: 12/06(土)16:05 ID:qakIGKJ2(3/4) AAS
>>670
いんでね？
673: 12/06(土)20:54 ID:VzWJvdBe(1/2) AAS
どこに聞いていいか分からないので質問となります
疾病負荷のからくりが知りたいです
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
の表中1位コロナで10万人あたり3,061.5となっておりますが
これを一人の人生、寿命80年で計算し直すと
損失は3時間と言うことでよろしいでしょうか？
674: 12/06(土)20:58 ID:VzWJvdBe(2/2) AAS
小学生水着で検索しても画像出てこないようになってるけど
水球で検索すると出てくるんだよね
ロリコン対策洩れ
675: 12/06(土)21:05 ID:AKqU9cLJ(2/3) AAS
ぐーぐる先生に依頼したらガンガンでてきたぞ
676(3): 12/06(土)21:52 ID:YyleX90Z(1) AAS
n次多項式P_n(x)の主係数が正であるときに
その絶対値 |P_n(x)| を -1 < x < 1 の範囲で積分したときに
値が最小となるような多項式P_n(x)とその積分の値を求めなさい。
677: 12/06(土)22:12 ID:qakIGKJ2(4/4) AAS
>>676
>主係数
てなに？
678: 12/06(土)23:03 ID:AKqU9cLJ(3/3) AAS
どうみてもmonic（など）として出題すべきなのにしない
例の人のクソ芸風
679(1): 12/07(日)01:33 ID:OsO3kFde(1/2) AAS
主係数は1の間違いでした。
680: 12/07(日)01:40 ID:izb72j2R(1) AAS
>>679
>主係数は1
てなに？主係数が1ってmonicってこと？
681(1): 12/07(日)19:57 ID:OsO3kFde(2/2) AAS
主係数（しゅけいすう、leading coefficient）とは、
多項式において最も次数（べき乗）の高い項の係数
（文字にかかっている数字の部分）のことです。
例えば、\(3x^{2}+2x-1\) という多項式なら、
\(x^{2}\) が最高次項で、その係数である \(3\) が
主係数です。
682: 12/07(日)20:13 ID:+vkhh3ru(1) AAS
>>676,681
答えを持ってて出題してる？
自分で精査して、要求があればこの場で証明出せる？
683: 12/07(日)21:37 ID:q9gwERQX(1) AAS
無意味に狙って広義積分にしたり、いろいろお察しな予感なんだけど
684(1): 12/08(月)11:50 ID:c8ArwS3i(1) AAS
>>400
これ誰か証明教えてほしい
685(1): 12/08(月)15:12 ID:xy81tgcA(1/2) AAS
1から9までの数字をそのままの順に並べ、その間に適当に「＋または－の記号だけ」をはさみ、記号の入っていないものはそれを一つの整数として計算して、答が100になるようにすることはできる。
例
1+2+3-4+5+6+78+9=100
1+2+34-5+67-8+9=100
12+3+4+5-6-7+89=100
123-4-5-6-7+8-9=100
123-45-67+89=100
省1
686(1): 12/08(月)15:33 ID:5wER66nI(1) AAS
p を n 以下の素数とする。n+1 を p 進展開したときの桁数を u とする。すなわち
p^(u-1) ≦ n+1 ＜ p^u
とする。このとき
vₚ(RHS) = (u-1) - vₚ(n+1)
である。これは n を p 進展開したときの下桁から続く p-1 の数を v としたとき u-1-v に等しい。
(参考) p = 5、n = 21344₍₅₎ のとき u = 5、v = 2 である。このとき
v₅(1,2,3, ... ,n,n+1) = 5^4、v₅(n+1) = 2
省8
687: 12/08(月)16:56 ID:IdLQsaBA(1) AAS
問>>400
>>686
> □
まだ
vₚ(LHS) ≧ vₚ(ₙCₖ) ≧ u - 1 - v = vₚ(RHS)
までしか言えていない
688(1): 12/08(月)18:41 ID:KpNN460d(1) AAS
>>685
1+2+…+9≡0 mod 9
100≡1 mod 1
689: 12/08(月)18:50 ID:xy81tgcA(2/2) AAS
>>688
お見事です
690: 12/08(月)19:02 ID:sC/X393m(1/3) AAS
u - 1 - v = vₚ(RHS)
691(1): 12/08(月)20:38 ID:1nGc3m0j(1) AAS
>>484
探したら普通に見つかるよ
692: 12/08(月)21:15 ID:sC/X393m(2/3) AAS
p(x) が x² + ux + v ( u² - 4v < 0 ) である因子をもつならそれを x² + ux + u²/4 にとりかえた多項式を q(x) とすると p(x) - q(x) = v - u²/4 > 0 により ∫[-1,1] | p(x) | dx > ∫[-1,1] | q(x) | dx である。よって p(x) が実根のみをもつ範囲に制限してよい。p(x) が α>1 である因子 x-α をもつときこれを x-1 に置き換えた多項式を q(x) とすると ∫|p(x)| dx > ∫|q(x)| dx である。よって p(x) が実根は [-1,1] にのみ属するとしてよい。p(x) が x-1 を因子にもつとするときこれを x-1 に置き換えた多項式を q(x) とすると ∫|p(x)| dx - ∫|q(x)| dx = cε + O(ε²) となるから x-1 の多重度が1小さい多項式で ∫|p(x)| dx が真に小さいものが存在するから実根は (-1,1) にのみ属するとしてよい。
p(x) の実根を大きい順にならべて 1 > α₁ ≧ α₂ ≧ α₃ ≧ ... ≧ αₙ > -1 とする。p(x) の原始関数を S(x) として
∫[-1,1] | p(x) | dx = S(1) - 2S(α₁) + 2S(α₂) - 2S(α₃) + ... 2(-1)ⁿS(αₙ) - (-1)ⁿS(-1)
である。p(x) → p(x) + εxᵏ ( k = 0,1,...,n-1 ) と置換したときの S の変分は
δ∫[-1,1] | p(x) | dx
= ( (1ᵏ - 2a₁ᵏ + 2a₂ᵏ ... + 2(-1)ⁿaₙᵏ -(-1)ⁿ(-1)ᵏ )ε
だから (a₁, ... ,aₙ ) において積分が極値をとるには
省6
693: 12/08(月)21:16 ID:sC/X393m(3/3) AAS
あ、チェビシェフ多項式ではないな、その部分は無視してください
694(1): 12/08(月)21:43 ID:xGY7JJ0F(1) AAS
>>691は
>>484じゃなくて>>684
695: 12/08(月)23:28 ID:NP7kAyzd(1) AAS
>>676
第二種チェビシェフ多項式(monic) P_n(x) = (1/2^n)sin((n+1)arccos(x))/√(1-x^2)
のとき最小値1/2^(n-1)となる
696: 12/09(火)00:19 ID:uS2nxgOC(1) AAS
良く出来ました。
697: 12/11(木)11:00 ID:mT0XTkp1(1) AAS
f(x)=ax^2+bx+c
とし、f(x)の-1≦x≦1における最小値をmとする。a,b,cが
-1≦a≦1、-1≦b≦1、-1≦c≦1
を動くとき、mの取りうる値の範囲を求めよ。
698: 12/11(木)16:38 ID:DOqsre3n(1) AAS
>>694
2009年に発表された結果なんだね
割と最近で驚いた
しかもq変形でも成り立つのワロタ
699: 12/12(金)07:53 ID:JvkKwKwW(1) AAS
>>629
解答例をお願いします
(>>641が最後の反応かな)
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